2023-2024学年上海市普陀区七年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年上海市普陀区七年级（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列计算结果正确的是( )
A. (−a3)2=−a6B. (a−b)2=a2−b2
C. a6÷a3=a3D. 3a2+2a3=5a5
2.下列判断中错误的是( )
A. 3a2bc与−bca2是同类项B. 3x2−y+5xy2是三次三项式
C. 单项式−x3y2的系数是−1D. m2n5是分式
3.下列从左到右的变形中，是因式分解的是( )
A. 6x2y=2x⋅3xyB. 2a3b−4a2b=2a2b(a−2)
C. (a+b)2=a2+2ab+b2D. a2−2a−3=a(a−2)−3
4.如果当x=−1时，分式M的值为0，那么M可以是( )
A. x−1x+1B. 1−xx+1C. x+1x−1D. x−1x2−1
5.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
6.如果x−2y+2=0，那么14x2−xy+y2−3的值是( )
A. −2B. −1C. 1D. 0
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
7.用代数式表示：“x与y的2倍的和”______ ．
8.单项式23a3bc2的次数是______ ．
9.计算：(x−5y)(2x+y)= ______ ．
10.计算：(4a3−a2)÷a2= ______ ．
11.因式分解：3a2b−9ab= ______ ．
12.因式分解：am+an−bm−bn= ______ ．
13.3D打印技术日渐普及，打印出的高精密游标卡尺误差只有±0.000 063米．0.000 063这个数用科学记数法可以表示为______ ．
14.如果方程xx+2+a2+x=4有增根，那么增根是______ ．
15.计算：5m−5+m5−m= ______ ．
16.如果多项式x2+mx−6可以因式分解为(x+p)(x+q)，其中m、p、q都为整数，那么m的最大值是______ ．
17.如图，在△ABC中，点E、F分别在边AB、BC上，将△BEF沿EF所在的直线折叠，使点B落在点D处，将线段DF沿着BC向左平移若干单位长度后，恰好能与边AC重合，联结AD.如果阴影部分的周长为18，那么BC= ______ ．
18.如图，已知△ABC和△DBF是形状、大小完全相同的两个直角三角形，点B、C、D在同一条直线上，点B、A、F也在同一条直线上，△ABC的位置不动，将△DBF绕点B顺时针旋转x°(0三、计算题：本大题共1小题，共4分。
19.因式分解：a2−2ab+b2−1．
四、解答题：本题共9小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题4分)
计算：(a+1)2−(a+4)(a−4)．
21.(本小题4分)
计算：a2⋅a4+(−2a2)3+a8÷a2．
22.(本小题4分)
因式分解：(x2−2x)2−2(x2−2x)−3．
23.(本小题4分)
计算：(−1)2023+(π−3.14)0+(−12)−2．
24.(本小题4分)
解方程：xx+2+2x2+2x=1．
25.(本小题6分)
化简：(1−a+3a+1)÷a2−4a2+2a+1，然后从−1，1，−2，2中取一个你认为合适的数作为a的值，再代入求值．
26.(本小题6分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)．
(1)画出△AB1C1，使△AB1C1与△ABC关于直线MN成轴对称；画出△AB2C2，使△AB2C2与△ABC关于点A成中心对称．
(2)在第(1)小题的基础上，联结B1B2，四边形AC1B1B2的面积为______ .(直接写出答案)
27.(本小题8分)
金秋时节，七年级的同学组织去公园秋游，从景区A出发到相距15千米的景区B，公园有脚踏车和电瓶车两种交通工具可供租用，一部分学生骑脚踏车从A景区先出发，过了半小时后，其余学生乘电瓶车出发，结果他们同时到达B景区.假设他们全程都保持匀速前行，且已知乘电瓶车学生的速度是骑脚踏车的2倍，请问骑脚踏车学生的速度为每小时多少千米？
28.(本小题8分)
阅读下列材料，并完成相应任务．
教材第九章探索整式乘法法则时，我们用不同方法表示同一个图形的面积，直观地理解乘法法则．
如图1，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是a、b、c，将它们拼成如图2的大正方形．

(1)观察：图2中，大正方形的面积可以用(a+b)2表示，也可以用含a、b、c的代数式表示为______ ，那么可以得到等式：______ ．
整理后，得到a、b、c之间的数量关系：a2+b2=c2，这就是著名的“勾股定理”，它反映了直角三角形的三边关系，即直角三角形的两直角边a、b与斜边c所满足的关系式．
(2)思考：爱动脑的小明通过图2得到启示，发现其它图形也能验证“勾股定理”，请你帮助小明画出该图形.(画出一种即可)
(3)应用：如图3，在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么AB= ______ ，点D为射线BC上一点，将△ACD沿AD所在直线翻折，点C的对应点为点C1，如果点C1在射线BA上，那么CD= ______ .(直接写出答案)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：(−a3)2=a6，故选项A错误，
(a−b)2=a2−2ab+b2，故选项B错误，
a6÷a3=a3，故选项C正确，
3a2+2a3不能合并，故选项D错误，
故选：C．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
本题考查同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项、完全平方公式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
2.【答案】D
【解析】解：A、3a2bc与−bca2是同类项，正确，故不符合题意；
B、3x2−y+5xy2是三次三项式，正确，故不符合题意；
C、单项式−x3y2的系数是−1，正确，故不符合题意；
D、m2n5是整式，错误，故符合题意．
