高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数精品习题

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一、指数函数的概念
1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，
其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．
2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由：
（1）如果，当
（2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在．
（3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要．
为了避免上述各种情况，所以规定且．
二、指数函数的图象与性质
三、比较指数幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
四、简单指数不等式的解法
1、形如的不等式，可借助的单调性求解；
2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解；
3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。
题型一 指数函数的概念判断
【例1】下列函数中，是指数函数的个数是（ ）
①；②；③；④.
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】D
【解析】①中底数－8<0，所以不是指数函数；
②中指数不是自变量，而是的函数，所以不是指数函数；
③中底数，只有规定且时，才是指数函数；
④中前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数
故选：D.
【变式1-1】下列是指数函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据指数函数的解析式可知，
为指数函数，A、B选项中的函数均不为指数函数，
C选项中的底数的范围未知，C选项中的函数不满足指数函数的定义.
故选：D.
【变式1-2】下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】形如且为指数函数，
其解析式需满足①底数为大于0，且不等于1的常数，
②系数为1，③指数为自变量，所以只有②是指数函数，
①③④⑤都不是指数函数，故选：B.
【变式1-3】函数，，，，其中指数函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】因为形如的函数称为指数函数，
所以和是指数函数，故选：B．
题型二 利用指数函数的概念求参
【例2】函数是指数函数，则（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】C
【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得，故选：C
【变式2-1】若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得，解得.故选：C.
【变式2-2】函数是指数函数，则有（ ）
A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a＞0且a≠1
【答案】C
【解析】由已知得，即，解得．故选：C
【变式2-3】已知函数和都是指数函数，则______.
【答案】
【解析】因为函数是指数函数，所以，
由是指数函数，所以，
所以，
题型三 求指数函数的解析式
【例3】若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为___．
【答案】
【解析】设指数函数的解析式为（a＞0且a≠1），
∴，解得，
∴.
【变式3-1】已知函数是指数函数，且，则________.
【答案】
【解析】设（且），
则，得，故，
因此，.
【变式3-2】已知是指数函数，若，则___________.
【答案】
【解析】设，
因为，即，解得，
所以，即．
【变式3-3】已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，则，所以，
又因为函数是奇函数，所以，
所以当时．
题型四 指数型函数过定点问题
【例4】函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，解得，
所以当时，，
所以函数过定点.故选：B
【变式4-1】对任意实数且关于x的函数图象必过定点( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵且，∴1－a＞0且1－a≠1，
故函数是指数函数，过定点(0，1)，
则过定点(0，5).故选：C.
【变式4-2】已知函数（且），则函数的图像恒过定点______．
【答案】
【解析】由解析式，当，即时，
所以的图像恒过定点.
【变式4-3】已知函数（，且）的图象过定点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数（，且）的图象过定点，
所以为，
，故选：C.
题型五 指数函数的图象问题
【例5】函数的图像如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【解析】由函数的图像可知，
函数在定义域上单调递减，
，排除AB选项；
函数图像是由向左平移所得，
，.故D选项正确.
【变式5-1】若函数的图象如图所示，且，则实数，的值可能为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】由函数的图像，可得函数为单调递增函数，所以，
又由，可得，可得，
结合选项，只有C项适合.故选：C.
【变式5-2】函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（ ）
A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，
【答案】C
【解析】直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，
而，
所以a，b，c，d的值分别是，，，，故选：C.
【变式5-3】如图，曲线①②③④分别是指数函数，，，的图像，则实数a、b、c、d的大小关系满足（ ）
A． B． C．； D．．
【答案】B
【解析】作出直线，此时与各函数的交点的纵坐标即为对应的底数，如图，
所以，故选：B
【变式5-4】在同一平面直角坐标系中，指数函数且和一次函数的图像关系可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，
所以一次函数与x轴交于，与y轴交于，故排除B选项；
对于A选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故A选项不正确；
对于D选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故D选项不正确；
对于C选项，一次函数的纵截距，而幂函数的图象中的，故C选项正确；
故选：C.
