四川省宜宾市第四中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省宜宾市第四中学2023-2024学年高一上学期期末数学试题（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集,且A∩B={3},∩A={9},则A=（ ）
A. {1，3}B. {3，7，9}C. {3，5，9}D. {3，9}
【答案】D
【解析】
【详解】因为A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集,且A∩B={3},∩A={9},所以，3A，9A，
若5∈A，则5∉B，从而5∈∁UB，则(∁UB)∩A={5，9}，与题中条件矛盾，故5∉A.同理可得：1∉A，7∉A.
故选D．
2. 已知点是角终边上的一点，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角函数的定义求出，然后再根据诱导公式求出即可．
【详解】∵点是角终边上的一点，
∴，
∴．
故选A．
【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式的运用，解题的关键是根据定义求出正弦值，然后再用诱导公式求解，解题时要注意三角函数值的符号，属于基础题．
3. 设函数f（x）=csx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据定义域为R的函数为偶函数等价于进行判断.
【详解】 时，, 为偶函数；
为偶函数时，对任意的恒成立，

，得对任意的恒成立，从而.从而“”是“为偶函数”的充分必要条件，故选C.
【点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
4. 函数的零点所在的区间是（ ）
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
【答案】B
【解析】
【分析】易知函数是上的增函数,,结合零点存在性定理可判断出函数零点所在区间.
【详解】函数是上的增函数,是上的增函数,
故函数是上的增函数.
,,
则时,;时,,
因为,所以函数在区间上存在零点.
故选:B.
【点睛】本题考查了函数零点所在区间,利用函数的单调性与零点存在性定理是解决本题的关键,属于基础题.
5. 若集合，，则等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解不等式,可得集合A与集合B,根据交集运算即可得解.
【详解】集合，
解不等式,可得，
所以
所以选C
【点睛】本题考查了一元二次不等式、分式不等式解法,集合交集运算,注意分式不等式分母不为0的限制要求,属于基础题.
6. 若函数在上单调递减，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据幂函数的单调性求解.
【详解】因为函数在上单调递减，
所以,解得，
故选:C.
7. 定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】C
【解析】
【分析】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以集合的子集的个数是，
故选：C
8. 函数的定义域为，若满足：(1)在内是单调函数；(2)存在，使得在上的值域为，那么就称函数为“梦想函数”.若函数 是“梦想函数”，则的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“梦想函数”定义将问题改写为，等价转化为有2个不等的正实数根，转化为二次方程，利用根的分布求解.
【详解】因为函数是“梦想函数”，
所以在上值域为，且函数是单调递增的.
所以，即
∴有2个不等的正实数根，令
即有两个不等正根，
∴且两根之积等于，
解得.
故选：A.
【点睛】此题以函数新定义为背景，实际考查函数零点与方程的根的问题，通过等价转化将问题转化为二次方程根的分布问题，综合性比较强.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 方程的解集中有两个元素B.
C. 2D.
【答案】CD
【解析】
【分析】利用集合元素的性质、元素与集合的关系判断作答.
【详解】对于A，方程有等根1，因此方程的解集中只有1个元素，A错误；
对于B，0是自然数，B错误；
对于C，2是最小的质数，C正确；
对于D，是正分数，是有理数，D正确.
故选：CD
10. 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，逐个选项进行判断求解即可.
【详解】由已知得，，，得到，
对于A，由和，得到，A正确；
对于B，由和，得到，与题意不符，故B错误；
对于C，由，，得到，C正确；
对于D，由，，得到，D正确；
故选：ACD
11. 若函数，则（ ）
A. 函数为偶函数B. 函数在定义域上单调递增
C. 函数的值域为D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由函数奇偶性的定义判断选项A，分别判断与时，函数与的单调性，从而得函数的单调性，分析与对应的取值范围，计算得，并判断与的关系.
【详解】因为函数定义域为，，所以函数为偶函数，A正确；当时，单调递减，单调递增，所以函数单调递减，当时，单调递增，单调递减，所以函数单调递增，B错误；当时，，所以，当时，，所以，所以函数的值域为，C正确；，D正确.
故选：ACD
12. 已知，，设，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A. 若，则有最小值B. 若，则有最大值2
C. 若，则D. 若，则有最小值
【答案】BC
【解析】
【分析】利用基本不等式及二次函数性质求各项对应代数式最值，注意取值条件，即可判断各项正误.
【详解】A：，由，当且仅当时等号成立，错；
B：，当且仅当时等号成立，
即，可得，
所以有最大值2，对；
C：，则，
又，，则，可得，所以，对；
D：由题设，即，
当且仅当时等号成立，所以，错.
