函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法-高一数学上学期同步高分突破(人教A版必修第一册)

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函数专题：利用函数单调性与奇偶性解不等式的6种常见考法一、单调性定义的等价形式（1）函数在区间上是增函数:任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.（2）函数在区间上是减函数:任取，且，都有；任取，且，；任取，且，；任取，且，.二、定义法判断函数奇偶性判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．三、利用单调性、奇偶性解不等式原理1、解型不等式（1）利用函数的单调性，去掉函数符号“”，将“抽象”的不等式问题转化为“具体”的不等式问题求解；（2）若不等式一边没有函数符号“”，而是常数（如），那么我们应该将常数转化带有函数符号“”的函数值再解。2、为奇函数，形如的不等式的解法第一步：将移到不等式的右边，得到；第二步：根据为奇函数，得到；第三步：利用函数的单调性，去掉函数符号“”，列出不等式求解。题型一 根据简单抽象函数的单调性解不等式【例1】设函数是R上的减函数，若，则实数m的取值范围是____.【答案】【解析】因为函数是上的减函数，则等价于，即，即，解得，即；【变式1-1】已知在定义域（–2，2）上是增函数，且，求的取值范围__________.【答案】【解析】因为是定义在的增函数，，所以，解得，所以的取值范围为.【变式1-2】已知f(x)是定义在上的单调递增函数，且，则满足的x的取值范围是_______.【答案】x＜【解析】因为，所以和化为，又因为f(x)是定义在上的单调递增函数，所以，解得.【变式1-3】已知函数的定义域，，且，．若，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意得是定义在上的增函数，由，得解得．所以的取值范围为，选项A正确，故选：A.【变式1-4】已知定义在上的函数，对，且，总有，且函数的图像经过点，若，则的取值范围是______．【答案】【解析】因为对，且总有，所以在上是增函数．又的图像经过点，即，所以等价于，所以即，即的取值范围【变式1-5】已知函数定义域为R，满足，且对任意，均有，则不等式解集为______．【答案】【解析】因为函数满足，所以函数关于直线对称，因为对任意，均有成立，所以函数在上单调递增．由对称性可知在上单调递减．因为，即，所以，即，解得或．故答案为：【变式1-6】已知函数是定义在上的奇函数，若对任意给定的实数，，恒立，则不等式的解集是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由整理得，时，时，所以在上单调递减，是上的奇函数可知，，且，或，由得，或，所以，则不等式的解集是.故选：A.题型二 根据简单抽象函数的单调性与奇偶性解不等式【例2】定义在（-1，1）上的奇函数为减函数，且，求实数a的取值范围.【答案】【解析】由题即根据奇函数定义可知原不等式为又因为单调递减函数，故，解得或又因为函数定义域为故，解得,所以综上得的范围为.【变式2-1】偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集为______【答案】【解析】因为偶函数在区间上单调递增，所以，即，，解得.故该不等式的解集为.【变式2-2】已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是____．【答案】【解析】因为是奇函数，且，所以．因为，所以．因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减．因为，所以，则．【变式2-3】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减．若实数满足，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】为上的偶函数，且在区间上单调递减，在上单调递增；，，即，，即或，解得：或，即实数的取值范围为.【变式2-4】（多选）已知偶函数，有，时，成立，则对任意的恒成立的一个必要不充分条件是（ ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】当时，成立，则函数在为单调递减函数，又函数为偶函数，则函数在上单调递增函数，对任意的恒成立，所以，当时，不等式恒成立，当时，，又，当且仅当时取等号，则，即，解得，由必要不充分条件的概念可知选项A、D正确，选项B、C错误.故选：AD【变式2-5】设偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集是_____．【答案】【解析】因为是偶函数，所以等价于，又在上单调递减，所以在上单调递增．由得，或，又，所以，由得，由得，故解集为.题型三 根据复杂抽象函数的单调性解不等式【例3】已知是定义在上的减函数，且对任意，都有，则不等式f（x-2）>的解集为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，满足，则，则，又由是定义在上的减函数，则有，解可得，即不等式的解集为.故选：B.【变式3-1】已知定义在上的函数为增函数，且满足，.（1）求和的值；（2）解关于的不等式.