华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆课堂检测

这是一份华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆课堂检测，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共11小题）
1. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，若 ∠BOC=70∘，则 ∠A 的度数为
A. 35∘B. 40∘C. 55∘D. 70∘

2. 下列三角形：① 有两个角等于 60∘；② 有一个角等于 60∘ 的等腰三角形；③ 三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④ 一腰上的中线也是这条腰上的高的等 腰三角形．其中是等边三角形的有
A. ①②③B. ①②④C. ①③D. ①②③④

3. 如图，⊙O 的内接多边形周长为 3，⊙O 的外切多边形周长为 3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是 ．
A. 6B. 8C. 10D. 17

4. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，⊙O 的半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和 BC 的长分别为
A. 2，4π3B. 3，πC. 23，8π3D. 23，4π3

5. 如图，正六边形螺帽的边长为 a，那么扳手的开口 b 最小应是
A. 3aB. 12aC. 32aD. 33a

6. 尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中，传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：
①将半径为 r 的 ⊙O 六等分，依次得到 A，B，C，D，E，F 六个分点；
②分别以点 A，D 为圆心，AC 长为半径画弧，G 是两弧的一个交点；
③连接 OG．
问：OG 的长是多少?
大臣给出的正确答案应是
A. 3rB. 1+22rC. 1+32rD. 2r

7. 【例 1 】已知圆内接正三角形的面积为 33，则边心距是
A. 2B. 1C. 3D. 32

8. 若 ⊙O 的内接正 n 边形的边长与 ⊙O 的半径相等，则 n 的值为
A. 4B. 5C. 6D. 7

9. 如图，正五边形 ABCDE 内接于 ⊙O，P 为 DE 上的一点（点 P 不与点 D 重合），则 ∠CPD 的度数为
A. 30∘B. 36∘C. 60∘D. 72∘

10. 【测试 1 】如图，正八边形 ABCDEFGH 内接于圆，点 P 是弧 GH 上的任意一点，则 ∠CPE 的度数为
A. 30∘B. 15∘C. 60∘D. 45∘

11. 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABʹCʹDʹ 的位置，旋转角为 α0∘<α<90∘．若 ∠1=112∘，则 α 的大小是
A. 68∘B. 20∘C. 28∘D. 22∘

二、填空题（共8小题）
12. 如图，在边长为 2 cm 的正六边形 ABCDEF 中，点 P 在 BC 上，则 △PEF 的面积为 cm2．

13. 边长为 2 的正方形的外接圆的面积等于 ．

14. 若一个正六边形的周长为 24，则该六边形的面积为 ．

15. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，若 △ADE 的面积是 4，则正六边形 ABCDEF 的面积是 ．

16. 下面有 4 个命题：①过任意三点可以画一个圆；②同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是 2:3；③三角形的内心到三角形的三边距离相等；④长度相等的弧是等弧．其中正确的有 （填序号）．

17. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，⊙O 的半径为 4，若将 AB 边绕点 O 旋转一周，则 AB 边扫过的面积为 ．

18. 将边长为 3 cm 的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形，则这个新的正六边形的面积等于 ．

19. 已知 △ABC 内接于 ⊙O，最长边 AB 是 ⊙O 的内接正六边形的一边，BC 是 ⊙O 内接正八边形的一边，那么 AC 是 ⊙O 的内接正 边形的边．

三、解答题（共6小题）
20. 如图，MB，MD 是 ⊙O 的两条弦，点 A，C 分别在 MB，MD 上，且 AB=CD，M 是 AC 的中点．求证：BM=DM．

