沪科版七年级上册4.4 角课时训练

这是一份沪科版七年级上册4.4 角课时训练，共105页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30438" 【考点1 直线、射线、线段的条数】 PAGEREF _Tc30438 \h 1
\l "_Tc21414" 【考点2 双中点求线段问题】 PAGEREF _Tc21414 \h 2
\l "_Tc12495" 【考点3 线段的等分点问题】 PAGEREF _Tc12495 \h 3
\l "_Tc21061" 【考点4 线段动点的定值计算】 PAGEREF _Tc21061 \h 4
\l "_Tc18822" 【考点5 线段中的参数表示(比例关系)问题】 PAGEREF _Tc18822 \h 5
\l "_Tc32135" 【考点6 剪绳子(端点重合)问题】 PAGEREF _Tc32135 \h 7
\l "_Tc20005" 【考点7 动点中线段和差问题】 PAGEREF _Tc20005 \h 8
\l "_Tc10397" 【考点8 线段的长短比较】 PAGEREF _Tc10397 \h 9
\l "_Tc15785" 【考点9 时针和分针重合次数与时间】 PAGEREF _Tc15785 \h 10
\l "_Tc13526" 【考点10 两定角、双角平分线与角度关系】 PAGEREF _Tc13526 \h 11
\l "_Tc335" 【考点11 线段、角的规律问题】 PAGEREF _Tc335 \h 13
\l "_Tc18200" 【考点12 角度的翻折问题】 PAGEREF _Tc18200 \h 14
\l "_Tc28816" 【考点13 两块三角板旋转问题】 PAGEREF _Tc28816 \h 16
\l "_Tc20063" 【考点14 三条线旋转与角度的关系】 PAGEREF _Tc20063 \h 18
\l "_Tc1598" 【考点15 余角和补角的性质】 PAGEREF _Tc1598 \h 20
\l "_Tc2801" 【考点16 用尺规作角、线段】 PAGEREF _Tc2801 \h 22
【考点1 直线、射线、线段的条数】
【例1】（2022·辽宁锦州·七年级期末）如图，C，D是线段AB上的点，若AB=8，CD=2，则图中以C为端点的所有线段的长度之和为 ______．
【变式1-1】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）阅读并填空：
问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？
要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，3条，同样以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有______条线段．
知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有______个角；若在内部画条射线，则总共有______个角．
学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票．
【变式1-2】（2022·北京通州·七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有_____条．
【变式1-3】（2022·黑龙江·抚远市第三中学七年级期末）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【考点2 双中点线段问题】
【例2】（2022·福建泉州·七年级期末）在一条直线上依次有、、、四点．若点是线段的中点，点是线段的中点，则有（ ）
A．B．C．D．
【变式2-1】（2022·山东东营·期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．
(1)若线段AB＝a，CE＝b且，求a，b的值；
(2)在（1）的条件下，求线段CD的长，
【变式2-2】（2022·山东潍坊·七年级期末）已知点在直线上，点，分别为，的中点．
(1)如图所示，若在线段上，厘米，厘米，求线段，的长；
(2)若点在线段的延长线上，且满足厘米，请根据题意画图，并求的长度（结果用含的式子表示）．
【变式2-3】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）一条直线上有，，三点，，，点，分别是，的中点，则______．
【考点3 线段的等分点问题】
【例3】（2022·吉林白城·七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为－10，点B表示的数为2．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，P、Q同时出发，设运动时间为t（t＞0）秒，解答下列问题．
（1）数轴上点P表示的数为 ，点Q表示的数为 （用含t的代数式表示）；
（2）当点P表示的数和点Q表示的数互为相反数时，求t的值；
（3）点P追上点Q时，求t的值；
（4）若点B恰好是线段PQ的3等分点时，t的值为 ．
【变式3-1】（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期末）如图，点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点．若，则线段AB的长为______．
【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．
（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______；
（2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．
①当点D在线段AB上运动，求的值；
②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．
【变式3-3】（2022·辽宁锦州·七年级期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN＝___________；
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；
③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；
【考点4 线段动点的定值计算】
【例4】（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足．
(1)如图1，求线段AB的长；
(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；
(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．
【变式4-1】（2022·湖北孝感·七年级期末）如图，已知数轴上点表示的数为9，点表示的数为-6，动点从点出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，
(1)数轴上点表示的数为__________（用含的式子表示）
(2)当为何值时，？
(3)若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．
【变式4-2】（衢州华茂外国语学校七年级期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
【理解与应用】
(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________；
若，则________AB．
【拓展与延伸】
(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；
②t为何值时，．
【变式4-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【考点5 线段中的参数表示(比例关系)问题】
【例5】（2022·浙江舟山·七年级期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．
【变式5-1】（2022·广西河池·七年级期末）如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．
(1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长；
(2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点．
(3)若，是数轴上的一点，且，求的值．
【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【变式5-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【考点6 剪绳子(端点重合)问题】
【例6】（2022·全国·七年级专题练习）把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A．B．C．或D．或
【变式6-1】（2022·全国·七年级课时练习）将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（ ）
A．37B．36C．35D．34
【变式6-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，将一股标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分某处剪断，将绳于分为A，B，C三段若这三段的长度的比为3：2：1，则折痕对应的刻度是__________．
【变式6-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．

（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在处．
①如图2，若恰好重合于点O处，MN= cm，
②如图3，若点落在的左侧，且=20cm，求MN的长度；
③若=ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在处，在重合部分N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．
【考点7 动点中线段和差问题】
【例7】（2022·全国·七年级阶段练习）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；
(2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长；
(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值．
【变式7-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【变式7-2】（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）在数轴上，点为原点，点表示的数为9，动点，在数轴上移动（点在点右侧），总保持（大于0且小于4.5），设点表示的数为．
(1)如图，当动点，在线段上移动时，
①若，且为中点时，则点表示的数为__________，点表示的数为__________；
②若，求多项式的值；
(2)当线段在射线上移动时，且，求（用含的式子表示）．
【变式7-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）则OA＝ cm，OB＝ cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．
①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为 ；此时，Q点所到的点表示的数为 ．（用含t的代数式表示）
②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．
【考点8 线段的长短比较】
【例8】（2022·陕西·延安市实验中学七年级期末）如图，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作一条线段EF，使EF的长等于a+b，并比较线段EF与线段AB的长短．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【变式8-1】（2022·全国·七年级课时练习）为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则( )
A．AB＜CDB．AB＞CDC．AB＝CDD．以上都有可能
【变式8-2】（2022·浙江·衢州华茂外国语学校七年级期末）如图，已知AC=BD，则AB与CD之间的大小关系是( )
A．AB>CD.B．AB=CD.C．AB【变式8-3】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，、、、四点在同一直线上．
(1)若．
①比较线段的大小：________（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若，且，则的长为________；
(2)若线段被点、分成了2：3：4三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长．
【考点9 时针和分针重合次数与时间】
【例9】（2022·江苏苏州·七年级期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，如果时间从下午2点整到下午4点整，钟面角为90°的情况有（ ）
A．有一种B．有二种C．有三种D．有四种
【变式9-1】（2022·全国·七年级单元测试）根据所学知识完成题目：
（1）一个角的余角与补角的和是这个角的补角与余角的差的两倍，求这个角．
（2）从两点三十分时开始算起，钟表上的时针与分针经过多久第一次重合？
【变式9-2】（2022·全国·七年级单元测试）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
(1)分针每分钟转了几度？
(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于？
(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于？
【变式9-3】（2022·江苏·射阳县实验初级中学七年级阶段练习）探究实验：《钟面上的数字》
实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想．
实验准备：机械钟（手表）一只
实验内容与步骤：
观察与思考：
（1）时针每分钟转动__°，分针每分钟转动__°．
（2）若时间为8：30，则钟面角为__°，（钟面角是时针与分针所成的角）
操作与探究：
（1）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处．再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻时针与分针再次重合？一天24小时中，时针与分针重合多少次？（一天中起始时刻和结束时刻时针与分针重合次数只算一次，下同）
（2）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处，再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻钟面角第一次为90°？一天24小时中，钟面角为90°多少次？
拓展延伸：
一天24小时中，钟面角为180°__次，钟面角为n°（0＜n＜180）____次．（直接写出结果）
【考点10 两定角、双角平分线与角度关系】
【例10】（2022·陕西西安·七年级期末）已知和三条射线在同一个平面内，其中平分角平分角，
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，若，直接用、表示；
(3)若、在同一平面内，且，平分角，平分角，直接写出用、表示．
【变式10-1】（2022·广东·正德中学七年级期末）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
【变式10-2】（2022·浙江宁波·七年级期末）【定义】如图1，平分，则称射线关于对称．
(1)【理解题意】如图1，射线关于对称且，则_______度；
(2)【应用实际】 如图 2，若在内部，关于对称， 关于对称， 求的度数；
(3)如图3, 若在外部，且关于对称，关于对称，求的度数；
(4)【拓展提升】 如图4， 若关于的边对称， ，求 ．（直接写出答案）
【变式10-3】（2022·湖北黄石·七年级期末）将一副直角三角板，，按如图1放置，其中与重合，，．
(1)如图1，点在线段的延长线上，求的度数；
(2)将三角板从图1位置开始绕点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．
①如图2，当旋转至的内部时，求的度数；
②当旋转至的外部时，直接写出的度数．
【考点11 线段、角的规律问题】
【例11】（2022·重庆忠县·七年级期末）如图中∠AOB＝60°，图①中∠AOC1＝∠C1OB，图②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，图③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此规律排列下去，前④个图形中的∠AOC1之和为( )
A．60°B．67°C．77°D．87°
【变式11-1】（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
【变式11-2】（2022·全国·七年级）如图，已知，在内画一条射线时，则图中共有3个角；在内画两条射线时，则图中共有6个角；在内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在内画20条射线时，则图中角的个数是（ ）
A．190B．380C．231D．462
【变式11-3】（2022·云南昆明·七年级期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（ ）
A．B．C．D．
【考点12 角度的翻折问题】
【例12】（2022·山东德州·七年级期末）如图，一纸片沿直线AB折成的V字形图案，已知图中∠1=62°，则∠2的度数=_____．
【变式12-1】（2022·广西·上思县教育科学研究所七年级期末）下图所示的图形，长方形纸片沿AE折叠后，点与重合，且已知∠CED′=50º.则∠AED的是( )
A．60ºB．50ºC．75ºD．65º
【变式12-2】（2022·福建省福州第一中学七年级期末）在福州一中初中部第十二届手工大赛中，初一年段的小红同学用长方形纸带折叠出逼真的动物造型．其中有三个步骤如下：如图①，已知长方形纸带，，将纸带折叠成图案②，再沿折叠成图案③，则③中的的度数是( )
A．B．C．D．
【变式12-3】（2022·江西南昌·七年级期末）已知长方形纸片，点在边上，点在边上，将沿翻折到，射线与交于点.点在边上，将沿翻折到，射线与交于点.
