安徽省芜湖市芜湖一中2023-2024学年高二上学期12月教学质量诊断测试数学试题（Word版附解析）

这是一份安徽省芜湖市芜湖一中2023-2024学年高二上学期12月教学质量诊断测试数学试题（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分150分.考试用时120分钟.
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 准线方程为的抛物线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可设抛物线的标准方程为，从而可得，求解即可.
【详解】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，
设其方程为，则其准线方程为，得.
该抛物线的标准方程是.
故选：D.
2. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）
A. 4B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】找到焦点与渐近线，利用点到直线的距离求解即可.
【详解】由题可知：双曲线，其中一个焦点为，
其中一条渐近线为，
所以焦点到渐近线的距离为，
故选:C.
3. 若无穷等差数列的公差为，则“”是“，”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用等差数列的通项公式和存在量词的性质即可判断.
【详解】等差数列的通项公式，当时，，，真命题，即充分行成立；
若，则，但，所以，当，时，假命题，必要性不成立.
故选：A.
4. 班级物理社团同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为，其左､右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由入射光线与反射光线的关系，结合角平分线定理可解.
【详解】由椭圆定义可得，
由光学性质可知，为的角平分线，
所以.
故选：C
5. 若圆O：过双曲线的实轴端点，且圆O与直线l：相切，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的方程先求，再利用相切可得，从而可得离心率.
【详解】圆O：的圆心，半径为，
因为圆O：过双曲线的实轴端点，所以，
又圆O与直线l：相切，所以，则，故.
所以双曲线的离心率为．
故选:B．

6. 已知为等差数列，，则（ ）
A. 12B. 24C. 26D. 36
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列的性质即可求解.
【详解】因为,
所以．
故选：A．
7. 设是椭圆的上顶点，点在上，则的最大值为（ ）
A. 16B. 4C. 3D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】设得，利用，配方后利用的范围可得答案.
【详解】，设，则，所以，
，
因为，所以当时，有最大值为.
故选：B.

8. 已知的通项公式为（），若数列为递减数列，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据单调数列的定义，，即可求的取值范围.
【详解】
，
由数列为递减数列，则，
即恒成立，即，
当时，的最小值为，
即.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 曲线C的方程为，则下列命题正确的是（ ）
A. 若曲线C为双曲线，则
B. 若曲线C为椭圆，则，且
C. 曲线C不可能是圆
D. 若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据的取值结合圆、椭圆、双曲线方程的特点逐项分析曲线的方程.
【详解】A．因为，所以一正一负，所以曲线是双曲线，则,故A正确；
B．因为，，所以曲线是椭圆，则，且,故B正确；
C．因为且，所以曲线是半径为的圆，故C错误；
D．因为曲线C为焦点在x轴上的椭圆，,所以，故D正确；
故选：ABD.
10. 设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于两点，则（ ）
A. 为定值
B. 的周长的取值范围是
C. 当时，为锐角三角形
D. 当时，的面积为
【答案】AD
【解析】
【分析】利用椭圆对称性及其定义可知A正确，由可知，即可得的周长的取值范围是，所以B错误；利用向量可知角为直角，即可得C错误；当时可求得，即可知的面积为，即D正确.
【详解】设椭圆左焦点为，如图所示：

由椭圆对称性可知，两点关于轴对称，可知，
所以由椭圆定义可得为定值，即A正确；
的周长为，
易知当时，，因此周长的取值范围是，即B错误；
当时，可得，
又，可得，
所以，即是直角，
即可知为直角三角形，所以C错误；
当时，易知，顶点到边的距离为，
所以的面积为，即D正确.
故选：AD
11. 已知是抛物线上不同于原点的两点，点是抛物线的焦点，下列说法正确的是（ ）
A. 点的坐标为
B.
C. 若，则直线经过定点
D. 若点为抛物线的两条切线，则直线的方程为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据抛物线的方程可得焦点坐标可判断A，根据焦点弦的性质可判断B，根据垂直关系得，由两点坐标求解直线方程即可判断C，根据切线方程求出切点坐标，进而根据两点求解直线方程即可求解D.
【详解】因为拋物线，故的坐标为故A正确；
由于当直线过焦点时，由抛物线定义可得，但直线不一定过焦点，故B错误；
若，故，即或（舍去），
因为直线，即，得，故直线经过定点，故C正确；
设过点的切线方程为，联立 ，
所以，故 或，所以方程的根为，
故切线方程中分别为和，故，
，
可得直线，即，故D正确.
故选：ACD.
12. 若数列满足，，则称该数列为斐波那契数列．如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线．图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成，在每个正方形中作圆心角为的扇形，连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”．记以为边长的正方形中的扇形面积为，数列的前项和为．下列结论正确的是（ ）

