三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法-高一数学上学期同步高分突破(人教A版必修第一册)

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三角函数专题：三角函数最值（值域）的5种常见考法1、形如 (或)型可利用正弦函数，余弦函数的有界性，注意对a正负的讨论2、形如 (或型（1）先由定义域求得的范围（2）求得 (或)的范围，最后求得最值3、形如型引入辅助角转化为，其中，再利用三角函数的单调性求最值。4、形如或型，可利用换元思想，设或，转化为二次函数求最值，t的范围需要根据定义域来确定．5、形如型利用和的关系，通过换元法转换成二次函数求值域6、分式型三角函数值域（1）分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；（2）判别式法题型一 借助辅助角公式求值域【例1】该函数的最大值是（ ）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】因为，又，所以函数的最大值是2.故选：C.【变式1-1】已知的最大值是2，则在中的最大值是（ ）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】根据辅助角公式可得：，其中.由的最大值为2可得,解得.∴.∵，∴.∴当，即时，取得最大值.故.故选:C.【变式1-2】已知函数，则函数的值域为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】 ,,，所以，所以函数的值域为.故选：B【变式1-3】函数在区间上的最大值是（ ）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【解析】因为，所以，，，，．故选：C．【变式1-4】己知函数，则的最小值是_________.【答案】【解析】由题意可得，其中，，且．因为,所以.所以的最小值是.题型二 借助二次函数求值域【例2】求函数的值域.【答案】【解析】y=-2sin2x+2sinx+1=-2sinx-122+32，-1≤sinx≤1，根据二次函数性质知，当时，；当时，，故值域为.【变式2-1】函数的值域为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】函数，设，，则，由二次函数的图像及性质可知，所以的值域为，故选：C.【变式2-2】函数的值域为____________【答案】【解析】因为令，则所以，所以，故函数的值域为【变式2-3】函数的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，令，则．因为在上单增，所以当时，．故选：C．题型三 借助换元法求值域【例3】已知函数，则（ ）A．的最大值为3，最小值为1B．的最大值为3，最小值为-1C．的最大值为，最小值为D．的最大值为，最小值为【答案】C【解析】因为函数，设，，则，所以，，当时，；当时，.故选：C【变式3-1】函数y＝sin x－cos x＋sin xcos x，x∈[0，π]的值域为________．【答案】[－1,1]【解析】设t＝sin x－cos x，则t2＝sin2x＋cos2x－2sin xcos x，即sin xcos x＝eq \f(1－t2,2)，且－1≤t≤eq \r(2). ∴y＝－eq \f(t2,2)＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1.当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时，ymin＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．【变式3-2】函数的最大值为（ ）A．1 B． C． D．3【答案】C【解析】，令，所以，则，所以，所以原函数可化为，，对称轴为，所以当时，取得最大值，所以函数的最大值为，即的最大值为，故选：C【变式3-3】函数fx=sinxcosx+2sinx-π4的值域为________．【答案】-12-2,1【解析】由于fx=sinxcosx+2sinx-π4=sinxcosx+sinx-cosx，令sinx-cosx=t，则sinxcosx=1-t22，于是函数化为y=1-t22+t=-12(t-1)2+1，而t=sinx-cosx=2sinx-π4∈[-2,2] ，所以当时，函数取最大值1，当t=-2时，函数取最小值-12-2，故值域为-12-2,1.题型四 分式型三角函数的值域【例4】函数的值域是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，，可得，，，故.故选：B.【变式4-1】函数的值域为___________.【答案】【解析】解：，因为，所以，所以，所以，所以的值域是.【变式4-2】函数的值域为_____________．【答案】【解析】令，，则，即，所以，又因为，所以，即函数的值域为．【变式4-3】当时，函数的最小值是________.【答案】【解析】，当时，，所以，，即的最小值为.题型五 含绝对值的三角函数值域【例5】y＝sin x－|sin x|的值域是（ ）A．[－1,0] B．[0,1] C．[－1,1] D．[－2,0]【答案】D【解析】当 时， ，所以，当，，又 ，所以函数的值域为，故选：D.【变式5-1】函数的值域是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】，∴为周期函数，其中一个周期为，故只需考虑在上的值域即可，当时，，其中，,∴，，当时，，其中，，∴，，∴的值域为.故选：C【变式5-2】设函数，，则函数的最小值是______．【答案】0【解析】∵为偶函数，∴只需求函数在上的最小值，此时，令，则，函数的对称轴为，∴当时，.【变式5-3】若不等式在恒成立，则的取值范围是______.【答案】【解析】∵ ，∴ ，∴ ，∴，∵ 不等式在恒成立∴ ，，∴.故的取值范围是.