（1）如图1，若点与点重合，直接写出以为顶点的两对相等的角，并求的度数；
（2）如图2，若点在点的右侧，且，，求与的度数；
（3）若点在点的左侧，且，求的度数（用含的代数式表示）.
【考点13 两块三角板旋转问题】
【例13】（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期末）【实践操作】三角尺中的数学．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．
①若，则_________；若，则______；
②猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
(2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶，点A重合在一起，，则与的大小又有何关系，请说明理由；
(3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出与的大小关系：________．
【变式13-1】（2022·湖南长沙·七年级期末）（1）利用一副三角板可以画出一些特殊的角，在①135°，②120°，③75°，④50°，⑤35°，⑥15°，四个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是______；（填序号）
（2）在图①中，写出一组互为补角的两角为______；
（3）如图①，先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角的顶点与60°角的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上（图①），固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度（如图②），当OB平分时，求旋转角度．
【变式13-2】（2022·河南南阳·七年级期末）（1）如图1所示，将两块不同的三角尺（∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）的直角顶点C叠放在一起．
①若∠DCE＝25°，则∠ACB＝ ；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝ ．
②猜想∠ACB与∠DCE有何数量关系，并说明理由．
（2）如图2所示，若两个相同的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．
（3）已知∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图3所示，∠AOD与∠BOC有何数量关系，请直接写出结果，不说明理由．
【变式13-3】（2022·湖北随州·七年级期末）如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边DO、BO在线段MN上，∠COD=∠AOB=90°．
(1)将图1中的三角板COD绕着点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC=35°，则∠BOD=______；当∠AOC＜90°时猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并说明理由．
(2)将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒时OD所在的直线平分∠AOB？
【考点14 射线旋转与角度的关系】
【例14】（2022·湖北武汉·七年级期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．
(1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；
(2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．
(3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值．
【变式14-1】（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）图（1）所示，点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
(2)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（2）所示的位置，以（1）题思路探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；
(3)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（3）所示的位置，直接写出∠AOC与∠DOE的度数之间的关系．
【变式14-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线．
(1)若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC．求∠AOD及∠BOC的度数；
(2)如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，请写出∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆时针旋转，OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回到OD时，OB、OC同时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此时t的值为 （直接写出答案）．
【变式4-3】（2022·湖南岳阳·七年级期末）(1) 特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动(点A不超过点M，点B不超过点N)，点C和点D分别是AM，BN的中点．
① 若AM＝16cm，则CD＝ cm；
② 线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．
(2) 知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．
① 若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD=_____________度．
② 请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．
(3) 类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，，用含有k的式子表示的度数． (直接写出计算结果)
【考点15 余角和补角的性质】
【例15】（2022·山东·昌乐北大公学学校七年级阶段练习）已知：点O是直线AB上一点，过点O分别画射线OC，OE，使得．
（1）如图，OD平分．若，求的度数．请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．
解：∵点O是直线AB上一点，
∴．
∵，
∴．
∵OD平分．
∴（ ）．
∴ °．
∵，
∴（ ）．
∵ ，
∴ °．
（2）在平面内有一点D，满足．探究：当时，是否存在的值，使得．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【变式15-1】（2022·福建·福州市秀山初级中学七年级阶段练习）如图1，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝40°，则∠DOE的度数为________°；
（2）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变， 探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：_________________________．
【变式15-2】（2022·浙江·七年级专题练习）如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以为顶点的相等的角；
(2)若，求度数；
(3)写出与之间所具有的数量关系；
(4)当三角板绕点旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．
【变式15-3】（2022·河北石家庄·七年级期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角板DOE的直角（∠DOE＝90°）顶点放在点O处．
(1)将直角三角板DOE的一边OD放在射线OB止，如图1所示，则∠COE的度数为_______________________，其补角的度数为________________________；
(2)将直角三角板DOE绕点O转动到如图2所示的位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE之间的数量关系，并说明理由；
(4)将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的外部，且∠BOD＝80°，请直接写出∠COE的度数．
【考点16 用尺规作角、线段】
【例16】（2022·上海市罗南中学阶段练习）已知线段、，且（如图），画一条线段，使它等于．（不写画法或作法，保留画图或作图痕迹）
【变式16-1】（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D．根据下列语句，完成尺规作图：
(1)画直线AC；
(2)画射线BD交直线AC于点O；
(3)连接BC，并延长至点E，使CE＝2BC．
【变式16-2】（2022·全国·七年级专题练习）（2022·山东青岛市·七年级期末）作图题：已知：∠α、∠β、 求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β
【变式16-3】（2022·山东·东阿县实验中学八年级阶段练习）已知：线段，，．求作：，使，，．（注意：依据答题卡中的图示作图）

专题6.8 直线与角十六大考点
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc30438" 【考点1 直线、射线、线段的条数】 PAGEREF _Tc30438 \h 1
\l "_Tc21414" 【考点2 双中点求线段问题】 PAGEREF _Tc21414 \h 4
\l "_Tc12495" 【考点3 线段的等分点问题】 PAGEREF _Tc12495 \h 7
\l "_Tc21061" 【考点4 线段动点的定值计算】 PAGEREF _Tc21061 \h 12
\l "_Tc18822" 【考点5 线段中的参数表示(比例关系)问题】 PAGEREF _Tc18822 \h 20
\l "_Tc32135" 【考点6 剪绳子(端点重合)问题】 PAGEREF _Tc32135 \h 27
\l "_Tc20005" 【考点7 动点中线段和差问题】 PAGEREF _Tc20005 \h 32
\l "_Tc10397" 【考点8 线段的长短比较】 PAGEREF _Tc10397 \h 38
\l "_Tc15785" 【考点9 时针和分针重合次数与时间】 PAGEREF _Tc15785 \h 41
\l "_Tc13526" 【考点10 两定角、双角平分线与角度关系】 PAGEREF _Tc13526 \h 45
\l "_Tc335" 【考点11 线段、角的规律问题】 PAGEREF _Tc335 \h 55
\l "_Tc18200" 【考点12 角度的翻折问题】 PAGEREF _Tc18200 \h 58
\l "_Tc28816" 【考点13 两块三角板旋转问题】 PAGEREF _Tc28816 \h 62
\l "_Tc20063" 【考点14 三条线旋转与角度的关系】 PAGEREF _Tc20063 \h 68
\l "_Tc1598" 【考点15 余角和补角的性质】 PAGEREF _Tc1598 \h 78
\l "_Tc2801" 【考点16 用尺规作角、线段】 PAGEREF _Tc2801 \h 87
【考点1 直线、射线、线段的条数】
【例1】（2022·辽宁锦州·七年级期末）如图，C，D是线段AB上的点，若AB=8，CD=2，则图中以C为端点的所有线段的长度之和为 ______．
【答案】10
【分析】先根据线段的定义表示出以C为端点的所有线段，再代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：以C为端点的所有线段分别是AC、CD、CB共3条，
∵AB=8，CD=2，
∴AC+CD+CB
=（AC+CB）+CD
=AB+CD
=8+2
=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了两点间的距离，找线段时要按照一定的顺序做的不重不漏，求和时把相加等于AB的长度的两条线段结合成一组可以使运算更简便．
【变式1-1】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）阅读并填空：
问题：在一条直线上有，，，四个点，那么这条直线上总共有多少条线段？
要解决这个问题，我们可以这样考虑，以为端点的线段有，，3条，同样以为端点，以为端点，以为端点的线段也各有3条，这样共有4个3，即4×3＝12（条），但和是同一条线段，即每一条线段重复一次，所以一共有______条线段．那么，若在一条直线上有5个点，则这条直线上共有______条线段；若在一条直线上有个点，则这条直线上共有______条线段．
知识迁移：若在一个锐角内部画2条射线，，则这个图形中总共有______个角；若在内部画条射线，则总共有______个角．
学以致用：一段铁路上共有5个火车站，若一列火车往返过程中，必须停靠每个车站，则铁路局需为这段线路准备______种不同的车票．
【答案】6 ，10，，6，，20
【分析】问题：根据线段的定义解答；
知识迁移：根据角的定义解答；
学以致用：先计算出线段的条数，再根据两站之间需要两种车票解答．
【详解】解：问题：根据题意，则
；
；
；
知识迁移：在∠AOB内部画2条射线OC，OD，则图中有6个不同的角，在∠AOB内部画n条射线OC，OD，OE，…，则图中有
1+2+3+…+n+（n+1）=个不同的角；
学以致用：5个火车站代表的所有线段的条数
×5×4=10，
需要车票的种数：10×2=20（种）．
故答案为：6 ，10，，6，，20；
【点睛】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．
【变式1-2】（2022·北京通州·七年级期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有_____条．
【答案】3
【分析】根据直线的性质来画图解答.
