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初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数教课内容ppt课件
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这是一份初中数学人教版九年级下册28.1 锐角三角函数教课内容ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了情景引入，“斜而未倒”，BC52m，情境引入，合作探究，思考1，思考2，典例精析，练一练，A30等内容，欢迎下载使用。
比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于 1174 年动工兴建，1350 年完工，是 8 层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成，塔高 AB = 54.5 米，塔体总重量达 1.42 万吨.由于地面塌陷，该塔逐渐倾斜，现在塔顶偏离“自然姿势”的水平距离 BC = 5.2 米. 仔细观察下图，你能求出比萨斜塔现在的倾斜角 α 是多少吗？
AB = 54.5 m
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使 出水口的高度达到 35 m，需要准备多 长的水管？
已知直角三角形的边长求正弦值
从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB.
根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”，可知∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m). 故需要准备 70 m 长的水管.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .
在 Rt△ABC 中，如果∠C = 90°，∠A = 45°， 那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？
解：因为∠A = 45°，∠C = 90°，所以 AC = BC， 由勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2，
在直角三角形中，如果一个锐角等于 45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即
例如，当∠A＝30° 时，我们有
例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA 和sinB 的值.
解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
如图②，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
1. 如图，判断对错：
sinA = 0.6 ( )
sinB = 0.8 ( )
2. 在 △ABC中，∠C = 90°，AB = 7，BC = 3，则 sinA 的值为 ( ) A. B. C. D.
例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4．
在 Rt△APO 中，由勾股定理得
方法总结：在平面直角坐标系求某角的正弦值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴引垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( )
A. B.C. D.
已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
提示：已知 sinA 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
∴ AB = 3BC = 3×3 = 9.
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 6，则 AB 的长为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sinA = ，AB = 6， 那么 BC =_____.
例 4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长．
解：由 sinA = ，设 BC = 7x cm，则 AB = 25x cm.
即 24x = 24，解得 x = 1.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
∴ △ABC 的周长为 BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm).
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
方法总结：已知一边及其邻角的正弦值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题.
1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( ) A. 扩大为原来的 2 倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定扩大还是缩小
2. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，sinA 的值为( )
A. B. C. D.
3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 .
4. 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0) 在 ⊙A 上， BD 是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD =_____.
解析：连接 CD，可得出 ∠OBD = ∠OCD，根据点 D (0，3)，C(4，0)，得 OD = 3，OC = 4，由勾股定理得出 CD = 5，再在直角三角形中求出sin∠OCD 的值即可．
5. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求 △ABC 的面积.
解：作 BD⊥AC 于点 D． ∵ sinA = ，
又∵ AB = AC，BD⊥AC，∴ AC = 2AD = 6，∴ S△ABC = AC·BD÷2 = 12.
解：∵ CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°． ∴∠ACD = ∠B = 90°－∠A．
6. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以用哪两条线段之比表示?
(2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值.
解： 由 (1) 知，
比萨斜塔位于意大利中部比萨古城内的教堂广场上，是一组古罗马建筑群中的钟楼.该塔于 1174 年动工兴建，1350 年完工，是 8 层圆柱形建筑，全部用白色大理石砌成，塔高 AB = 54.5 米，塔体总重量达 1.42 万吨.由于地面塌陷，该塔逐渐倾斜，现在塔顶偏离“自然姿势”的水平距离 BC = 5.2 米. 仔细观察下图，你能求出比萨斜塔现在的倾斜角 α 是多少吗？
AB = 54.5 m
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使 出水口的高度达到 35 m，需要准备多 长的水管？
已知直角三角形的边长求正弦值
从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB.
根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”，可知∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m). 故需要准备 70 m 长的水管.
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .
在 Rt△ABC 中，如果∠C = 90°，∠A = 45°， 那么 BC 与 AB 的比是一个定值吗？
解：因为∠A = 45°，∠C = 90°，所以 AC = BC， 由勾股定理，得 AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2，
在直角三角形中，如果一个锐角等于 45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 .
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值．
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA，即
例如，当∠A＝30° 时，我们有
例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，求 sinA 和sinB 的值.
解：如图①，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
如图②，在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
1. 如图，判断对错：
sinA = 0.6 ( )
sinB = 0.8 ( )
2. 在 △ABC中，∠C = 90°，AB = 7，BC = 3，则 sinA 的值为 ( ) A. B. C. D.
例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4．
在 Rt△APO 中，由勾股定理得
方法总结：在平面直角坐标系求某角的正弦值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴引垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sinα 等于 ( )
A. B.C. D.
已知锐角的正弦值求直角三角形的边长
提示：已知 sinA 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出 sinB 及 Rt△ABC 的面积.
∴ AB = 3BC = 3×3 = 9.
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = ，BC = 6，则 AB 的长为 ( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sinA = ，AB = 6， 那么 BC =_____.
例 4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长．
解：由 sinA = ，设 BC = 7x cm，则 AB = 25x cm.
即 24x = 24，解得 x = 1.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
∴ △ABC 的周长为 BC+AC+AB = 7+24+25 = 56 (cm).
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
方法总结：已知一边及其邻角的正弦值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题.
1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( ) A. 扩大为原来的 2 倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 无法确定扩大还是缩小
2. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，sinA 的值为( )
A. B. C. D.
3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC 的值为 .
4. 如图，点 D (0，3)，O (0，0)，C (4，0) 在 ⊙A 上， BD 是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD =_____.
解析：连接 CD，可得出 ∠OBD = ∠OCD，根据点 D (0，3)，C(4，0)，得 OD = 3，OC = 4，由勾股定理得出 CD = 5，再在直角三角形中求出sin∠OCD 的值即可．
5. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求 △ABC 的面积.
解：作 BD⊥AC 于点 D． ∵ sinA = ，
又∵ AB = AC，BD⊥AC，∴ AC = 2AD = 6，∴ S△ABC = AC·BD÷2 = 12.
解：∵ CD⊥AB，∴∠ADC =∠ACB = 90°． ∴∠ACD = ∠B = 90°－∠A．
6. 如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB. (1) sinB 可以用哪两条线段之比表示?
(2) 若 AC = 5，CD = 3，求 sinB 的值.
解： 由 (1) 知，
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