21. 已知正 n 边形的一个外角与一个内角之比为 1:3，求 n 的值．

22. 如图，∠1=∠2，AB=AC，AD=AE，且 B，C，D 三点共线，试比较 BD 和 CE 的大小．

23. 如图，已知正三角形的外接圆的半径为 1 厘米，求它的边长、边心距、周长和面积．

24. 如图，等边三角形 ABC 的边长为 10，求它的中心角、半径和边心距．

25. 如图，正三角形 ABC 内接于 ⊙O，AD 是 ⊙O 的内接正十二边形的一边，连接 CD，若 CD=12，求 ⊙O 的半径．
答案
一 选择题
1. A
【解析】∵ 如图，∠BOC=70∘，
∴∠A=12∠BOC=35∘．
2. D
3. C
【解析】圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长，
所以圆周长在 3 与 3.4 之间．
∵32=9，3.42=11.56，
∴9<圆周长<11.56，
∴ 圆周长最接近的是 10．
4. D
【解析】如图所示，连接 OC，OB，
∵ 多边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠BOC=60∘，
∵OA=OB，
∴△BOC 是等边三角形，
∴∠OBM=60∘，
∴OM=OBsin∠OBM=4×32=23，
BC 的长 =60π×4180=4π3．
5. A
6. D
7. B
【解析】设正三角形的边心距为 x，则其半径为 2x，边长为 23x，
∵ 圆内接正三角形的面积为 33，
∴12×23xx+2x=33，解得：x=1．
∴ 该圆的内接正三角形的边心距为 1．
故选：B．
8. C
【解析】∵⊙O 的半径与这个正 n 边形的边长相等，
∴ 这个多边形的中心角 =60∘，
∴360∘n=60∘，
∴n=6．
9. B
10. D
【解析】连接 OD，OC，OE，如图所示：
∵ 八边形 ABCDEFGH 是正八边形，
∴∠COD=∠DOE=360∘8=45∘，
∴∠COE=45∘+45∘=90∘，
∴∠CPE=12∠COE=45∘．
11. D
【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90∘，
∵ 矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABʹCʹDʹ 的位置，旋转角为 α，
∴∠BABʹ=α，∠BʹADʹ=∠BAD=90∘，∠Dʹ=∠D=90∘，
∵∠2=∠1=112∘，
而 ∠ABC=∠Dʹ=90∘，
∴∠3=180∘-∠2=68∘，
∴∠BABʹ=90∘-68∘=22∘，
即 α=22∘．
二 填空题
12. 23
【解析】如图，连接 BF，BE，过点 A 作 AT⊥BF 于 T．
因为六边形 ABCDEF 是正六边形，
所以 CB∥EF，AB=AF，∠BAF=120∘，
所以 S△PEF=S△BEF，
因为 AT⊥BF，AB=AF，
所以 BT=FT，∠BAT=∠FAT=60∘，
所以 ∠ABT=30∘，
所以 AT=12AB=1 cm，
所以 BT=3 cm，
所以 BF=2BT=23 cm，
因为 ∠AFE=120∘，∠AFB=∠ABF=30∘，
所以 ∠BFE=90∘，
所以 S△PEF=S△BEF=12EF⋅BF=12×2×23=23cm2．
13. 2π
14. 243
【解析】如图，连接 OB，OC，过 O 作 OM⊥BC 于 M．
∴∠BOC=16×360∘=60∘，
∵OB=OC，
∴△OBC 是等边三角形，
∵ 正六边形 ABCDEF 的周长为 24，
∴BC=24÷6=4，
∴OB=BC=4，
∴BM=12BC=2，
∴OM=OB2-BM2=23，
∴S△OBC=12×BC×OM=12×4×23=43，
∴ 该六边形的面积为：43×6=243．
15. 12
【解析】∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠DEF=∠BAF=∠F=120∘，∠DAF=60∘，DE=AF=EF，
∴∠AEF=∠EAF=30∘，DE=EF，
∴∠DAE=∠EAF=30∘，∠AED=90∘，
∴AD 为直径，DE=12AD=OD=OE，
∴△ODE 是等边三角形，
∵△ADE 的面积是 4，
∴△ODE 的面积 =12△ADE 的面积 =2，
∴ 正六边形 ABCDEF 的面积 =6△ODE 的面积 =6×2=12．
16. ②③
【解析】①过不在同一直线上的三点可以画一个圆，本说法错误；
②同圆的内接正方形和内接正三角形的边长比是 2:3；
设圆的半径为 R，在正方形 ABCD 中，连接 AC，
∵∠B=90∘，
∴AC 为直径，
∴AC=2R，
∴AB=22AC=2R，
在正三角形 EFM 中，作 ON⊥EF 于 N，连接 OF，
则 ∠ONF=90∘，∠OFN=12∠EFM=30∘，
∴ON=12R，
∴FN=R2-12R2=32R，
∴FM=2FN=3R，
∴AB:FM=2:3 本说法正确；
③三角形的内心到三角形的三边距离相等，本说法正确；
④能够互相重合的弧是等弧，本说法错误，
故答案为：②③．
17. 4π
【解析】如图，连接 OA，OB，作 OH⊥AB 于 H，
易知 △OAB 是等边三角形，AO=OB=AB=4，OH=23，
∴AB 边扫过的面积为 π⋅OA2-π⋅OH2=16π-12π=4π．
18. 983
19. 二十四
【解析】由于 BC 为最长边，所以不考虑 247 这种情况，而且此时边数 n 不为整数．
三 解答题
20. ∵AB=CD，
∴AB=CD．
∵M 是 AC 的中点，
∴AM=CM．
∴AB+AM=CD+CM，即 BM=DM．
∴BM=DM．
21. 8．
22. 设 ∠CAD=∠3，
因为 ∠1=∠2，
所以 ∠1+∠3=∠2+∠3，
即 ∠BAD=∠CAE，
在 △ABD 和 △ACE 中，
AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE，
所以 △ABD≌△ACESAS，
所以 BD=CE．
23. 边长为 3 厘米，边心距为 12 厘米，周长为 33 厘米，面积为 334 平方厘米．
24. 如图，
设等边三角形 ABC 的中心为点 O，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，连接 OB，OC，则 ∠BOC=360∘3=120∘，OB=OC，BD=CD=12BC=5．
∴∠OBC=30∘．
∴OB=2OD．
设 OD=x，则 OB=2x．
在 Rt△BOD 中，OD2+BD2=OB2，
即 x2+52=2x2．
解得 x=533（负值已舍去）．
∴OD=533，OB=1033．
∴ 等边三角形 ABC 的中心角为 120∘，半径为 1033，边心距为 533．
25. 连接 OA，OD，OC，
∵AD 为 ⊙O 的内接正十二边形的一边，
∴∠AOD=30∘，
∵AC 为 ⊙O 的内接正三角形的一边，
∴∠AOC=120∘，
∴∠COD=90∘，
又 ∵CD=12，
∴OC=OD=62，
故 ⊙O 的半径为 62．