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）， 又，（2），因为函数在上为增函数，所以，不等式的解集为【变式3-2】已知是定义在上的减函数，若对于任意，均有，，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令时，，由，因为是定义在上的减函数，所以有，故选：D【变式3-3】定义在上的函数满足下面三个条件：① 对任意正数，都有；② 当时，；③ （1）求和的值；（2）试用单调性定义证明：函数在上是减函数；（3）求满足的的取值集合．【答案】（1）,；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）令得：，则，而， 且，则；（2）取定义域中的任意的，，且，，当时，，，，在上为减函数．（3）由条件①及（1）的结果得，，， ，，解得，故的取值集合为.题型四 根据单调性定义构造函数解不等式【例4】定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为_________．【答案】【解析】设，由已知式变形为，所以在上是减函数，又．所以不等式化为，又，所以．【变式4-1】定义在上的函数满足，且，，则不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】，不妨设，故，即，令，则，故在上单调递减，，不等式两边同除以得：，因为，所以，即，根据在上单调递减，故，综上：故选：B【变式4-2】已知函数.若对于任意，都有，则a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，所以，即，因为时等价于，即.令，则在上单调递减，所以或，解得或，即.故选：A【变式4-3】设函数，对于任意正数，都．已知函数的图象关于点成中心对称，若，则的解集为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的图象关于点成中心对称，故函数的图象关于点成中心对称，记是奇函数.记所以是偶函数，对于任意正数，都，即，所以在 单调递增，且，是偶函数，故在 单调递减，且当时，，当时，，故的解集为，故选：B【变式4-4】已知定义在上的函数满足，均有，则不等式的解集为___________.【答案】【解析】因为定义在上的函数满足，所以设，则，所以为奇函数，因为，都有，当时，则有，即，所以，所以在上单调递增，当时，则有，所以，所以在上单调递增，综上：在上单调递增，因为为奇函数，则在R上单调递增，变形为：，即，所以，解得：.故答案为：【变式4-5】设函数的定义域为，对于任意的，当，有，若，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】因为，所以，即又，所以令，因为对于任意的，，所以在上单调递增，又，，由有：即，由函数的单调性有： .则不等式的解集为：.题型五 根据简单具体函数的单调性解不等式【例5】已知函数的定义域为，则不等式的解集为 （ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，可知在上单调递减，所以不等式成立，即，故选：C.【变式5-1】已知函数，若则实数的取值范围是____．【答案】【解析】由题意可知，函数在上单调递增，则，即且，即且，解得且或，即.【变式5-2】已知函数，若，则实数的取值范围是___.【答案】【解析】和在上都是单调递减，在上单调递减，由，可得，解得，即．【变式5-3】已知函数，则不等式的解集为______.【答案】【解析】因为定义域为，且，即为奇函数，又与在定义域上单调递增，所以函数在上单调递增，则不等式等价为，即，解得，即不等式的解集为.题型六 根据复杂具体函数的单调性解不等式【例6】已知函数，则使得成立的的取值范围是__________.【答案】【解析】由且，所以为偶函数，若时，，而，所以，故在上递增，则上递减，要使成立，即，可得.【变式6-1】已知函数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数满足，且定义域为R，所以函数为偶函数，且当时，函数单调递增，故可以变为，即，当时，；当时，可得．又，当且仅当时取等号，所以，解得，故选：B．【变式6-2】已知函数，则关于不等式的解集为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，则函数的定义域为，，即函数为奇函数，因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，设，，，则，故函数的定义域为，且，所以，，则函数为上的奇函数，当时，由于内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以，函数在上为增函数，由奇函数的性质可知，函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，令，则函数在上为增函数，且，即函数为奇函数，由可得，即，所以，，解得.因此，不等式的解集为，故选：C.【变式6-3】已知是奇函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵是奇函数，∴即恒成立，即，则，解得，又∵，∴，则，所以，，是奇函数，因为在是单调递减函数，在是单调递增函数，由复合函数的单调性性判断得，函数在上单调递减，又为奇函数，所以在上单调递减；由恒成立得，可得恒成立，则，即恒成立，所以恒成立，解得，故选：B.【变式6-4】已知函数，若存在，使得成立，则t的取值范围为_____．【答案】【解析】，且定义域为，为奇函数，易知单调递增令，显然为增函数，，，存在，使得成立，即.