故选：D．
根据同类项概念和单项式的系数以及多项式的次数的概念分析判断．
主要考查了整式的有关概念及分式的定义．并能掌握同类项概念和单项式的系数以及多项式的次数的确定方法．
3.【答案】B
【解析】解：A、6x2y不是多项式，故A不符合题意；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B符合题意；
C、是整式的乘法，故C不符合题意；
D、等式右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故D不符合题意；
故选：B．
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积．
4.【答案】C
【解析】解：A.当x=−1时，分式x−1x+1没有意义，故本选项不符合题意；
B.当x=−1时，分式1−xx+1没有意义，故本选项不符合题意；
C.当x=−1时，分式x+1x−1的值为0，故本选项符合题意；
D.当x=−1时，分式x−1x2−1没有意义，故本选项不符合题意．
故选：C．
直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．
此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握相关定义是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
6.【答案】A
【解析】解：∵x−2y+2=0，
∴x−2y=−2，
∴14x2−xy+y2−3
=14(x2−4xy+4y2)−3
=14(x−2y)2−3
=14×(−2)2−3
=1−3
=−2，
故选：A．
由已知条件可得x−2y=−2，将原式变形后代入数值计算即可．
本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
7.【答案】x+2y
【解析】解：x与y的2倍的和是：x+2y，
故答案为：x+2y．
根据题意可以用相应的代数式表示出题目中对的语句，本题得以解决．
本题考查列代数式，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．
8.【答案】6
【解析】解：单项式23a3bc2的次数是3+1+2=6，
故答案为：6．
单项式中所有字母的次数之和即为该单项式的次数，据此即可求得答案．
本题考查单项式的次数，熟练掌握其定义是解题的关键．
9.【答案】2x2−9xy−5y2
【解析】解：(x−5y)(2x+y)
=2x2+xy−10xy−5y2
=2x2−9xy−5y2．
故答案为：2x2−9xy−5y2．
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，根据多项式乘多项式的法则计算即可．
本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是熟记法则，运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．
10.【答案】4a−1
【解析】解：(4a3−a2)÷a2
=4a3÷a2−a2÷a2
=4a−1．
故答案为：4a−1．
根据多项式除以单项式的运算法则计算即可．
本题主要考查了整式的除法，熟记多项式除以单项式的运算法则是解答本题的关键．
11.【答案】3ab(a−3)
【解析】解：3a2b−9ab
=3ab(a−3)，
故答案为：3ab(a−3)．
提取公因式，即可得出答案．
本题考查了因式分解，掌握因式分解的各种方法的特点是解此题的关键．
12.【答案】(m+n)(a−b)
【解析】解：am+an−bm−bn
=(am+an)−(bm+bn)
=a(m+n)−b(m+n)
=(m+n)(a−b)，
故答案为：(m+n)(a−b)．
把前两项分为一组，后两项分为一组，然后再进行分解即可解答．
本题考查了因式分解−分组分解法，熟练掌握因式分解−分组分解法是解题的关键．
13.【答案】6.3×10−5
【解析】解：0.000063=6.3×10−5，
故答案为：6.3×10−5．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14.【答案】−2
【解析】解：∵原方程可整理为x+ax+2=4，它有增根，
∴x+2=0，
∴x=−2．
故答案为：−2．
将原方程等号左边通分，若它有增根，其分母为零，求出此时x的值即可．
本题考查分式方程的增根，理解并掌握增根的定义是本题的关键．
15.【答案】−1
【解析】解：原式=5m−5−mm−5=5−mm−5=−1，
故答案为：−1．
利用分式的加减法则计算即可．
本题考查分式的加减运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
16.【答案】5
【解析】解：−6可以分成：−1×6，1×(−6)，−2×3，2×(−3)，3×(−2)，−3×2，
而−1+6=5，1+(−6)=−5，−2+3=1，2+(−3)=−1，3+(−2)=1，−3+2=−1，
因为5>1>−1>−5，
所以m最大=p+q=5．
故答案为：5．
根据十字相乘法的分解方法和特点可知m=p+q，pq=−6．
本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键．
17.【答案】9
【解析】解：∵△BEF沿EF折叠点B落在点D处，
∴DF=BF，
∵DF沿BC向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，
∴四边形ADFC为平行四边形(DF/​/AC且DF=AC)，
∴AD=FC，
∵BC=BF+FC，
∴2×(DF+FC)=2×BC=18，
∴BC=9，
∴故答案为：9．
由折叠性质得DF=BF，四边形ADFC为平行四边形，AD=FC，再由BC=BF+FC，可得四边形ADFC的周长为：2×(DF+FC)，据此解答即可．
题主要考查了翻折及平移变换，解题的关键是掌握折叠及平移的性质，求出DF+FC=10．
18.【答案】112.5°或45°
【解析】解：当BF1在BC的上方时，∵∠F1BC=13∠ABF1，
∴∠CBF1=14∠CBF=22.5°，
∴∠CBD1=∠CBF1+∠F1BD1=22.5°+90°=112.5°．
当BF1在BC的下方时，同法可得∠CBD1=45°．
故答案为：112.5°或45°．
分两种情形：当BF1在BC的上方时，当BF1在BC的下方时，分别求解．
