广东省深圳实验学校初中部2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广东省深圳实验学校初中部2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．B．±2C．2D．﹣
2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，用科学记数法表示647亿元为（ ）
A．647×108B．6.47×109C．6.47×1010D．6.47×1011
4．（3分）使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≥0C．x≤3D．x≤0
5．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10B．a7÷a＝a6
C．a3•a2＝a6D．（﹣a3）2＝﹣a6
6．（3分）不等式3x+6≥9的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）在学习平行四边形时，数学兴趣学习小组设计并组织了“生活中的平行四边形”比赛，全班同学的比赛结果统计如下表所示，则得分的众数和中位数分别为（ ）
A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分
8．（3分）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，则点C的坐标是（ ）
A．（2，7）B．（3，7）C．（3，8）D．（4，8）
9．（3分）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A．B．C．D．2
10．（3分）如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC．若EF＝2，FG＝GC＝5，则AC的长是（ ）
A．12B．13C．D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：ax2﹣ay2＝ ．
12．（3分）一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同．随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为 ．
13．（3分）已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是 ．
14．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 ．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝ ．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．解方程和不等式组：
（1）＝﹣3；
（2）．
17．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣1．
18．随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
（1）本次调查的学生共有 人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 人；
（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
21．问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，于是＝＝；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．
①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
①证明△CEF是等边三角形；
②若AE＝5，CE＝2，求BF的长．
22．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx上，
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；
（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．
2023-2024学年广东省深圳实验学校初中部九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共10小题，满分30分）
1．（3分）﹣2的相反数是（ ）
A．B．±2C．2D．﹣
【解答】解：﹣2的相反数是2；
故选：C．
2．（3分）如图所示的几何体是由4个大小相同的小立方体组成，其俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：从上边看一层三个小正方形，
故选：C．
3．（3分）总投资647亿元的西成高铁预计2017年11月竣工，用科学记数法表示647亿元为（ ）
A．647×108B．6.47×109C．6.47×1010D．6.47×1011
【解答】解：647亿＝647 0000 0000＝6.47×1010，
故选：C．
4．（3分）使函数y＝有意义的自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥3B．x≥0C．x≤3D．x≤0
【解答】解：由题意，得
3﹣x≥0，
解得x≤3，
故选：C．
5．（3分）下列运算中正确的是（ ）
A．a5+a5＝a10B．a7÷a＝a6
C．a3•a2＝a6D．（﹣a3）2＝﹣a6
【解答】解：A．a5+a5＝2a5，故选项A不合题意；
B．a7÷a＝a6，故选项B符合题意；
C．a3•a2＝a5，故选项C不合题意；
D．（﹣a3）2＝a6，故选项D不合题意．
故选：B．
6．（3分）不等式3x+6≥9的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：移项，得：3x≥9﹣6，
合并同类项，得：3x≥3，
系数化为1，得：x≥1，
故选：C．
7．（3分）在学习平行四边形时，数学兴趣学习小组设计并组织了“生活中的平行四边形”比赛，全班同学的比赛结果统计如下表所示，则得分的众数和中位数分别为（ ）
A．70分，70分B．80分，80分C．70分，80分D．80分，70分
【解答】解：∵70分的有12人，人数最多，
∴众数为70分；
处于中间位置的数为第20、21两个数，都为80分，中位数为80分．
故选：C．
8．（3分）如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴、y轴上，OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，则点C的坐标是（ ）
