江西省景德镇市景德镇一中2023-2024学年高一上学期1月考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省景德镇市景德镇一中2023-2024学年高一上学期1月考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分.在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由不等式得性质可得，再根据不等式的性质可得，从而得的取值范围.
【详解】因为，所以，则有，
将不等式的两边同时乘，可得，
所以.
故选：B．
2. 已知函数的值域为，关于其定义域，下列说法正确的是（ ）
A. 只能是实数集
B. 任取中两个元素，乘积一定非负
C. 不可能是无穷多个闭区间的并集
D. 可能所有有理数以及负无理数所成集合
【答案】D
【解析】
【分析】利用二次函数的性质逐一分析ABD，举反例排除C，从而得解.
【详解】对于A，当时，满足的值域为，故A错误；
对于B，当时，满足的值域为，
此时取，则，故B错误；
对于C，取，
此时，对于任意，取表示的整数部分，
则，即，故有，故C错误.
对于D，当时，满足的值域为，
而所有有理数以及负无理数所成集合包含了，满足题意，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题选项C的解决关键是对无穷大的理解.
3. 张大爷种植了10亩小麦，每亩施肥x千克，小麦总产量为y千克，则（ ）
A. x，y之间有依赖关系B. x，y之间有函数关系
C. y是x的函数D. x是y的函数
【答案】A
【解析】
【分析】影响小麦产量的因素有种子、施肥量、水、日照时间等，可判断得答案.
【详解】解：小麦的总产量与种子、施肥量、水、日照时间等因素有相关关系，但不一定是函数关系.
故选：A.
4. 世界公认的三大著名数学家为阿基米德､牛顿､高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数表示不超过的最大整数，例如.已知，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先考查对勾函数在区间的单调性，确定其值域，再按照取整函数的要求一一列举即得函数的值域.
【详解】易知在上单调递减，上单调递增.当时，；
当时，；当时，，所以，则函数的值域为.
故选:C.
5. 设实数a，b满足，则的最大值为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用换元法，结合基本不等式进行求解即可,
【详解】令，
则有，
当且仅当时取等号，即当时取等号，
故选：A
6. 函数满足下列哪个关系式（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】举例判断ABD，根据对数运算判断C.
【详解】令，
可得，
且，
故ABD错误，
因为，故C正确；
故选：C.
7. 以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二分法求解函数零点的要求判断四个选项即可.
【详解】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且，
即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．
对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合，
因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
故选：C.
8. 下列结论：①如果，那么为必然事件：
②若事件与是互斥事件，则；
③概率是随机的，试验前不能确定；
④若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件．
其中是正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件、互斥事件、对立事件、概率等知识确定正确答案.
【详解】必然事件的概率是，所以①错误.
若事件与是互斥事件，则，所以②错误.
概率是理论值，是固定值，与实验前后无关，所以③错误.
若事件与是对立事件，则与一定是互斥事件，所以④正确.
所以正确的有个.
故选：A
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的.正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9. 对任意两个实数，定义,若，，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A. 函数是奇函数B. 方程有三个解
C. 函数在区间上单调递减D. 函数有4个单调区间
【答案】BD
【解析】
【分析】根据新定义的函数及函数的单调性与奇偶性结合函数的图象一一分析选项即可.
【详解】令，解得，
所以当时，；当或时，；
所以,
作出函数的图象，如图所示，
对于A，由图象可得关于轴对称，所以为偶函数，故A错误；
对于B，因为的图象与轴有3个交点，
所以方程有三个解，故B正确；
对于C，由图象可知函数在上不单调递减，故C错误；
对于D，由图象可知函数在和上单调递增，
在和上单调递减，所以函数有4个单调区间，故D正确，
故选:BD.
10. 设，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为2
【答案】AC
【解析】
【分析】首先根据两式的特征考虑构造函数，利用常数分离法拆解分式函数，判断其单调性，然后即可判断选项A,B,再考虑的取值范围即可判断选项C，最后运用基本不等式时必须检查等号成立的条件才能正确判断选项D.
【详解】由题构造函数，则，
因为函数在上恒正且单调递增，则在上恒正且单调递减，所以在上单调递减.