【详解】如图，有3条.
【点睛】本题主要考查了直线、射线、线段的应用.直线：直线向两方无限延伸，无法度量长度，经过两点有且只有一条直线，而两条直线相交只有一个交点.
【变式1-3】（2022·黑龙江·抚远市第三中学七年级期末）平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定28条直线，则n的值是（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【详解】两点确定一条直线；不同三点最多可确定3条直线；不同4点最多可确定（1+2+3）条直线，不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线，
因为1+2+3+4+5+6+7=28，
所以平面上不同的8个点最多可确定28条直线．
故选：C．
【考点2 双中点线段问题】
【例2】（2022·福建泉州·七年级期末）在一条直线上依次有、、、四点．若点是线段的中点，点是线段的中点，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】依据点F是线段EG的中点，点G是线段EH的中点，即可得到EF＝FG，EG＝GH，进而得出结论．
【详解】解：如图所示：
∵点F是线段EG的中点，
∴EF＝FG，
∵点G是线段EH的中点，
∴EG＝GH，
∴FG＝GH，
故选：D．
【点睛】本题主要考查由图判断线段关系，涉及线段的中点概念：把一条线段分成两条相等的线段的点，读懂图形中各个线段之间的关系是解决问题的关键．
【变式2-1】（2022·山东东营·期末）如图，点C为线段AB的中点，点E为线段AB上的点，点D为线段AE的中点．
(1)若线段AB＝a，CE＝b且，求a，b的值；
(2)在（1）的条件下，求线段CD的长，
【答案】(1)a=16，b=4；
(2)CD=2．
【分析】（1）根据非负数的性质即可推出a、b的值；
（2）根据（1）所推出的结论，即可推出AB和CE的长度，根据图形即可推出AC=8，然后由AE=AC+CE，即可推出AE的长度，由D为AE的中点，即可推出DE的长度，再根据线段的和差关系可求出CD的长度．
（1）
解：∵，
∴a-16=0，2b-8=0，
∴a=16，b=4；
（2）
解：∵点C为线段AB的中点，AB=16，CE=4，
∴AC=AB=8，
∴AE=AC+CE=12，
∵点D为线段AE的中点，
∴DE=AE=6，
∴CD=DE-CE=6-4=2．
【点睛】本题主要考查非负数的性质，线段中点的有关计算，关键在于正确的进行计算，熟练运用数形结合的思想推出相关线段之间的数量关系．
【变式2-2】（2022·山东潍坊·七年级期末）已知点在直线上，点，分别为，的中点．
(1)如图所示，若在线段上，厘米，厘米，求线段，的长；
(2)若点在线段的延长线上，且满足厘米，请根据题意画图，并求的长度（结果用含的式子表示）．
【答案】(1)；
(2)作图见解析，
【分析】（1）根据“点是的中点”，先求出的长度，再利用，，即可求出线段，的长度；
（2）根据题意，点的位置分两种情况：先画图，再根据线段中点的定义得，，然后利用得到 ．
【详解】（1）解：是的中点，
，
，
又为的中点，
，
；
（2）解：根据题意，点的位置分两种情况：
①点的位置在点左侧，如图所示：
是的中点，
，
是的中点，
，
；
②点的位置在点右侧，如图所示：
是的中点，
，
是的中点，
，
．
【点睛】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点定义，理解线段的中点把线段分成两条相等的线段是解决问题的关键．
【变式2-3】（2022·山西·右玉县第三中学校七年级期末）一条直线上有，，三点，，，点，分别是，的中点，则______．
【答案】或
【分析】因为直线上三点A、B、C的位置不明确，所以要分B在A，C两点之间和A在C、B两点之间两种情况，分别结合图形并根据中点的定义即可求解．
【详解】解：根据题意由两种情况
若B在A，C两点之间，如图：
则 ,
，
(cm)；
若C在A，B两点之间，如图：
则
，
(cm)，
故答案为：13cm或5cm．
【点睛】本题主要考查了线段中点定义、线段的和差等知识点，根据题意正确画出符合题意的图形是解答本题的关键.
【考点3 线段的等分点问题】
【例3】（2022·吉林白城·七年级期末）如图，已知数轴上点A表示的数为－10，点B表示的数为2．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，P、Q同时出发，设运动时间为t（t＞0）秒，解答下列问题．
（1）数轴上点P表示的数为 ，点Q表示的数为 （用含t的代数式表示）；
（2）当点P表示的数和点Q表示的数互为相反数时，求t的值；
（3）点P追上点Q时，求t的值；
（4）若点B恰好是线段PQ的3等分点时，t的值为 ．
【答案】（1），；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离，在结合路程速度时间，即可解答
（2）根据相反数的定义，在结合（1）的结论列方程即可
（3）根据题意列方程求解即可
（4）根据题意列方程求解即可
【详解】解：（1）数轴上点P表示的数为：；点Q表示的数为：
（2）由题意得
解得
即时，点P表示的数和点Q表示的数互为相反数
（3）由题意得
解得
即当点P追上点Q时，
（4）由题意得：或
解得：或
【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找出合适等量关系流出方程，在求解．
【变式3-1】（2022·内蒙古巴彦淖尔·七年级期末）如图，点C在线段AB上，点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点．若，则线段AB的长为______．
【答案】
【分析】根据中点和四等分点的性质可得 ，，可得，进而根据即可求解．
【详解】解：∵点D是线段AC的中点，点C是线段BD的四等分点
∴ ，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段中点的性质，等分点的计算，解题的关键是利用数形结合的思想求解．
【变式3-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，已知线段AB，延长线段BA至C，使CB＝AB．
（1）请根据题意将图形补充完整．直接写出＝ _______；
（2）设AB ＝ 9cm，点D从点B出发，点E从点A出发，分别以3cm/s，1cm/s的速度沿直线AB向左运动．
①当点D在线段AB上运动，求的值；
②在点D，E沿直线AB向左运动的过程中，M，N分别是线段DE、AB的中点．当点C恰好为线段BD的三等分点时，求MN的长．
【答案】（1），（2）3，（3）12cm或24cm．
【分析】（1）根据线段的和差倍分关系即可得到结论；
（2）①设运动的时间为t秒，表示出线段长即可得到结论；②分和两种情况，根据三等分点求出BD的长，进而求出运动时间，求出MD、NB的长即可．
【详解】解：（1）图形补充完整如图，
∵CB＝AB，
∴CA＝，
，
故答案为：；
（2）①AB ＝ 9cm，由（1）得，（cm），设运动的时间为t秒，
cm，cm，
，
②当时，
∵AB ＝ 9cm， cm，
∴cm，
∴cm，
cm，
运动时间为：18÷3=6（秒），
则cm，
cm，
cm，
∵M，N分别是线段DE、AB的中点．
∴cm，cm，
cm，
当时，
∵AB ＝ 9cm， cm，
∴cm，
∴cm，
运动时间为：36÷3=12（秒），
则cm，
cm，
cm，
∵M，N分别是线段DE、AB的中点．
∴cm，cm，
cm，
综上，MN的长是12cm或24cm．
【点睛】本题考查了线段的计算，解题关键是准确识图，熟练表示出线段长．
【变式3-3】（2022·辽宁锦州·七年级期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN＝___________；
(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；
③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；
【答案】(1)6
(2)①；②；③
【分析】（1）由AB=12，AC=8，得BC=AB-AC=4，根据M，N分别是AC，BC的中点，即得CM=AC=4，CN=BC=2，故MN=CM+CN=6；
（2）①由M，N分别是AC，BC的中点，知CM=AC，CN=BC，即得MN=AC+BC=AB，故MN=a；
②由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a；
③由AM=AC，BN=BC，知CM=AC，CN=BC，即得MN=CM+CN=AC+BC=AB，故MN=a．
（1）
解：∵AB=12，AC=8，
∴BC=AB-AC=4，
∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC=4，CN=BC=2，
∴MN=CM+CN=6；
故答案为：6；
（2）
解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=AC+BC=AB，
∵AB=a，
∴MN=a；
故答案为：a；
②∵AM=AC，BN=BC，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，
∵AB=a，
∴MN=a；
③∵AM=AC，BN=BC，
∴CM=AC，CN=BC，
∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，
∵AB=a，
∴MN=a，
故答案为：a．
【点睛】本题考查了线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算．
【考点4 线段动点的定值计算】
【例4】（2022·内蒙古赤峰·七年级期末）点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且a、b满足．
(1)如图1，求线段AB的长；
(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；
(3)如图2，点P在B点右侧，PA的中点为M，N为PB靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并直接写出该值．
【答案】(1)4
(2)存在，当点P表示的数为-1.5或3.5时，；理由见解析
(3)结论①正确，=2
【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出AB的长；
（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点P在数轴上对应的数是m，由确定出P位置，即可做出判断；
（3）设P点所表示的数为n，就有PA=n+1，PB=n-3，根据条件就可以表示出PM=，BN=，再分别代入①和②求出其值即可．
(1)
解：∵|a+1|+（b-3）2=0，
∴a+1=0，b-3=0，
∴a=-1，b=3，
∴AB=|-1-3|=4．
答：AB的长为4；
(2)
解：存在，
∵，
∴x=-2，
∴BC==5．
设点P在数轴上对应的数是m，
∵，
∴|m+1|+|m-3|=5，
令m+1=0，m-3=0，
∴m=-1或m=3．
①当m≤-1时，
-m-1+3-m=5，
m=-1.5；
②当-1＜m≤3时，
m+1+3-m=5，（舍去）；
③当m＞3时，
m+1+m-3=5，
m=3.5．
∴当点P表示的数为-1.5或3.5时，；
(3)
解：设P点所表示的数为n，
∴PA=n+1，PB=n-3．
∵PA的中点为M，
∴PM=PA=．
∵N为PB的四等分点且靠近于B点，
∴BN=PB=，
∴①PM-2BN=-2×=2（不变），
②PM+BN=+×=（随点P的变化而变化），
∴正确的结论为①，且PM-2BN=2．
【点睛】此题考查了数轴的运用，数轴上任意两点间的距离公式的运用，去绝对值的运用，一元一次方程的解，解题的关键是灵活运用两点间的距离公式．
【变式4-1】（2022·湖北孝感·七年级期末）如图，已知数轴上点表示的数为9，点表示的数为-6，动点从点出发，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，
(1)数轴上点表示的数为__________（用含的式子表示）
(2)当为何值时，？
(3)若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否为定值？若是，请画出图形，并求出该定值，若不是，请说明理由．
【答案】(1).
