辽宁省鞍山市普通高中2023-2024学年高三上学期期末联考数学试题

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一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.2 ; 14. ；15. ; 16．
四．解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
【解】（1）∵∴
即∴∴或
∵在中，∴故
∴，即，∴…………（5分）
（2）∵的面积为，且由第一问可知：
由面积公式得：∴
∵
由余弦定理得：
解得：∴的周长为…………（10分）
18.（本小题满分12分）
【解】（1）当时，，解得，
当时，，则，即，
又，则，
∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列，
∴数列的通项公式为．…………（6分）
（2）由（1）可得：，
∴，
设，则
∴，
∴，又，
∴ …………（12分）
19.（本小题满分12分）
【解】（1）设事件A 为“从10所学校中选出的1所学校 “自由式滑雪”的参与人数超过40人”．
“自由式滑雪”的参与人数超过40人的学校共4所，所以．…（4分）
（2）(i) X的所有可能取值为0，1，2，3， “单板滑雪”的参与人数在45人以上的学校共4所．
所以,.
所以X的分布列为
所以． …………（8分）
（ii）设事件B 为“参训前，该同学考核为‘优秀’”，
则．
参考答案1：可以认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：
比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一旦发生了，就有理由认为该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 ．
参考答案2：无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化．理由如下：
事件是随机事件，比较小，即该同学考核为“优秀”为小概率事件，一般不容易发生，但还是可能发生的，因此，无法确定该同学在参训后“单板滑雪”水平发生了变化 ． …………（12分）
20．（本小题满分12分）
【解】（Ⅰ）如图，连结BD，交AC于点O，连结MO. A
P
D
C
B
M
O
A
P
D
C
B
M
O
因为直线平面，
又平面平面，A
P
D
C
B
M
O
x
y
z
A
P
D
C
B
M
O
x
y
z
A
P
D
C
B
M
O
A
P
D
C
B
M
O
x
y
z
A
P
D
C
B
M
O
x
y
z
平面，
所以．
因为正方形，
所以为的中点．
所以为的中点． …………（6分）
（Ⅱ）因为底面为正方形，平面，
所以AB，AD，AP两两垂直.
如图建立空间直角坐标系.
设，可得，，
，，．
则．
设，则
设为平面的法向量，
A
P
D
C
B
M
O
则 即
令，，则，可得．
又，，
所以为平面的法向量，
，
解得，所以. ………（12分）
21.（本小题满分12分）
【解】（1）由题可知，则.
故椭圆的方程为. …………（4分）
（2）设，则，即.
由为的中点，得，所以.
因为直线的斜率，且，
所以直线的方程为.
令，得，则.
因为，所以.
所以.
所以直线与斜率的乘积是为定值-1. …………（12分）
22.（本小题满分12分）
【解】（1）时，.
所以曲线在点处的切线方程为
即. …………（6分）
（2）只需求满足恒成立的实数的取值范围.
设其中.
= 1 \* GB3 ①若在上单调递增.
因为所以不满足条件.
= 2 \* GB3 ②若令
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
所以
令，解得
综上，实数的取值范围为 …………（12分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
A
D
D
C
B
CD
BC
AD
ABD
X
0
1
2
3
P