2024届云南三校高考备考实用性联考卷（五）数学

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
【解析】
1．p：，，则为，，故选B．
2．，，，故选D．
3．由题意得，，故，即中共有3个元素，故选C．
4．当时，，当时，，因为函数的值域为，所以，所以实数的取值范围是，故选B．
图1
5．如图1，连接AC，BD，设，因为四边形ABCD为矩形，所以为矩形ABCD外接圆的圆心．连接，则平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线交EF于点M．连接PQ，则，且为PQ的中点，因为，所以，连接EP，FQ，在与中，易知，所以梯形EFQP为等腰梯形，所以，且．设，球O的半径为R，连接OE，OA，当O在线段上时，由球的性质可知，易得，则，此时无解．当O在线段的延长线上时，由球的性质可知，，解得，所以，所以球O的表面积，故选A．
6．设事件表示选到会做的题，事件表示选到有思路的题，事件表示选到完全没有思路的题；设事件表示答对该题，则，设事件表示答对8个题，则 ，设事件表示将有思路的题目做对，则，故选B．
7．由已知得，所以，又，所以，因为，所以．的外接圆半径，则，又，即，，当且仅当时，等号成立，，所以，故选C．
图3
图2
8．因为函数，令，则．当或时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减，作出函数的大致图象如图2，故A错；对B，当，，当时，不一定成立，故B错；对C，函数的根即为与函数的交点横坐标．作出函数的图象如图3，当或时，函数有1个零点，故C错；对D，函数有3个零点，则，，令，则，所以，，于是， ，故选D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
【解析】
9．由于焦点在直线上，当焦点在y轴上时，令，所以焦点坐标为，设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为；当焦点在x轴上时，令，所以焦点坐标为，设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的方程为，故选BC．
10．，则，故正确； ，故正确；复数的虚部为，故错误；复数在复平面内对应的点为，在第四象限，故正确，故选ABD．
11．对于A，根据，可得数据的方差为，故A正确；对于B，对两边同时取对数可得，因为，所以，所以，故B正确；对于C，从小到大可得这组数据为，，则这组数据的下四分位数（即第25百分位数）为，故C错误；对于D，因为，在犯错误的概率不超过0.05的情况下，可判断与无关，故D错误，故选AB．
图6
图5
图4
12．对选项A：如图4所示，连接，取中点，取中点，连接，，．由等边三角形的性质得，由等腰梯形的性质得．又，平面，所以平面．平面，故，同理，又，平面，所以平面，正确；对于选项B：如图5，等腰梯形的高，取中点，建立如图6所示的空间直角坐标系，设是的中心，是的中心，过作，过作， ，，所以几何体的高为，所以，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则取，得到，所以，所以与平面不平行，错误；对选项C：，正确；对选项D：，，，，．设平面的法向量为，取，得到，所以直线与平面所成角的正弦值为，，正确，故选ACD．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
【解析】
13．，因为的通项公式为 ，所以在中，当时，不满足；在中，当时，，则常数项为，故答案为．
14．因为，所以，则，解得．
图8
图7
15．方法1：如图7，连接，因为P在双曲线的右支上，则，∵双曲线的左焦点，∵△为等腰三角形，，∴，，∴，又∵ ，∴△为等边三角形，即：，，∴ ，∴在直角中，，，则，∴ ，即：，解得：．方法2：如图8，过P作PE⊥x轴于点E，∵双曲线的左焦点，∵△为等腰三角形，， ，，∴，∴在直角中，，，则，∵点P在双曲线上，∴，即：，∴，即：，，令，即：，解得：，即：，∵，∴．
16．由，得，则 ，当且仅当时，此时，或者（舍去）时等号成立，所以的最大值为2．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（1）
，
，的值域为．……………………………（5分）
（2）
，
即，由，得，
，即，
又，即，当且仅当时取等号，
，
．……………………………………………………（10分）
18．（本小题满分12分）
解：（1）∵，
∴，
又，∴，即．
又，
且，∴．……………………………………………………（6分）
（2）∵，
∴，
． …………………………………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（1）证明：平面平面ABCD，平面平面，
在等边中，取DC的中点E，连接PE，如图9，
则，且平面，
图9
平面，
又平面，，
已知，且，，平面，平面，
又平面PAD，平面平面．
……………………………………………………（6分）
（2）解：过点E作AD的平行线与AB交于点F，如图10，则，
又由（1）知平面，
建立如图所示的空间直角坐标系，
图10
可知：，，，，
，，，，
设平面APB的法向量为，
，令，则，
故，
设平面PBC的法向量为，
令，则，，
故，
，
设二面角的平面角为，则．
…………………………………………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（1）由已知可得，该单位每个人携带病毒的概率为．
所以5个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.95，
所以，一组混合血样呈阳性的概率为．
……………………………………………………………（4分）
（2）设5个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则．
由（1）知，5个人一组，需要重新化验的概率为0.05，
则X的分布列为
所以，，
总的化验次数为；………………………………（8分）
设10个人一组，每组需要化验的次数为随机变量，则．
10个人一组，该组混合血样不是阳性的概率为0.9，则10个人一组，需要重新化验的概率为0.1，
则Y的分布列为
所以，总的化验次数为，
所以，10个人一组的分组方式筛查出这1000人中该病毒携带者需要化验次数较少．
……………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（1）解：由椭圆的离心率为，且点在椭圆上，
可得，所以，
又点在该椭圆上，所以，所以，
所以椭圆C的标准方程为．………………………………………（4分）
（2）证明：设，由于该直线斜率不为0，可设，
联立方程和，得，
恒成立，根据韦达定理可知，
，
，
，
，．
……………………………………………………………（12分）
22．（本小题满分12分）
解：（1）由，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增．
……………………………………………………………（4分）
（2）由得，，其中，
①当时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②当时，分离参数得，，
记
令，
则，，
故单调递增，，故函数单调递增，，
由可得：恒成立，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
因此，，
综上可得，实数的取值范围是．
……………………………………………………（12分）题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
D
C
B
A
B
C
D
题号
9
10
11
12
答案
BC
ABD
AB
ACD
题号
13
14
15
16
答案
1
1
6
0.95
0.05
1
11
0.9
0.1