(2)或
(3)答案见解析
【分析】（1）根据题意列代数式即可；
（2）根据题意列一元一次方程，解方程求解即可；
（3）分情况讨论，①当点在，两点之间时，②当点运动到点的左侧时，根据线段中点的性质，分别计算，即可求解．
(1)
数轴上点表示的数为9，以5个单位长度/秒的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，
则数轴上点表示的数为
故答案为：
(2)
，，
∵，∴，∴或，
解得或，
∴当或时，；
(3)
①当点在，两点之间时，如图1所示.
.
②当点运动到点的左侧时，如图2所示.
.
综上可知，当点在运动过程中，线段的长度为定值.
【点睛】本题考查了数轴动点问题，一元一次方程的应用，线段中点的性质，数形结合是解题的关键．
【变式4-2】（衢州华茂外国语学校七年级期末）【概念与发现】
当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作．
例如，点C是AB的中点时，即，则；
反之，当时，则有．
因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义．
【理解与应用】
(1)如图，点C在线段AB上．若，，则________；
若，则________AB．
【拓展与延伸】
(2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）．
①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________；
②t为何值时，．
【答案】(1)，
(2)①3；②2或6
【分析】（1）根据“点值”的定义即可得出答案；
（2）①设运动时间为t，再根据的值是个定值即可得出m的值；
②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动时两种情况加以分析即可
（1）
解：∵，，
∴
∴，
∵，
∴
（2）
解：①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t，
则，
∵的值是个定值，
∴的值是个定值，
∴m=3
②当点Q从点B向点A方向运动时，
∵
∴
∴t=2
当点Q从点A向点B方向运动时，
∵
∴
∴t=6
∴t的值为2或6
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义，并能运用是本题的关键．
【变式4-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）m=12，n= 4； （2）① MN=8，②在整个运动的过程中，FC-5 DE的值为定值，且定值为0．
【分析】（1）由绝对值和平方的非负性，即可求出m、n的值；
（2）①由题意，则MN=CM+CD+DN，根据线段中点的定义，即可得到答案；
②设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情况进行分析，求出每一种的值，即可得到答案．
【详解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，
∴m－12=0，n－4=0，
∴m=12，n=4；
故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点
∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN
=AC +CD+BD
=AC +CD+BD+CD
=(AC +CD+BD)+CD
=(AB +CD)
=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有：
解得：a=2
在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点
∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0
∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t
∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2
∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0．
【点睛】本题考查了线段中点的定义，线段的和差倍分的关系，一元一次方程的应用，绝对值的非负性等知识，解题的关键是熟练掌握线段的中点定义进行解题，注意运用分类讨论的思想进行分析．
【考点5 线段中的参数表示(比例关系)问题】
【例5】（2022·浙江舟山·七年级期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，
（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式，则＝ ．
【答案】（1）①AD＝7；②AD＝或；（2）或
【分析】（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝DE＝或CE＝DE＝，则CD＝或，由线段的和差即可得到结论；
（2）当点E在线段BC之间时，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．
【详解】解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，
∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∵DE＝8，
∴CD＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，
∴CE＝DE＝或CE＝DE＝，
∴CD＝或CD＝，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣＝或12-=；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，
设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵，
∴，
∴y＝x，
∴CD＝1.5x﹣x＝x，
∴；
当点E在点A的左侧，如图，
设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵，BE＝EC+BC＝x+y，
∴，
∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，
∴，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论DE的位置是解题的关键．
【变式5-1】（2022·广西河池·七年级期末）如图，点位于数轴原点，点从点出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左运动．
(1)若点表示的数为，点表示的数为7，当点，运动时间为2秒时，求线段的长；
(2)若点，分别表示，6，运动时间为，当为何值时，点是线段的中点．
(3)若，是数轴上的一点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)当时点是线段的中点
(3)或1
【分析】（1）根据路程=速度×时间可以计算出C、D运行的路程，进而求出MD的值，根据可求；
（2）先表示出BD和CD，再根据点是线段的中点，列方程求解；
（3）分在线段上和点在线段的延长线上两种情况，分别求解．
（1）
解：∵，，
又∵点表示，点表示7，
∴，
∴
∴．
（2）
解：∵点，分别表示，6，
所以，，，，，
当是的中点时，即，
∴当时点是线段的中点．
（3）
解：①当点在线段上时，如图
∵，
又∵
∴，
又∵
∴，即
②当点在线段的延长线上时，如图
∵，又∵
∴，即
综上所述或1．
【点睛】本题考查了线段的和差和中点，及两点间的距离，一元一次方程，解题分关键是掌握点的移动路程与线段的关系．
【变式5-2】（2022·全国·七年级单元测试）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
(1)若AB＝11cm，当点C、D运动了1s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD＝3AC，直接填空：AM＝ BM．
(3)在（2）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）计算出CM和BD的长，进而可得出答案；
（2）由AC=AM－CM，MD=BM－BD，MD=3AC结合（1）问便可解答；
（3）由AN＞BN，分两种情况讨论：①点N在线段AB上时，②点N在AB的延长线上时；结合图形计算出线段的长度关系即可求解；
（1）
解：当点C、D运动了1s时，CM＝1cm，BD＝3cm
∵AB＝11cm，CM＝1cm，BD＝3cm
∴AC+MD＝AB﹣CM﹣BD＝11﹣1﹣3＝7cm．
（2）
解：设运动时间为t，
则CM＝t，BD＝3t，
∵AC＝AM﹣t，MD＝BM﹣3t，
又MD＝3AC，
∴BM﹣3t＝3AM﹣3t，
即BM＝3AM，
∴AM=BM
故答案为：．
（3）
解：由（2）可得：
∵BM＝AB﹣AM
∴AB﹣AM＝3AM，
∴AM＝AB，
①当点N在线段AB上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝AB，
∴MN＝AB，即=．
②当点N在线段AB的延长线上时，如图
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB，
∴=1,即=．
综上所述＝或
【点睛】本题考查求线段长短的知识，关键是细心阅读题目，根据条件理清线段的长度关系再解答．
【变式5-3】（2022·全国·七年级专题练习）已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB＝12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）
（1）若AM＝4cm，当点C、D运动了2s，此时AC＝ ，DM＝ ；（直接填空）
（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
（3）若点C、D运动时，总有MD＝2AC，则AM＝ （填空）
（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求的值．
【答案】（1）2，4；（2）6 cm；（3）4；（4）或1．
【分析】（1）先求出CM、BD的长，再根据线段的和差即可得；
（2）先求出BD与CM的关系，再根据线段的和差即可得；
（3）根据已知得MB＝2AM，然后根据AM+BM=AB，代入即可求解；
（4）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得．
【详解】（1）根据题意知，CM＝2cm，BD＝4cm，
∵AB＝12cm，AM＝4cm，
∴BM＝8cm，
∴AC＝AM﹣CM＝2cm，DM＝BM﹣BD＝4cm，
故答案为：2cm，4cm；
（2）当点C、D运动了2 s时，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∵AB＝12 cm，CM＝2 cm，BD＝4 cm
∴AC+MD＝AM﹣CM+BM﹣BD＝AB﹣CM﹣BD＝12﹣2﹣4＝6 cm；
（3）根据C、D的运动速度知：BD＝2MC，
∵MD＝2AC，
∴BD+MD＝2（MC+AC），即MB＝2AM，
∵AM+BM＝AB，
∴AM+2AM＝AB，
∴AM＝AB＝4，
故答案为：4；
（4）①当点N在线段AB上时，如图1，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣AM＝MN
∴BN＝AM＝4
∴MN＝AB﹣AM﹣BN＝12﹣4﹣4＝4
∴；
②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，
∵AN﹣BN＝MN，
又∵AN﹣BN＝AB
∴MN＝AB＝12
∴；
综上所述或1
故答案为或1．
【点睛】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
【考点6 剪绳子(端点重合)问题】
【例6】（2022·全国·七年级专题练习）把根绳子对折成一条线段，在线段取一点，使，从处把绳子剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则绳子的原长为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】C
【分析】由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．
【详解】解：如图
∵，
∴2AP=＜PB
①若绳子是关于A点对折，
∵2AP＜PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为PB=30cm，
∴绳子全长=2PB+2AP=24×2+×24=64cm；
②若绳子是关于B点对折，
∵AP＜2PB
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为2PB=24cm