【变式5-5】已知函数（且）的图象不经过第二象限，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数（且）的图象不经过第二象限，
所以，解得，即；故选：A
【变式5-6】如果函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
则，解得，故选：B
题型六 比较指数幂的大小
【例6】已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵是减函数，，所以，
又，∴．故选：C．
【变式6-1】若，则a､b､c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在上单调递增，且，
所以，即，
因为在上单调递减，且，
所以，即，
所以，即，故选：A
【变式6-2】已知函数，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，，即，
所以，又，
所以，而递增，
故，故选：D
【变式6-3】设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为在上单调递增，在上单调递减
所以，故.故选：B
【变式6-4】若，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由指数函数是上的减函数，
，即，
幂函数，在上是增函数，
，即，
，故．故选：D．
【变式6-5】已知函数，，是正实数，，，，则，，的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，是正实数，
所以由基本不等式可得：，
又，，
所以，
因为函数为减函数，
所以，
即.故选：A.
题型七 解指数型不等式
【例7】若x满足不等式，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析由可得，
因为在上单调递增，所以即，解得：，
所以，即函数的值域是，故选：B.
【变式7-1】已知函数，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】可知函数为减函数，由，可得，
整理得，解得，
所以不等式的解集为．故选B.
【变式7-2】不等式的解集是______．
【答案】
【解析】．
【变式7-3】解不等式（且）.
【答案】当时，解集为，当时，解集为.
【解析】当时，由于单调递增，所以，解得：或；
当时，于单调递减，所以，解得：，
综上：当时，解集为，当时，解集为.
【变式7-4】已知函数，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】因为，定义域为，且，故为奇函数；
又均为单调增函数，故是上的单调增函数；
则，即，也即，
故，，解得.
故不等式的解集为.
故答案为：.
【变式7-5】已知函数.若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，
∴，即为奇函数，
又在R上均为减函数，
∴为减函数，
由得：，
∴，即，解得.故选：D.
题型八 指数型函数的单调性问题
【例8】函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，在单调递增，在单调递减，
在单调递增，
根据“同增异减”可得，函数的单调递减区间是.故选：A.
【变式8-1】函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数在区间上单调递减，在上单调递增，
函数在定义域内是单调递减函数，
所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得：
的单调递减区间为.故选：D
【变式8-2】函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，函数的单调减区间是
由于在上单调递减，
所以函数的单调递增区间为，故选：A
【变式8-3】函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，解得：，
即定义域为，
令，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
而函数在R上单调递减，
因此，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.故选：C
【变式8-4】函数的严格增区间为_______.
【答案】
【解析】令，则函数为，为减函数，
所以要求函数的严格增区间，只需求的减区间，
又，
所以的减区间为，
所以函数的严格增区间为.
【变式8-5】函数的单调递增区间是_________．
【答案】
【解析】
令，
，
当时，即，单调递增；
当时，即，单调递减；
因为单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
【变式8-6】若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递减，
二次函数开口向上，对称轴为
所以，即
故答案为：
【变式8-7】已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】令，可得抛物线的开口向上，且对称轴为，
所以函数在上单调递减，在区间上单调递增，
又由函数，
根据复合函数的单调性的判定方法，
可得函数在上单调递增，在区间上单调递减，
因为函数在上单调递减，则，
可得实数的取值范围是.
题型九 指数型函数的奇偶性问题
【例9】已知函数为定义在R上的奇函数，求实数m，n的值.
【答案】
【解析】由于是定义在R上的奇函数，
所以，
所以，
由于是奇函数，所以，
所以，
即，
所以.
【变式9-1】已知函数是定义在上的奇函数，求实数的值.
【答案】
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即，解得.
【变式9-2】已知函数为偶函数，则______．
【答案】1
【解析】由题设，，
所以.
【变式9-3】已知函数是偶函数，则常数的值为__．
【答案】
【解析】易知函数定义域为
函数是偶函数
对定义域内每一个都成立
，
，
对定义域内每一个都成立
，即 .
【变式9-4】设函数（且）是定义域为的奇函数．求实数k的值；
【答案】
【解析】函数（且）是定义域为的奇函数,则，
所以，
又时，，
对任意的，都有成立，满足题意，
所以；
题型十 指数型函数的值域问题
【例10】函数的值域是__________.
【答案】
【解析】因为指数函数在上为单调递减函数，
所以当x=-3时，函数有最大值为，
当x=1时，函数有最小值为，所以值域为.
【变式10-1】函数，的值域是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，
则，
则，故选：A.
【变式10-2】已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意，函数，，
令，则在上单调递增，即，
于是有，当时，，此时，，
当时，，此时，，
所以函数的值域为.故选：B
【变式10-3】函数在上的值域为___________.
【答案】
【解析】
∵则令
在递增
∴
故答案为：．
图象
性质
定义域
值域
过定点
单调性
在上是增函数
在上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数