对于A选项，因，故，即，故选项A正确；
对于B选项，因，且在上单调递增，故，故选项B错误；
对于C选项，因，，故，两式相加即得：，故选项C正确；
对于D选项，因为，当且仅当时取等号，由题意可知，即，故选项D错误.
故选：AC.
11. 已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于直线对称
B.
C. 函数在区间上单调递减
D. 函数在处取到最大值
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，得到在上单调递增，在上单调递减，结合函数的图象变换，利用函数的单调性与对称性，以及对数的运算性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数是上的偶函数，所以函数的图象关于轴对称，
因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，所以C正确；
又由的图象是由的图象向左平移1个单位得到的，
所以的图象关于对称，所以A正确；
因为，，，
因为且函数在上单调递增，所以，
即，所以B正确；
因为在上单调递增，所以函数在上单调递减，
所以函数在处取到最小值，所以D不正确.
故选：ABC.
12. 某商户收集并整理了其在2023年1月到8月线上和线下收入的数据，并绘制如图所示的折线图，则下列结论正确的是（ ）
A. 该商户这8个月中，月收入最高的是7月
B. 该商户这8个月的线上总收人低于线下总收入
C. 该商户这8个月中，线上、线下收入相差最小的是7月
D. 该商户这8个月中，月收入不少于17万元的频率是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据折线图可分别计算出每个月的收入总和，即可得AD正确，易知线上总收入为72万元，线下总收入为61万元，可得B错误；由图中折线距离最近为7月份可知C正确.
【详解】对于A：该商户这8个月中，计算可得月收入分别为16万元，13.5万元，16万元，17万元，17万元，16万元，20万元，17.5万元，月收入最高的是7月，A正确；
对于B：该商户这8个月的线上总收入为72万元，线下总收入为61万元，B错误；
对于C：根据折线图可看出线上、线下收入折线距离最近的时7月份，即该商户这8个月中线上、线下收入相差最小的是7月，C正确；
对于D：根据A选项可知该商户这8个月中，月收入不少于17万元的有4个月，故所求频率为，D正确．
故选：ACD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知命题，，则命题的否定为_________
【答案】，
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题可得答案.
【详解】命题，，则命题的否定为“，”.
故答案为：，.
14. 求使等式成立的实数a的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】由成立，即可得出，解得即可.
【详解】，
要使成立，
需解得，
即实数a的取值范围是，
故答案为：.
15. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号产品，产量分别为200、400、300、100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从甲种型号的产品抽取______件.
【答案】12
【解析】
【分析】利用分层抽样的定义直接求解即可.
【详解】由题意知分层比为，且总抽量为件
故甲产品应抽件
故答案为：12
16. 航天（Spaceflight）又称空间飞行，太空飞行，宇宙航行或航天飞行，是指进入、探索、开发和利用太空（即地球大气层以外的宇宙空间，又称外层空间）以及地球以外天体各种活动的总称．航天活动包括航天技术（又称空间技术），空间应用和空间科学三大部分．为了激发学生对航天的兴趣，某校举行了航天知识竞赛．小张，小胡、小郭三位同学同时回答一道有关航天知识的问题．已知小张同学答对的概率是，小张、小胡两位同学都答错的概率是，小胡、小郭两位同学都答对的概率是．若各同学答题正确与否互不影响，则小张、小胡、小郭三位同学中至少两位同学答对这道题的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用独立事件与对立事件的概率公式求得各位学生答对这道题的概率，进而得解.
【详解】设小张同学答对的事件为A，答错的事件为，
小胡同学答对的事件为B，答错的事件为，
小郭同学答对的事件为C，答错的事件为，
因为小张同学答对的概率是，小张、小胡两位同学都答错的概率是，小胡、小郭两位同学都答对的概率是，
所以，则，
而 ，即，则，即，
而 ，即，则，即
所以小张、小胡、小郭三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为:
，
，
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知数集及定义在该数集上的某个运算（例如记为“*”），如果对一切，都有，那么就说，集合对运算“*”是封闭的．
（1）设，判断对通常的实数的乘法运算是否封闭？
（2）设，且，问对通常的实数的乘法是否封闭？试证明你的结论．
【答案】17. 数集对通常的实数乘法运算封闭．
18. 数集对通常的实数乘法运算不封闭，证明见解析．
【解析】
【分析】（1）根据“*”运算的定义进行判断即可；
（2）举出反例证明即可.