∴PB=12 cm
∴AP=12×cm
∴绳子全长=2PB+2AP=12×2+4×2=32 cm；
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想，体现思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
【变式6-1】（2022·全国·七年级课时练习）将一段72cm长的绳子，从一端开始每3cm作一记号，每4cm也作一记号，然后从有记号的地方剪断，则这段绳子共被剪成的段数为（ ）
A．37B．36C．35D．34
【答案】B
【分析】先求出每3厘米作一个记号，可以作几个记号；再求出每4厘米作一个记号，可以作几个记号；因为3和4的最小公倍数是12，所以每12厘米处的记号重合，由此即可求出绳子被剪出的段数．
【详解】解：∵绳子长72cm，
∴每3cm作一记号，可以把绳子平均分成72÷3＝24（段），可以做24−1＝23个记号，
每4cm也作一记号，可以把绳子平均分成72÷4＝18（段），可以做18−1＝17个记号，
∵3和4的最小公倍数是12，所以重合的记号有：
72÷12−1＝5（个），
∴有记号的地方共有23＋17−5＝35，
∴这段绳子共被剪成的段数为35＋1＝36（段）．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了线段，关键是正确理解每3厘米、4厘米作一个记号，可以作几个记号，有多少的记号重合．
【变式6-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图，将一股标有0～60均匀刻度的绳子铺平后折叠(绳子无弹性)，使绳子自身的一部分重叠，然后在重叠部分某处剪断，将绳于分为A，B，C三段若这三段的长度的比为3：2：1，则折痕对应的刻度是__________．
【答案】20
【分析】设折痕对应的刻度为x，根据折叠的性质和A，B，C三段的长度的比为3：2：1，列出方程求解即可．
【详解】解：设折痕对应的刻度为x，
由A，B，C三段长度的比为3：2：1，可得三段长度分别是30、20、10，
依题意得：x＝＋10＝20，
故答案为：20．
【点睛】考查了一元一次方程的应用和图形的剪拼，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
【变式6-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图1，将一段长为60厘米绳子AB拉直铺平后折叠（绳子无弹性，折叠处长度忽略不计），使绳子与自身一部分重叠．

（1）若将绳子AB沿M、N点折叠，点A、B分别落在处．
①如图2，若恰好重合于点O处，MN= cm，
②如图3，若点落在的左侧，且=20cm，求MN的长度；
③若=ncm，求MN的长度．（用含n的代数式表示）
（2）如图4，若将绳子AB沿N点折叠后，点B落在处，在重合部分N上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为3：4：5，直接写出AN所有可能的长度．
【答案】（1）①30，②40cm，③cm或cm；（2）25 cm或27.5 cm或32.5 cm或35cm．
【分析】（1）①根据MN=MO+NO=AO+BO=AB即可求解；
②根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM=，BN=，再由MN= AB–（AM+ BN）即可求解；
③根据M、N分别为AA′、BB′的中点，得出AM=，BN=，然后分两种情况点A′落在点B′的左侧，点A′落在点B′的右侧，根据MN= AB–（AM+ BN）即可求解；
（2）根据三段的长度由短到长的比为3：4：5，得出绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段，然后分6中情况讨论，根据AN=AP+ 即可求解．
【详解】解：（1）①MN=MO+NO=AO+BO=AB=30；
②因为AB=60 cm，A′B′=20 cm，
所以AA′+BB′=AB - A′B′=60 - 20=40 cm．
根据题意得，M、N分别为AA′、BB′的中点，
所以AM=，BN=．
AM+ BN=+==cm．
所以MN= AB–（AM+ BN）=60 - 20=40 cm．
③因为M、N分别为AA′、BB′的中点，所以AM=，BN=．
（ⅰ）如图，若点A′落在点B′的左侧，
AA′+BB′=AB - A′B′=(60– n) cm．
AM+ BN=+
==cm．
所以MN= AB–（AM+ BN）=cm．
（ⅱ）如图，若点A′落在点B′的右侧，

AA′+BB′=AB + A′B′=(60 +n)cm．
AM+ BN=+
==cm．
所以MN= AB–（AM+ BN）=（cm）．
综上，MN的长度为cm或cm．
（2）如图，
∵三段的长度由短到长的比为3：4：5，
∴=15，=20，=25，
故绳子被剪分为15cm，20cm，25cm三段
当=15，=20，AP=25时，
AN=AP+ =25+×20=35；
当=15，=25，AP=20时，
AN=AP+ =20+×25=32.5；
当=20，=15，AP=25时，
AN=AP+ =25+×15=32.5；
当=20，=25，AP=15时，
AN=AP+ =15+×25=27.5；
当=25，=20，AP=15时，
AN=AP+ =15+×20=25；
当=25，=15，AP=20时，
AN=AP+ =20+×15=27.5．
综上AN所有可能的长度为：25 cm或27．5 cm或32．5 cm或35cm．
【点睛】本题主要考查了线段的计算、线段的折叠问题、线段中点的性质，解题的关键是熟练掌握线段中点的性质，注意审题及分类讨论思想．
【考点7 动点中线段和差问题】
【例7】（2022·全国·七年级阶段练习）已知多项式是关于x的二次多项式，且二次项系数为b，数轴上两点A，B对应的数分别为a，b．
(1)a=___________，b=___________，线段AB=___________；
(2)若数轴上有一点C，使得，点M为的中点，求的长；
(3)有一动点G从点A出发，以1个单位每秒的速度向终点B运动，同时动点H从点B出发，以个单位每秒的速度在数轴上作同向运动，设运动时间为t秒（），点D为线段的中点，点F为线段的中点，点E在线段上且，在G，H的运动过程中，求的值．
【答案】(1)，20，30；
(2)3或75；
(3)．
【分析】（1）由题意直接可求解；
（2）①当点C在之间时，如图1，②当点C在点B的右侧时，如图2，分别计算和的长，相减可得结论；
（3）本题有两个动点G和H，根据速度和时间可得点G表示的数为：，点H表示的数为：，根据中点的定义得点D和F表示的数，由得的长和点E表示的数，根据数轴上两点的距离可得和的长，相加可得结论．
【详解】（1）解：由题意知：，
∴，
∴的距离为
故答案为：，20，30；
（2）分两种情况：
①当点C在AB之间时，如图1，
∵，，
∴，
∵M是的中点，
∴，
∴；
②当点C在点B的右侧时，如图2，
∵，，
∴，
∵，
∴；
综上，的长是3或75；
（3）由题意得：点G表示的数为：：，点H表示的数为：，
∵，，
∴点G在线段之间，
∵D为的中点，
∴点D表示的数为： ，
∵F是的中点，
∴点F表示的数为：，
∵，
∵，
∴ ，
∴点E表示的数为： t，
∴ ．
【点睛】本题考查多项式和数轴；与中点有关的计算，数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，根据点的运动特点，分情况列出合适的方程，进行求解是关键．
【变式7-1】（2022·全国·七年级专题练习）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
【答案】(1)
(2)8或24
(3)，见解析
【分析】（1）根据题中条件直接计算即可求解；
（2）分点在线段上运动和线段的延长线上运动进行讨论，从而求解；
（3）先将和表示出来，再求出线段、、之间的数量关系．
【详解】（1）解：∵ M为AP的中点，，
∴ ，
∵线段，N为BP的中点，
∴．
故答案是：2；
（2）解：①当点P在线段AB上，时，如图，
∵，，
∴，解得：．
②当点P在线段AB的延长线上，时，如图，
∵，，
∴，解得：．
综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24．
（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．
【变式7-2】（2022·福建·厦门市松柏中学七年级期末）在数轴上，点为原点，点表示的数为9，动点，在数轴上移动（点在点右侧），总保持（大于0且小于4.5），设点表示的数为．
(1)如图，当动点，在线段上移动时，
①若，且为中点时，则点表示的数为__________，点表示的数为__________；
②若，求多项式的值；
(2)当线段在射线上移动时，且，求（用含的式子表示）．
【答案】(1)①4.5，6.5；②-13；
(2)或m=2n-9
【分析】（1）①由点A表示的数得到OA=9，根据为中点，得到OB=4.5，可知点表示的数；由=2，点在点右侧，即可得到点表示的数；
②根据，，点表示的数为，得到2m+n=9，代入计算即可；
（2）分别用n、m表示出AC、OB、AB，进一步利用建立方程求得答案即可．
(1)
解：①∵点A表示的数为9，
∴OA=9，
∵为中点，
∴OB=4.5，
∴点表示的数为4.5；
∵=2，点在点右侧，
∴4.5+2=6.5，
∴点表示的数为6.5；
故答案为：4.5，6.5；
②∵，，点表示的数为．
∴2m+n=9，
∴；
(2)
解：①当点B在原点右侧时，，OB=m，AB=9-m，
，
解得；
②当点B在原点左侧时，，OB=-m，AB=9-m，
，
解得m=2n-9；
综上，或m=2n-9．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，考查了数轴与两点间的距离的计算，根据数轴确定出线段的长度是解题的关键．
【变式7-3】（2022·全国·七年级专题练习）如图，直线l上有A，B两点，AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB．
（1）则OA＝ cm，OB＝ cm；
（2）若点C是线段AB上一点（点C不与点A、B重合），且满足AC＝CO+CB，求CO的长；
（3）若动点P从点A出发，动点Q从点B同时出发，都向右运动，点P的速度为2cm/s．点Q的速度为1cm/s，设运动时间为t（s）（其中t≥0）．
①若把直线l看作以O为原点，向右为正方向的一条数轴，则t（s）后，P点所到的点表示的数为 ；此时，Q点所到的点表示的数为 ．（用含t的代数式表示）
②求当t为何值时，2OP﹣OQ＝4（cm）．
【答案】（1）8，4；（2）cm；（3）①﹣8+2t，4+t；②1.6或8．
【分析】（1）由于AB＝12cm，点O是线段AB上的一点，OA＝2OB，则OA+OB＝3OB＝AB＝12cm，依此即可求解；
（2）根据图形可知，点C是线段AO上的一点，可设C点所表示的实数为x，分两种情况：①点C在线段OA上时；②点C在线段OB上时，根据AC＝CO+CB，列出方程求解即可；
（3）①根据路程＝速度×时间即可求解；
②分两种情况：0＜t＜4（P在O的左侧）；4≤t≤12（P在O的右侧）；进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）∵AB＝12cm，OA＝2OB，
∴OA+OB＝3OB＝AB＝12（cm），
解得OB＝4，
OA＝2OB＝8（cm）．
故答案为：8，4；
（2）设C点所表示的实数为x，
分两种情况：①点C在线段OA上时，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝﹣x+4﹣x，
3x＝﹣4，
解得x＝﹣；
②点C在线段OB上时，
∵AC＝CO+CB，
∴8+x＝4，
解得x＝﹣4（不符合题意，舍）．
故CO的长是cm；
（3）①t（s）后，P点所到的点表示的数为﹣8+2t；此时，Q点所到的点表示的数为4+t．
故答案为：﹣8+2t，4+t；
②0＜t＜4（P在O的左侧），
OP＝0﹣（﹣8+2t）＝8﹣2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则
2（8﹣2t）﹣（4+t）＝4，
解得t＝1.6；
4≤t≤12（P在O的右侧），
OP＝﹣8+2t﹣0＝﹣8+2t，OQ＝4+t，2OP﹣OQ＝4，则
2（2t﹣8）﹣（4+t）＝4，
解得t＝8．
综上所述，t＝1.6或8时，2OP﹣OQ＝4cm．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上两点的距离，数轴上点的表示，比较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
【考点8 线段的长短比较】
【例8】（2022·陕西·延安市实验中学七年级期末）如图，已知在三角形ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，作一条线段EF，使EF的长等于a+b，并比较线段EF与线段AB的长短．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】见解析
【详解】试题分析：直接利用圆规连续截取两条线段分别等于a，b进而得出答案；
试题解析：
如图所示：EF即为所求，
EF＞AB.