A. B. 是奇数
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据数列递推关系以及特征，即可判断选项AB，利用累加法即可判断选项C，利用定义直接求解，表示出，即可判断选项D.
【详解】该数列为，所以，A正确；
由斐波那契数列得每三个数中，前两个为奇数后一个为偶数，
且是奇数，B正确；
由，得：，
，，
累加得，C错；
由，
得：
，
所以，
，D对.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 在中，，，，则顶点的轨迹方程是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由正弦定理化角为边后确定点轨迹，由双曲线的标准方程求解．
【详解】∵，，∴，
∵，∴由正弦定理得，即，，
所以点轨迹是以为焦点的双曲线的右支(除去顶点)．
该双曲线的半焦距为，实半轴长为，虚半轴长为，
所以轨迹方程为．
故答案为：．
14. 一个正实数的小数部分的2倍，整数部分和自身成等差数列，则这个正实数是______.
【答案】或
【解析】
【分析】根据等差数列的知识列方程，化简求得这个正实数.
【详解】设这个正实数的小数部分是，整数部分是（），自身是，
则，所以，
由于，，
当时，；
当时，；
当时，，不符合.
综上所述，这个正实数是或.
故答案为：或
15. 已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是________．
【答案】
【解析】
【分析】先利用点差法应用弦中点，再求椭圆离心率.
【详解】设直线与椭圆交于两点，其中，
将两点代入椭圆可得，两式作差可得，
即，又中点坐标是，
所以，所以，
令，则，所以，
所以，
故答案为：
16. 已知抛物线的方程为，过其焦点F的直线交此抛物线于M、N两点，交y轴于点E，若，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，由，，分别表示出，利用根与系数关系即可算得答案.
【详解】由抛物线的方程为，得，
由题意可得直线的斜率存在且不等于零，
则可设直线的方程为，，
联立，消得，
则恒成立，
则，故，
由直线，令，得，则，
由，得，
所以，所以，
由，得，
所以，所以，
所以
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知数列是等差数列，且，．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求及其最小值．
【答案】（1）
（2），最小值为
【解析】
【分析】（1）设的公差为，即可得到关于、的方程组，解得、，从而求出其通项公式；
（2）根据等差数列求和公式计算可得.
【小问1详解】
设的公差为，则，
解得，
所以．
【小问2详解】
由（1）可得，
所以当或时，取得最小值，最小值为．
18. 已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于
（1）求动点的轨迹方程;
（2）点为原点，当时，求第二象限点的坐标
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设的坐标为，根据斜率公式把条件表示出来，化简即可，要注意斜率存在的条件；
（2）可以转化为求两曲线的交点问题解决.
【详解】（1）设点的坐标为，
由题意得（），化简得.
故动点的轨迹方程为
（2）∵，故 ①
又由（1）知 ②
由①②得，又点在第二象限内，
∴点的坐标为.
19. 已知动圆与圆外切，与圆内切．
（1）求动圆圆心的轨迹方程；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用圆与圆的位置关系结合椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是椭圆，求出、、的值，结合椭圆焦点的位置可得出动圆圆心的轨迹方程；
（2）设点，则，利用两点间的距离公式求出的取值范围，利用椭圆的定义结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【小问1详解】
解：圆的圆心为，半径．
圆的圆心为，半径，
，所以圆内含于圆．
设动圆圆心为，动圆半径为，
由于，
所以点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆，
从而，，所以，所以点的轨迹方程为．
【小问2详解】
解：设点，则，则，
则，
所以，，所以，
，
.
所以的取值范围为．
20. 已知过点的直线与抛物线（）交于，两点，且当的斜率为时，恰为中点．
（1）求的值；
（2）当经过抛物线的焦点时，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出直线方程后设出交点坐标，代入抛物线方程即可求解；
（2）给出直线方程后和抛物线方程联立，韦达定理结合面积公式即可求解.
【详解】（1）当斜率为时，由得，恰好经过坐标原点，
不妨设，则为抛物线上的点．
代入抛物线的方程得，解得．
（2）由（1）可知抛物线的焦点．当经过时，其方程为．
将其与抛物线的方程联立得．
设，，则，．
因此的面积．
21. 已知数列的前项和.
（1）求的通项公式；
（2）设，为数列的前项和，求证：.
【答案】21.
22. 证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用数列的通项和前n项和之间的关系求解；
（2）由，利用裂项相消法求解.
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，
当时，不适合上式，
所以；
【小问2详解】
由（1）知：，
当时，，显然成立；
当时， ，
则，
，
.
结论成立.
22. 在平面直角坐标系中，椭圆＋，过点的动直线与椭圆相交于两点.
（1）求面积的最大值；
（2）是否存在与点不同的定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）设直线l为与椭圆方程联立，将表达为k的函数，由基本不等式求最大值即可.
（2）先讨论直线水平与竖直情况，求出，设点关于y轴的对称点，证得三点共线得到成立.
【小问1详解】
依题意，设，直线的斜率显然存在，
故设直线，联立，消去，得，
因为直线恒过椭圆内定点，故恒成立，，
故，令，所以，当且仅当，即时取得等号，综上可知，面积的最大值为.
【小问2详解】
当平行于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存点满足条件，
则有，即，所以点在轴上，可设的坐标为；
当垂直于轴时，设直线与椭圆相交于两点，如果存在点满足条件，
则有，即，解得或，
所以若存在不同于点的定点满足条件，则点的坐标为；
当不平行于轴且不垂直于轴时，设直线方程为，
由（1）知，
又因为点关于轴的对称点的坐标为，
又，，
则，
所以，则三点共线，所以；
综上，存在与点不同的定点，使恒成立，且.