故选：BC
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知集合，若，则实数的值为__________.
【答案】0
【解析】
分析】解方程即得解.
【详解】解：因为，所以（舍去）或，
所以.
故答案为：0
14. 化简的结果为______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据诱导公式化简，再利用同角三角函数的关系：切化弦得解.
【详解】
故填．
【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数的关系，属于基础题.
15. 一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.
【答案】16
【解析】
【分析】根据经过8min后发现容器内还有一半的沙子，得到e－8b＝，然后又容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a联立求解.
【详解】当t＝8时，y＝ae－8b＝a，
所以e－8b＝.
容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，
所以e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，
则t＝24.
所以再经过16min容器中沙子只有开始时的八分之一.
故答案为：16
【点睛】本题主要考查指数型函数的应用，属于基础题.
16. 设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)＞f(2x－1)成立的x的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
判断的奇偶性和单调性，据此等价转化不等式，则问题得解.
【详解】由f(x)＝ln(1＋|x|)－，
且其定义域为，故f(x)为上的偶函数，
于是f(x)＞f(2x－1)即为f(|x|)＞f(|2x－1|).
当x≥0时，f(x)＝ln(1＋x)－，
在均是单调增函数，
所以f(x)为[0，＋∞)上的增函数，
则由f(|x|)＞f(|2x－1|)得|x|＞|2x－1|，
两边平方得3x2－4x＋1＜0，解得＜x＜1.
故答案为：
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断，涉及利用函数性质解不等式，属综合基础题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算下列各式的值
（1）
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用指数的运算规则进行求解；
（2）利用对数的运算规则进行求解.
【详解】（1）原式 ;
（2）原式 .
18. 已知集合，，.
（1）求，；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1），
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据集合的交并运算求得，；
（2）根据是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
，，
∴，.
【小问2详解】
，
当时，，∴．
当时，，∴．
综上所述，或.
19. 已知是定义在上的偶函数，且时，．
（1）求函数的表达式；
（2）判断并证明函数在区间上的单调性．
【答案】（1）
（2）单调减函数，证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，则，根据是偶函数，可知，然后分两段写出函数解析式即可；
（2）利用函数单调性的定义，即可判断函数的单调性，并可证明结果．
【小问1详解】
解：设，则，，
因为函数为偶函数，所以，即，
所以．
【小问2详解】
解：设，，
∵，∴，，
∴，∴在为单调减函数．
20. 已知函数，对任意都有．
（1）求的解析式；
（2）对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据得到函数的对称轴，再利用对称轴列方程，求即可；
（2）根据函数的解析式求出的最大值即可得到的范围.
【小问1详解】
因为对任意都有，所以是函数的一条对称轴，，解得，又，所以，.
【小问2详解】
因为对任意，不等式，所以，
因为，，所以，所以.
21. 某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为150万元，每生产x万件，需另投入成本为万元．当年产量不足60万件时，万元；当年产量不小于60万件时，万元．通过市场分析，若每件售价为400元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润=销售收入－总成本）
（1）写出年利润L万元关于年产量x万件的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？并求出利润的最大值．
【答案】21.
22. 年产量为90万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大值为600万元
【解析】
【分析】（1）利用“利润=销售收入－总成本”求得关于的函数解析式.
（2）根据二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.
【小问1详解】
当时，
，
当时，
．
所以.
【小问2详解】
当时，，
所以当时，取得最大值（万元）；
当时，，
当且仅当，即时等号成立．
综上，当时，取得最大值万元．
所以年产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大值为万元．
22. 已知函数为奇函数．
（1）求实数的值；
（2）判断并证明函数的单调性；
（3）若存在，使得函数在区间上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）1；（2）增函数，证明见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据函数奇函数的定义和条件，求出k的值之后再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；
（2）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明；
（3）假设存在，使得函数在区间上的值域为，由 在上递增，程在上有两个不等实根，可得的不等式组，解不等式即可得到实数的取值范围，即可得到判断存在性.
【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，
即对定义域内任意恒成立，所以，即，
显然，又当时，的定义域关于原点对称．
所以为满足题意的值．
（2）结论：在，上均为增函数．
证明：由（1）知，其定义域为，
任取，不妨设，则
，
因，又，
所以，所以，
即，所以在上为增函数．
同理，在上为增函数．
（3）由（2）知在上为增函数，
又因为函数在上的值域为，
所以，且，所以，
即是方程的两实根，
问题等价于方程在上有两个不等实根，
令，对称轴
则，
即，解得．
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化以及一元二次方程在给定区间上解的问题，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键，考查学生分析问题与解决问题的能力，是难题.