本题考查作图−旋转变换，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的射线思考问题．
19.【答案】解：a2−2ab+b2−1，
=(a−b)2−1，
=(a−b+1)(a−b−1)．
【解析】当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，前三项a2−2ab+b2可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．
本题主要考查了非负数的性质和分组分解法分解因式，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组．
20.【答案】解：原式=a2+2a+1−a2+16
=2a+17．
【解析】利用完全平方公式及平方差公式计算即可．
本题考查完全平方公式及平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
21.【答案】解：原式=a6+(−8a6)+a6
=−6a6．
【解析】根据幂的运算法则计算求值即可．
本题考查了幂的运算法则：同底数幂相乘(除)，底数不变指数相加(减)；幂的乘方，底数不变指数相乘；积的幂等于幂的积．掌握幂的运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：令x2−2x=m，
原式=m2−2m−3
=(m−3)(m+1)
=(x2−2x−3)(x2−2x+1)
=(x−3)(x+1)(x−1)2．
【解析】把x2−2x看成一个整体，利用十字相乘法分解，然后利用十字相乘法和完全平方公式分解即可．
本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，本题需要进行多次因式分解，分解因式一定要彻底．
23.【答案】解：(−1)2023+(π−3.14)0+(−12)−2
=−1+1+4
=4．
【解析】根据零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方运算求解即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数的乘方，有理数的混合运算，熟练掌握这些知识是解题的关键．
24.【答案】解：去分母得：x2+2=x2+2x，
解得：x=1，
经检验x=1是分式方程的解，
∴分式方程的解为x=1．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
25.【答案】解：原式=[3a+1−(a−1)]⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=3−(a2−1)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=4−a2a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=(2+a)(2−a)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=−(a+1)
=−a−1，
∵a+1≠0，a+2≠0，a−2≠0，
∴a≠−1，a≠−2，a≠2，
∴当a=1时，原式=−1−1=−2．
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
26.【答案】13
【解析】解：(1)如图，△AB1C1和△AB2C2即为所求．
(2)四边形AC1B1B2的面积为12×(3+5)×4−12×1×3−12×3×1=13．
故答案为：13．
(1)根据轴对称的性质和中心对称的性质作图即可．
(2)利用割补法求四边形的面积即可．
本题考查作图−轴对称变换、中心对称，熟练掌握轴对称的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
27.【答案】解：设骑脚踏车学生的速度为每小时x千米，则乘电瓶车学生的速度为每小时2x千米，
根据题意得：15x−152x=12，
解答：x=15，
经检验，x=15是所列方程的解，且符合题意．
答：骑脚踏车学生的速度为每小时15千米．
【解析】设骑脚踏车学生的速度为每小时x千米，则乘电瓶车学生的速度为每小时2x千米，利用时间=路程÷速度，结合乘电瓶车学生比骑脚踏车学生少用半小时，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
28.【答案】4×12ab+c2 (a+b)2=4×12ab+c2 5 32或6
【解析】解：(1)由图形可知：正方形的面积也可表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即4×12ab+c2，
∵用不同的方法表示同一个图形的面积，面积不变，
∴(a+b)2=4×12ab+c2，
故答案为：4×12ab+c2，(a+b)2=4×12ab+c2；
(2)答案不唯一，比如：
(3)在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理，得AB= AC2+BC2= 32+42=5，
点D为射线BC上一点，分两种情况：
①点D在BC上时，如图，
设CD=x，由翻折可知C′D=x，BD=BC−CD=4−x，BC′=AB−AC′=AB−AC=5−3=2，
在Rt△BDC′中，
由勾股定理，得BD2=BC′2+DC′2，
即(4−x)2=22+x2，
解得x=32；
②点D在BC的延长线上时，如图，
设CD=y，由翻折可知C′D=y，BD=BC+CD=4+y，BC′=AB+AC′=AB+AC=5+3=8，
在Rt△BDC′中，
由勾股定理，得BD2=BC′2+DC′2，
即(4+y)2=82+y2，
解得y=6．
故答案为：32或6．
(1)将正方形的面积表示成4个直角三角形的面积加中间小正方形的面积，即可用含a、b、c的代数式表示出大正方形的面积；根据同一个图形用不同方法表示出其面积，面积不变即可得到等式；
(2)此题的方法很多，这里只举一种例子即可，比如把两个直角三角形和一个等腰直角三角形组成一个梯形；
(3)分两种情况：点D在BC上和点D在BC延长线上，并分别画出图形，在Rt△BDC′中利用勾股定理列方程解出即可．
本题考查勾股定理的证明，以及勾股定理的灵活运用，解答时涉及列代数式，等式变形，熟练运用数形结合思想，灵活运用勾股定理是解题的关键．