【小问1详解】
设是A中任意两个元素，其中，
那么．
因为，所以，
故数集A对通常的乘法运算封闭．
【小问2详解】
数集对通常乘法运算不封闭，证明如下：
取，则，但，
故数集对通常的乘法运算不封闭.
18 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）当时，的解集为，求.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得到方程，求出或；
（2）解分式不等式，求出解集.
【小问1详解】
，则，即，
解得：或.
【小问2详解】
当时，，
等价于，
解得：，
所以.
19. 已知函数，.
（1）用单调性的定义证明在上是单调减函数；
（2）若关于x的不等式对于任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用函数单调性的定义证明；
（2）根据恒成立要求，分离参数，根据函数的单调性求最小值，求解即可
【小问1详解】
任取，且，
则，
又，，
，，
，即，
在上是单调减函数．
【小问2详解】
在上单调递减且恒有，
不等式对于任意恒成立，
即为，对于任意恒成立，
令，
当时取得最小值，，
所以的取值范围是．
20. 已知函数.
（1）是否存在实数使函数为奇函数；
（2）判断并用定义法证明的单调性；
（3）在（1）的前提下，若对，不等式恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）存在，时是奇函数；
（2）是R上的增函数，证明见解析；
（3）
【解析】
【分析】（1）利用题给条件列出关于实数的方程，解之即可求得实数的值；
（2）利用增函数定义和指数幂的运算规则即可证得为增函数；
（3）利用题给条件列出关于的不等式，利用不等式性质即可求得的取值范围.
【小问1详解】
若是上奇函数，
则，
当时，满足 ，则是奇函数.
【小问2详解】
是R上的增函数，
证明如下：
设 ，则

由可得 ，，则
则，即
则 是R上的增函数.
小问3详解】
对，不等式恒成立，
即恒成立，
又是奇函数，则不等式可化为.
又是R上的增函数，则恒成立 ，
即恒成立，则恒成立,
又 ，则
，
则的取值范围为.
21. 随机抽取100名学生，测得他们的身高（单位： cm），按照区间[160，165），[165，170），[170，175），[175，180），[180，185]分组，得到样本身高的频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中x的值及身高在170 cm及以上的学生人数；
（2）将身高在[170，175），[175，180），[180，185]区间内的学生依次记为A，B，C三个组，用分层随机抽样的方法从这三个组中抽取6人，求这三个组分别抽取的学生人数.
【答案】21. x＝0.06，60
22. A组3人；B组2人；C组1人
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1求解x；求出身高在170cm及以上的频率，利用频数=样本容量×频率可得.
（2）根据分层抽样的相关运算进行求解即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图可知5×（0.07＋x＋0.04＋0.02＋0.01）＝1，
解得x＝0.06，
身高在170 cm及以上的学生人数为100×5×（0.06＋0.04＋0.02）＝60.
【小问2详解】
A组人数为100×5×0.06＝30，B组人数为100×5×0.04＝20，C组人数为100×5×0.02＝10，
由题意可知A组抽取人数为30×＝3，B组抽取人数为20×＝2，C组抽取人数为10×＝1，
故A，B，C三个组分别抽取的学生人数为3，2，1.
22. 某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）若产品的质量指数在内，则该产品为优等品．现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生产的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图计算平均数即可；
（2）先计算出甲、乙两条生产线的优等品数，由分层抽样计算出每层的人数，由古典概型概率公式计算即可.
【小问1详解】
甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：
【小问2详解】
由题意可知：甲生产线的样品中优等品有件.
乙生产线的样品中优等品有件.
则从甲生产线的样品中抽取的优等品有件，记为；
从乙生产线的样品中抽取的优等品有件，记为.
从这6件产品中随机抽取2件的情况有：共15种，
其中符合条件的情况有共8种.
故所求概率.