【变式8-1】（2022·全国·七年级课时练习）为比较两条线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，则( )
A．AB＜CDB．AB＞CDC．AB＝CDD．以上都有可能
【答案】B
【详解】解：由点A与点C重合使两条线段在一条直线上，点B在CD的延长线上，得AB＞CD．故选B．
【变式8-2】（2022·浙江·衢州华茂外国语学校七年级期末）如图，已知AC=BD，则AB与CD之间的大小关系是( )
A．AB>CD.B．AB=CD.C．AB【答案】B
【分析】根据AC=BD,将等量线段都减去BC即可解答此题.
【详解】∵AC=BD,
∴AC-BC=BD-BC,
即AB=CD,
故选B.
【点睛】此题考察线段间的数量关系，利用AC=BD,将等量线段都减去BC即可解答此题.
【变式8-3】（2022·江苏盐城·七年级期末）如图，、、、四点在同一直线上．
(1)若．
①比较线段的大小：________（填“＞”、“＝”或“＜”）；
②若，且，则的长为________；
(2)若线段被点、分成了2：3：4三部分，且的中点和的中点之间的距离是，求的长．
【答案】(1)①=；②20
(2)27cm
【分析】（1）①根据等式的性质，得出答案；②求出的值，在求出、的长，进而求出的长即可；
（2）根据线段的比，线段中点的意义，设未知数，列方程求解即可．
(1)
解：①，
，
即，，
故答案为：；
②，且，
，
，
，
故答案为：20；
(2)
解：如图所示，
设每份为，则，，，，
是的中点，点是的中点，
，
又，
，
解得，，
．
【点睛】本题考查线段及其中点的有关计算，解题的关键是理解线段中点的意义．
【考点9 时针和分针重合次数与时间】
【例9】（2022·江苏苏州·七年级期末）钟面角是指时钟的时针与分针所成的角，如果时间从下午2点整到下午4点整，钟面角为90°的情况有（ ）
A．有一种B．有二种C．有三种D．有四种
【答案】D
【详解】试题解析：设n=分，m=点，则钟面角为，
将m=2代入上式，得n1=27，n2=60-5=54，
将m=3代入上式，得n3=32，n4=0．
4：00时，钟面角为30°×4=120°≠90°．
故选D．
考点：钟面角．
【变式9-1】（2022·全国·七年级单元测试）根据所学知识完成题目：
（1）一个角的余角与补角的和是这个角的补角与余角的差的两倍，求这个角．
（2）从两点三十分时开始算起，钟表上的时针与分针经过多久第一次重合？
【答案】（1）这个角是45°；（2）经过 分钟，时针和分针第一次重合
【分析】（1）设这个角是x°，则余角是（90-x）°，补角是（180-x）°，然后根据余角与补角的和是这个角的补角与余角的差的两倍，即可列方程求解；
（2）根据分针与时针的转动速度结合夹角为90°，得出等式求出即可.
【详解】（1）解：设这个角是x°，则余角是（90﹣x）°，补角是（180﹣x）°
根据题意得：（90﹣x）+（180﹣x）=2
解得：x=45．
则这个角是45°.
（2）解：两点三十分时时针和分针的夹角是：105°，
设经过x分钟，时针和分针第一次重合，时针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°．
则6x﹣0.5x=360﹣105，
解得：x= ．
则经过分钟，时针和分针第一次重合.
【点睛】本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系以及利用时针和分针的位置关系得出等式.
【变式9-2】（2022·全国·七年级单元测试）时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
(1)分针每分钟转了几度？
(2)中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于？
(3)在(2)中所述分针与时针所成的钝角等于后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据分针一小时转一圈即360°，用360°除以60计算即得；
（2）根据分针每分钟转6°，时针每分钟转0.5°，时针与分针转过的角度差是，列方程解答即可；
（3）相对于12时整第二次所成的钝角第二次等于时，时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与之和是360°．
【详解】（1）解：∵分针一小时转一圈即360°,
∴分针每分钟转过的角度是： ,
答：分针每分钟转了6度；
（2）设中午12时整后再经过x分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°，
∵时针一小时转动角度为： ，
时分针每分钟转过的角度是： ；
∵分针与时针所成的钝角会第一次等于，
∴时针与分针转过的角度差是，
∴，
解得：，
答：中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会第一次等于121°；
（3）设经过y分钟两针所成的钝角会第二次等于，
则从12时算起经过(y+22)分钟两针所成的钝角会第二次等于，
因为时针与分针转过的角度差超过180°，这个差与之和是360°，
故列得方程：，
解得：，
解得：，
答：经过分钟两针所成的钝角会第二次等于．
【点睛】本题通过钟面角考查一元一次方程，掌握时针分针的转动情况，会根据已知条件列方程是解题的关键．选择合适的初始时刻会简化理解和运算难度，起到事半功倍的效果．
【变式9-3】（2022·江苏·射阳县实验初级中学七年级阶段练习）探究实验：《钟面上的数字》
实验目的：了解钟面上时针与分针在转动时的内在联系，学会用一元一次方程解决钟面上的有关数学问题，体会数学建模思想．
实验准备：机械钟（手表）一只
实验内容与步骤：
观察与思考：
（1）时针每分钟转动__°，分针每分钟转动__°．
（2）若时间为8：30，则钟面角为__°，（钟面角是时针与分针所成的角）
操作与探究：
（1）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处．再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻时针与分针再次重合？一天24小时中，时针与分针重合多少次？（一天中起始时刻和结束时刻时针与分针重合次数只算一次，下同）
（2）转动钟面上的时针与分针，使时针与分针重合在12点处，再次转动钟面上的时针与分针，算一算，什么时刻钟面角第一次为90°？一天24小时中，钟面角为90°多少次？
拓展延伸：
一天24小时中，钟面角为180°__次，钟面角为n°（0＜n＜180）____次．（直接写出结果）
【答案】观察与思考：（1）0.5，6，（2）75；操作与探究：（1），22；（2） ，44；拓展延伸：22，44．
【详解】解析:
试题分析：观察与思考：(1)钟表12个数字,每相邻两个数字之间的夹角为30°即可得出答案;(2)钟表上8:30,时针指向8和9的中间,分针指向6,即可得出答案,时针和分针相隔2.5个格;
操作与探究：(1)①设经过x小时时针与分针再次重合，根据分针转过的角度=时针转过的角度+360°列出方程即可得出答案；②设经过x小时时针与分针再次重合，根据分针转过的角度=时针转过的角度+90°列出方程即可得出答案；
拓展延伸：根据一天时针与分针重合的次数，结合每重合一次都会出此案两次n的角可得到答案.
解：观察与思考：
（1）30°÷60=0.5；30°÷5=6°；
（2）30°×2.5=75°
操作与探究：
（1）设经过x小时时针与分针再次重合．
360x=30x+360
解得：x=，
∵时针与分针每经过x=重合一次，
∴24÷=22（次）．
答：时时针与分针再次重合．一天24小时中，时针与分针重合22次．
（2）设经过y小时钟面角第一次为90°．
360y=30y+90，
解得：y=．
∵每经过x=时针与分针重合一次，而钟面角为90°两次．
∴24÷×2=44（次）
答：12时钟面角第一次为90°．一天24小时中，钟面角为90° 44次．
拓展延伸：
由2可得：一天24小时中，钟面角为180°有22次，钟面角为n°（0＜n＜180）44次．
故答案为22；44．
点睛：本题考查了钟面角的计算及一元一次方程的应用，根据时针与分针每小时转动的角度和时针与分针所形成的夹角列方程求解.