A．（2，7）B．（3，7）C．（3，8）D．（4，8）
【解答】解：过C作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB，∠ADC＝90°，
∴∠ADO+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝∠ADO，
∴△CDE∽△ADO，
∴，
∵OD＝2OA＝6，AD：AB＝3：1，
∴OA＝3，CD：AD＝，
∴CE＝OD＝2，DE＝OA＝1，
∴OE＝7，
∴C（2，7），
故选：A．
9．（3分）已知一个三角形的三边长分别为5、7、8，则其内切圆的半径为（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：根据已知画出图形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，令AB＝5，BC＝7，AC＝8，
设AD＝x，则BD＝5﹣x，由勾股定理可得CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣BD2，
∴82﹣x2＝72﹣（5﹣x）2，
解得x＝4，
∴CD＝＝4．
∵△ABC的面积＝×（AB+BC+AC）r，
∴×5×4＝×（5+7+8）r，
∴r＝．
故选：C．
10．（3分）如图，已知▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接AC．若EF＝2，FG＝GC＝5，则AC的长是（ ）
A．12B．13C．D．
【解答】解：如图，作AP⊥CH交CH的延长线于P．
∵四边形ABCD是平行四边形，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，
∴易证四边形EFGH是矩形，四边形AEHP是矩形，△ABE≌△CDG，
可得PA＝FG＝5，AE＝PH＝CG＝5，CP＝CG+PH+GH＝2+10＝12，
在Rt△APC中，AC＝＝＝13．
故选：B．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：ax2﹣ay2＝ a（x+y）（x﹣y） ．
【解答】解：ax2﹣ay2，
＝a（x2﹣y2），
＝a（x+y）（x﹣y）．
故答案为：a（x+y）（x﹣y）．
12．（3分）一个不透明的袋中共有5个小球，分别为2个红球和3个黄球，它们除颜色外完全相同．随机摸出两个小球，摸出两个颜色相同的小球的概率为 ．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知，共有20种等可能结果，其中取出的小球颜色相同的有8种结果，
∴两次取出的小球颜色相同的概率为＝，
故答案为：
13．（3分）已知圆锥的底面圆半径是1，母线是3，则圆锥的侧面积是 3π ．
【解答】解：∵圆锥的底面圆半径是1，
∴圆锥的底面圆的周长＝2π，
则圆锥的侧面积＝×2π×3＝3π，
故答案为：3π．
14．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是 ＜a＜或﹣3＜a＜﹣2 ．
【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），
∴当y＝0时，x1＝，x2＝﹣a，
∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，
∴当a＞0时，2＜＜3，解得＜a＜；
当a＜0时，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2．
故答案为：＜a＜或﹣3＜a＜﹣2．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝ ．
【解答】解：过O点作OM∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AM＝BM＝AB＝，OM＝BC＝4，
∵AF∥OM，
∴△AEF∽△MEO，
∴＝，
∴＝，
∴AF＝，
故答案为．
三、解答题（本题共7小题，共55分）
16．解方程和不等式组：
（1）＝﹣3；
（2）．
【解答】解：（1）两边同时乘以（x﹣2）得，
2x﹣5＝3x﹣3﹣3（x﹣2）
去括号，得2x﹣5＝3x﹣3﹣3x+6
移项，得2x﹣3x+3x＝6﹣3+5
合并同类项，得2x＝8
系数化为1，得x＝4．
检验：当x＝4时，x﹣2≠0，
则x＝4是原分式方程的解．
（2）
由①得x≥﹣3，
由②得x＜1，
不等式组的解集为﹣3≤x＜1．
17．先化简，再求值：÷（1﹣），其中x＝﹣1．
【解答】解：原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
当x＝﹣1时，
原式＝＝﹣﹣2．
18．随着经济的快速发展，环境问题越来越受到人们的关注，某校学生会为了解节能减排、垃圾分类知识的普及情况，随机调查了部分学生，调查结果分为“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类，并将调查结果绘制成下面两个统计图．
（1）本次调查的学生共有 50 人，估计该校1200名学生中“不了解”的人数是 360 人；
（2）“非常了解”的4人有A1，A2两名男生，B1，B2两名女生，若从中随机抽取两人向全校做环保交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率．
【解答】解：（1）4÷8%＝50（人），
1200×（1﹣40%﹣22%﹣8%）＝360（人）；
故答案为：50，360；
（2）画树状图，共有12种可能的结果，恰好抽到一男一女的结果有8个，
∴P（恰好抽到一男一女的）＝＝．
19．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，CO的延长线交AB于点D
（1）求证：AO平分∠BAC；
（2）若BC＝6，sin∠BAC＝，求AC和CD的长．
【解答】（1）证明：延长AO交BC于H，连接BO，如图1所示：
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴A、O在线段BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴AO平分∠BAC；
（2）解：延长CD交⊙O于E，连接BE，如图2所示：
则CE是⊙O的直径，
∴∠EBC＝90°，BC⊥BE，
∵∠E＝∠BAC，
∴sinE＝sin∠BAC，
∴＝，
∴CE＝BC＝10，
∴BE＝＝8，OA＝OE＝CE＝5，
∵AH⊥BC，
∴BE∥OA，
∴，即＝，
解得：OD＝，
∴CD＝5+＝，
∵BE∥OA，即BE∥OH，OC＝OE，
∴OH是△CEB的中位线，
∴OH＝BE＝4，CH＝BC＝3，
∴AH＝5+4＝9，
在Rt△ACH中，AC＝＝＝3．
20．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象交于A（a，﹣2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．
【解答】解：（1）把A（a，﹣2）代入y＝x，可得a＝﹣4，
∴A（﹣4，﹣2），
把A（﹣4，﹣2）代入y＝，可得k＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（4，2）；
（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，
设P（m，），则C（m，m），
∵△POC的面积为3，
∴m×|m﹣|＝3，
解得m＝2或2，
∴P（2，）或（2，4）．
21．问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，于是＝＝；
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．
①求证：△ADB≌△AEC；
②请直接写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
①证明△CEF是等边三角形；
②若AE＝5，CE＝2，求BF的长．
【解答】迁移应用：①证明：如图②
∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠DAB＝∠CAE，
在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC，
②解：结论：CD＝AD+BD．
理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．
∵△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，
在Rt△ADH中，DH＝AD•cs30°＝AD，
∵AD＝AE，AH⊥DE，
∴DH＝HE，
∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD．
拓展延伸：①证明：如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴△ABD，△BDC是等边三角形，
∴BA＝BD＝BC，
∵E、C关于BM对称，
∴BC＝BE＝BD＝BA，FE＝FC，
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠ADC＝∠AEC＝120°，
∴∠FEC＝60°，
∴△EFC是等边三角形，
②解：∵AE＝5，EC＝EF＝2，
∴AH＝HE＝2.5，FH＝4.5，
在Rt△BHF中，∵∠BFH＝30°，
∴＝cs30°，
∴BF＝＝3．
22．已知点A（﹣1，1）、B（4，6）在抛物线y＝ax2+bx上，
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点F的坐标为（0，m）（m＞2），直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H．设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；
（3）如图2，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，1）、B（4，6）代入y＝ax2+bx中，
，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x．
（2）证明：（方法一）设直线AF的解析式为y＝kx+m，
将点A（﹣1，1）代入y＝kx+m中，即﹣k+m＝1，
∴k＝m﹣1，
∴直线AF的解析式为y＝（m﹣1）x+m．
联立直线AF和抛物线解析式成方程组，
，解得：，，
∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）．
∵GH⊥x轴，
∴点H的坐标为（2m，0）．
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x＝x（x﹣1），
∴点E的坐标为（1，0）．
设直线AE的解析式为y＝k1x+b1，
将A（﹣1，1）、E（1，0）代入y＝k1x+b1中，
，解得：，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x+．
设直线FH的解析式为y＝k2x+b2，
将F（0，m）、H（2m，0）代入y＝k2x+b2中，
，解得：，
∴直线FH的解析式为y＝﹣x+m．
∴FH∥AE．
（方法二）设直线AF的解析式为y＝kx+m，
将点A（﹣1，1）代入y＝kx+m中，即﹣k+m＝1，
∴k＝m﹣1，
∴直线AF的解析式为y＝（m﹣1）x+m．
联立直线AF和抛物线解析式成方程组，
，解得：，，
∴点G的坐标为（2m，2m2﹣m）．
∵GH⊥x轴，
∴点H的坐标为（2m，0）．
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣x＝x（x﹣1），
∴点E的坐标为（1，0）．
过点A作AA′⊥x轴，垂足为点A′，如图1所示．
∵点A（﹣1，1），
∴A′（﹣1，0），
∴AE＝2，AA′＝1．
∵∠AA′E＝∠FOH，＝＝，
∴△AA′E∽△FOH，
∴∠AEA′＝∠FHO，
∴FH∥AE．
（3）设直线AB的解析式为y＝k0x+b0，
将A（﹣1，1）、B（4，6）代入y＝k0x+b0中，
，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝x+2．
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t﹣2，t），点Q的坐标为（t，0）．
当点M在线段PQ上时，过点P作PP′⊥x轴于点P′，过点M作MM′⊥x轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如图2所示．
∵QM＝2PM，
∴＝＝，
∴QM′＝，MM′＝t，
∴点M的坐标为（t﹣，t）．
又∵点M在抛物线y＝x2﹣x上，
∴t＝×（t﹣）2﹣（t﹣），
解得：t＝；
当点M在线段QP的延长线上时，
同理可得出点M的坐标为（t﹣4，2t），
∵点M在抛物线y＝x2﹣x上，
∴2t＝×（t﹣4）2﹣（t﹣4），
解得：t＝．
综上所述：当运动时间为秒、秒、秒或秒时，QM＝2PM．
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60
70
80
90
100
人数（人）
7
12
10
8
3
得分（分）
60
70
80
90
100
人数（人）
7
12
10
8
3