【考点10 两定角、双角平分线与角度关系】
【例10】（2022·陕西西安·七年级期末）已知和三条射线在同一个平面内，其中平分角平分角，
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，若，直接用、表示；
(3)若、在同一平面内，且，平分角，平分角，直接写出用、表示．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；；．
【分析】首先根据角平分线的定义求得，同理求得，然后根据求解；
根据角平分线的定义可以得到，， 直接用、表示即；
分三种情况讨论，一种情况如图所示和相邻，还有一种情况是当在内部时，还有一种情况是当在在内部时．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）解：∵平分，
∴，
同理，
∵，
∴，
∵，
∵；
（3）解：当和相邻时，由（2）可知；
当在内部时，如图：
∵平分，
∴，
同理，
,
即，
当在内部时，如图所示：
∵平分，
∴，
同理，
即．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，以及角度的计算，分类讨论的思想，正确理解角平分线的定义是关键．
【变式10-1】（2022·广东·正德中学七年级期末）多多对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和多多一起探究下面问题吧．已知∠AOB=100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
(1)如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度数；
(2)如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，则∠EOF的度数_____；
(3)若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小，请直接写出∠EOF的度数（不写探究过程）．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先根据角平分线的定义可得，再根据角的和差、角平分线的定义可得，然后根据即可得；
（2）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据即可得；
（3）如图（见解析），先根据角平分线的定义可得，再分①射线在的内部，②射线在的内部，③射线在的内部三种情况，分别根据角的和差即可得．
（1）
解： 是的平分线，，
，
，
，
是的平分线，
，
；
（2）
，
，
是的平分线，是的平分线，
，
故答案为：
（3）
是的平分线，是的平分线，
，
由题意，分以下三种情况：
①如图，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
②如图，延长至点，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
③如图，延长至点，当射线在的内部时，
，
，
；
综上，的度数为或．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
【变式10-2】（2022·浙江宁波·七年级期末）【定义】如图1，平分，则称射线关于对称．
(1)【理解题意】如图1，射线关于对称且，则_______度；
(2)【应用实际】 如图 2，若在内部，关于对称， 关于对称， 求的度数；
(3)如图3, 若在外部，且关于对称，关于对称，求的度数；
(4)【拓展提升】 如图4， 若关于的边对称， ，求 ．（直接写出答案）
【答案】(1)22.5
(2)∠P1OP2=90°
(3)∠P1OP2=90°
(4)∠AOP=30°或54°
【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到结论；
（2）根据OP和OP1关于OB对称，得到∠POP1＝2∠BOP，根据OP和OP2关于OA对称，得到∠POP2＝2∠AOP，根据角的和差即可得到结论；
（3）根据OP和OP1关于OB对称，得到∠POP1＝2∠BOP，根据OP和OP2关于OA对称，求得∠POP2＝2∠AOP，根据角的和差即可得到结论；
（4）①OP在∠AOB内部，如图4，②当OP在∠AOB外部，根据轴对称的性质即可得到结论．
(1)
∵射线OB，OA关于OM对称且∠AOB＝45°，
∴∠AOM＝∠AOB＝×45°＝22.5°，
故答案为：22.5；
(2)
∵OP和OP1关于OB对称，
∴∠POP1=2∠BOP，
又∵OP和OP2关于OA对称，
∴∠POP2=2∠AOP，
∵∠P1OP2=∠POP1+∠POP2，
∴∠P1OP2=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB=90°；
(3)
∵OP和OP1关于OB对称，
∴∠POP1=2∠BOP，
又∵OP和OP2关于OA对称，
∴∠POP2=2∠AOP，
∵∠P1OP2=∠POP1－∠POP2，
∴∠P1OP2=2∠BOP－2∠AOP=2∠AOB=90°，
(4)
①OP在∠AOB内部，如图4，
∵OP，OP1关于OB对称，
∴∠BOP＝∠BOP1，
∵∠AOP1＝4∠BOP1，
∴∠AOB＝3∠BOP1＝45°，
∴∠BOP1＝15°，
∴∠BOP1＝∠BOP＝15°，
∴∠AOP＝30°，
②当OP在∠AOB外部，
∵∠AOP1＝4∠BOP1，
∴射线OP在射线OB的上面，如图5，
∵OP，OP1关于∠AOB的OB边对称，
∴∠BOP＝∠BOP1，
∵∠AOP1＝4∠BOP1，
∴∠AOB＝∠BOP1＋∠AOP1＝5∠BOP1＝45°，
∴∠BOP1＝9°，
∴∠BOP1＝∠BOP＝9°，
∴∠AOP＝45°＋9°＝54°
综上所述，∠AOP＝30°或54°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
【变式10-3】（2022·湖北黄石·七年级期末）将一副直角三角板，，按如图1放置，其中与重合，，．
(1)如图1，点在线段的延长线上，求的度数；
(2)将三角板从图1位置开始绕点逆时针旋转，，分别为，的角平分线．
①如图2，当旋转至的内部时，求的度数；
②当旋转至的外部时，直接写出的度数．
【答案】(1)；
(2)①；②或．
【解析】(1)
解：如图1∵，，
∴，
∴．
(2)
解：①如图2∵，分别为，的角平分线，
∴，，
∴
；
②如图3，当旋转至的外部，且∠BAE＜180°时，
∵，分别为，的角平分线，
∴，，
∴
；
如图4，当旋转至的外部，且180°＜∠BAE＜210°时，
∵，分别为，的角平分线，
∴，，
∴
；
如图5，当旋转至的外部，且∠BAE＞210°时，
∵，分别为，的角平分线，
∴，，
∴
．
综上所述：的值为或．
【点睛】本题考查了含角平分线的角的计算，难度较大，理解题意，根据题意画出图形并准确进行分类讨论是解题关键．
【考点11 线段、角的规律问题】
【例11】（2022·重庆忠县·七年级期末）如图中∠AOB＝60°，图①中∠AOC1＝∠C1OB，图②中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OB，图③中∠AOC1＝∠C1OC2＝∠C2OC3＝∠C3OB，…，按此规律排列下去，前④个图形中的∠AOC1之和为( )
A．60°B．67°C．77°D．87°
【答案】C
【分析】根据前三个图形可知图①中为2等分线，图②中为3等分线，图③中为4等分线，依次类推，可得第④个图中为5等分线，计算即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得，
图①中，，
图②中，，
图③中，，
依次类推，第④个图中，，
∴前④个图形中的之和为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角的计算，根据题意找出角度变化规律进行计算是解决本题的关键．
【变式11-1】（2022·黑龙江大庆·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点
【答案】190
【分析】根据题目中的交点个数，找出条直线相交最多有的交点个数公式：．
【详解】解：2条直线相交有1个交点；
3条直线相交最多有个交点；
4条直线相交最多有个交点；
5条直线相交最多有个交点；
20条直线相交最多有．
故答案为：190．
【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即条直线相交最多有．
【变式11-2】（2022·全国·七年级）如图，已知，在内画一条射线时，则图中共有3个角；在内画两条射线时，则图中共有6个角；在内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在内画20条射线时，则图中角的个数是（ ）
A．190B．380C．231D．462
【答案】C
【分析】根据画一条、两条、三条射线时可以得出的角的个数整理出当画n条射线可以得出的角的个数，然后进一步求解即可.
【详解】∵在内画一条射线时，则图中共有 个角；
在内画两条射线时，则图中共有个角；
在内画三条射线时，则图中共有个角；
以此类推，所以画n条射线时，则图中共有=个角，
∴当在内画20条射线时，图中有的角的个数为：，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了角的概念，熟练掌握相关性质是解题关键.
【变式11-3】（2022·云南昆明·七年级期末）如图所示，数轴上O，A两点的距离为8，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，可以写出前几个点表示的数，从而可以发现数字的变化特点，然后即可得到2023次跳动后的点与A1A的中点的距离，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
点A1表示的数为8×＝4，
点A2表示的数为8××＝2，
点A3表示的数为8××＝1，
…，
点An表示的数为8×（）n，
∵A1A的中点表示的数为（8+4）÷2＝6，
∴2023次跳动后的点与A1A的中点的距离是：6﹣8×（）2023＝6﹣（）2020＝6﹣，
故选：D．
【点睛】本题考查数字的变化类、数轴，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点．
【考点12 角度的翻折问题】
【例12】（2022·山东德州·七年级期末）如图，一纸片沿直线AB折成的V字形图案，已知图中∠1=62°，则∠2的度数=_____．
【答案】56°
【详解】分析：由折叠的性质和平角的定义得出2∠1+∠2=180°，即可求出结果．
详解：根据题意得：2∠1+∠2=180°，
∴∠2=180°-2×62°=56°，
故答案为56°．
点睛：本题考查了折叠的性质和平角的定义；熟练掌握折叠的性质是解决问题的关键．
【变式12-1】（2022·广西·上思县教育科学研究所七年级期末）下图所示的图形，长方形纸片沿AE折叠后，点与重合，且已知∠CED′=50º.则∠AED的是( )
A．60ºB．50ºC．75ºD．65º
【答案】D
【详解】试题分析：由折叠的性质可得∠DEA=∠AED′，再结合平角的定义即可求得结果.
由折叠的性质可得∠DEA=∠AED′
∴∠AED=（180°-∠CED′）÷2=65°
故选D.
考点：折叠的性质，平角的定义
点评：解题的关键是熟练掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.
【变式12-2】（2022·福建省福州第一中学七年级期末）在福州一中初中部第十二届手工大赛中，初一年段的小红同学用长方形纸带折叠出逼真的动物造型．其中有三个步骤如下：如图①，已知长方形纸带，，将纸带折叠成图案②，再沿折叠成图案③，则③中的的度数是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意知∠DEF=∠EFB=20°，图2中∠GFC=140°，图3中的∠CFE=∠GFC-∠EFG．
【详解】∵AD∥BC，
∴∠DEF=∠EFB=20°，∠EFC=180°-20°=160°，
在图2中∠GFC=∠EFC -∠EFG=160°-20°=140°，
在图3中∠CFE=∠GFC-∠EFG=140°-20°=120°．
故选：B．
【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
【变式12-3】（2022·江西南昌·七年级期末）已知长方形纸片，点在边上，点在边上，将沿翻折到，射线与交于点.点在边上，将沿翻折到，射线与交于点.
（1）如图1，若点与点重合，直接写出以为顶点的两对相等的角，并求的度数；
（2）如图2，若点在点的右侧，且，，求与的度数；
（3）若点在点的左侧，且，求的度数（用含的代数式表示）.
【答案】（1）∠AEN=∠NEF，∠BEM=∠FEM；∠MEN=90°；（2）∠FEG=24°，∠MEN=102°；（3）∠MEN=90°-α．
【分析】（1）根据折叠的性质，平角的定义，角的和差定义计算即可；
（2）根据折叠的性质以及平角的定义，可得出∠AEN +∠BEM=（180°-∠FEG），再结合所给的两个等式可得出∠FEG的度数；根据∠MEN=180°-（∠AEN+∠BEM），求出∠AEN+∠BEM即可解决问题；
（3）先画出图形，根据（2）中的思路即可分析出∠MEN与∠FEG之间的等量关系，即可得出结果．
【详解】解：（1）根据折叠的性质可得，
以E为顶点的两对相等的角分别为： ∠AEN=∠NEF，∠BEM=∠FEM．
∴∠NEF=∠AEF，∠MEF=∠BEF，
∴∠MEN=∠NEF+∠MEF=∠AEF+∠BEF=（∠AEF+∠BEF）=∠AEB，
∵∠AEB=180°，
∴∠MEN=×180°=90°；
（2）由（1）可得∠AEN=∠AEF，∠BEM=∠BEG，
∴∠AEN +∠BEM =∠AEF+∠BEG=（∠AEF+∠BEG）=（∠AEB-∠FEG）．
∴∠AEN +∠BEM=（180°-∠FEG）①，
又，，
∴两式相加得∠AEN+∠BEM=2∠FEG+30°②，
由①②可得，（180°-∠FEG）=2∠FEG+30°，解得∠FEG=24°，
∴∠AEN+∠BEM =（180°-24°）=78°，
∴∠MEN=180°-（∠AEN+∠BEM） =180°-78°=102°．
故的度数为24°，的度数为102°.
（3）如图3，若点G在点F的左侧，∠FEG=α．
根据（2）知，∠MEN=180°-（AEN+∠BEM）=180°-（∠AEF+∠BEG）=180°-(180°+∠FEG)=90°-∠FEG．
∴∠MEN=90°-α．
【点睛】本题考查角的计算，翻折变换，角平分线的定义，角的和差定义等知识，解题的关键是掌握基本概念和性质，属于中考常考题型．
【考点13 两块三角板旋转问题】
【例13】（2022·河北·泊头市教师发展中心七年级期末）【实践操作】三角尺中的数学．
(1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起，．
①若，则_________；若，则______；
②猜想与的大小有何特殊关系，并说明理由；
(2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶，点A重合在一起，，则与的大小又有何关系，请说明理由；
(3)已知，（都是锐角），如图3，若把它们的顶点O重合在一起，请直接写出与的大小关系：________．
【答案】(1)①，；②，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】(1) ①先计算∠ACE的大小，再根据∠ACB=∠ACE+∠BCE计算即可；先根∠ACB=∠ACE+∠BCE计算∠ACE的大小，再根据∠DCE=∠ACD-∠ACE计算即可；
②根据∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，可得∠ACB+∠DCE =∠BCE+∠ACD；
（2）根据∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF =∠FAG-∠GAD，可得∠GAC+∠DAF =∠CAD+∠FAG．
（3）根据∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，计算∠AOD+∠BOC即可．
（1）
解：①∵，
∴∠ACE=∠ACD- ＝90°-35°＝55°，
∴∠ACB=∠ACE+∠ECB=90°+55°＝145°，
故答案为：145°；
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ACB＝140°，
∴∠ACE=140°-90°=50°，
∵∠DCE=∠ACD-∠ACE，
∴∠DCE=90°-50°=40°，
故答案为：50°．
②∠ACB与∠DCE数量关系为∠ACB+∠DCE=180°，理由如下：
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，
∴∠ACB+∠DCE=∠ACE+∠BCE+∠ACD-∠ACE=∠BCE+∠ACD=180°．
（2）
∠GAC与∠DAF的数量关系，∠GAC+∠DAF =120°，理由如下：
∵∠GAC=∠CAD+∠GAD，∠DAF =∠FAG-∠GAD，
∴∠GAC+∠DAF
=∠CAD+∠GAD +∠FAG-∠GAD=∠CAD+∠FAG=60°+60°=120°．
（3）
∠AOD+∠BOC=α+β.理由如下：
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是锐角），
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠COD-∠BOD，=∠AOB+∠COD＝α+β．
【点睛】本题考查了角和差关系，一般与特殊的思想，熟练掌握角的运算，理解角的和与差的关系是解题的关键．
【变式13-1】（2022·湖南长沙·七年级期末）（1）利用一副三角板可以画出一些特殊的角，在①135°，②120°，③75°，④50°，⑤35°，⑥15°，四个角中，利用一副三角板画不出来的特殊角是______；（填序号）
（2）在图①中，写出一组互为补角的两角为______；
（3）如图①，先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角的顶点与60°角的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上（图①），固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度（如图②），当OB平分时，求旋转角度．
【答案】（1）④⑤；（2）与，与，与，与（写出一组即可）；（3）
【分析】（1）根据一副三角板中的特殊角，运用角的和与差的计算，只要是15°的倍数的角都可以画出来；
（2）根据补角的定义解答即可；
（3）根据已知条件得到，根据角平分线的定义得到，进一步得到结论．
【详解】
解：（1），，，
和不是的倍数，不能写成，，，的和或差，故画不出；
故答案为：④⑤
（2）根据平角的定义可得：，，，
故答案为：与，与，与，与（写出一组即可）．
（3）∵，
∴，
∵OB平分，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了角的和差计算和角平分线的定义，熟练掌握角的和差及角平分线的定义是解题的关键．
【变式13-2】（2022·河南南阳·七年级期末）（1）如图1所示，将两块不同的三角尺（∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°）的直角顶点C叠放在一起．
①若∠DCE＝25°，则∠ACB＝ ；若∠ACB＝130°，则∠DCE＝ ．
②猜想∠ACB与∠DCE有何数量关系，并说明理由．
（2）如图2所示，若两个相同的三角尺的60°角的顶点A重合在一起，则∠DAB与∠CAE有何数量关系，请说明理由．
（3）已知∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是锐角），如图3所示，∠AOD与∠BOC有何数量关系，请直接写出结果，不说明理由．
【答案】（1）①155°，50°；②∠ACB+∠DCE=180°，见解析；（2）∠DAB+∠CAE=120°，见解析；（3）∠AOD+∠BOC=α+β
【分析】(1) ①先计算∠ACE的大小，再根据∠ACB=∠ACE+∠BCE计算即可；先根据∠ACB=∠ACE+∠BCE计算∠ACE的大小，再根据∠DCE=∠ACD-∠ACE计算即可．
②根据∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，计算∠ACB+∠DCE
=∠ACE+∠BCE+∠ACD-∠ACE=∠BCE+∠ACD．
（2）根据∠DAB=∠BAE+∠DAE，∠CAE=∠CAD-∠DAE，计算∠DAB+∠CAE
=∠BAE+∠DAE +∠CAD-∠DAE =∠BAE+∠CAD．
（3）根据∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，计算∠AOD+∠BOC即可．
【详解】解：(1) ①∵∠A＝60°，∠D＝30°，∠B＝∠E＝45°，
∴∠ACD＝90°，∠BCE＝90°，
∴∠ACE=∠ACD- ∠DCE＝90°-25°＝65°，
∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°+65°＝155°，
故答案为：155°；
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠ACB＝130°，
∴∠ACE=130°-90°=40°，
∵∠DCE=∠ACD-∠ACE，
∴∠DCE=90°-40°=50°，
故答案为：50°．
②∠ACB与∠DCE数量关系为∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACD=90°+90°=180°，理由如下：
∵∠ACB=∠ACE+∠BCE，∠DCE=∠ACD-∠ACE，
∴∠ACB+∠DCE
=∠ACE+∠BCE+∠ACD-∠ACE
=∠BCE+∠ACD
=180°．
（2）∠DAB与∠CAE的数量关系，∠DAB+∠CAE=∠BAE+∠CAD =60°+60°=120°，理由如下：
∵∠DAB=∠BAE+∠DAE，∠CAE=∠CAD-∠DAE，
∴∠DAB+∠CAE
=∠BAE+∠DAE +∠CAD-∠DAE
=∠BAE+∠CAD
==60°+60°
=120°．
（3）∠AOD+∠BOC=α+β.理由如下：
∵∠AOD=∠AOB+∠BOD，∠BOC=∠COD-∠BOD，∠AOB=α，∠COD＝β（α，β都是锐角），
∴∠AOD+∠BOC
=∠AOB+∠BOD+∠COD-∠BOD，
=∠AOB+∠COD
＝α+β．
【点睛】本题考查了两个角和的计算，一般与特殊的思想，熟练掌握角的运算，理解角的和与差的意义是解题的关键．
【变式13-3】（2022·湖北随州·七年级期末）如图1，点O为线段MN上一点，一副直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边DO、BO在线段MN上，∠COD=∠AOB=90°．
(1)将图1中的三角板COD绕着点O沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若∠AOC=35°，则∠BOD=______；当∠AOC＜90°时猜想∠AOC与∠BOD的数量关系，并说明理由．
(2)将图1中的三角板COD绕着点O沿逆时针方向按每秒15°的速度旋转一周，三角板AOB不动，请问几秒时OD所在的直线平分∠AOB？
【答案】(1)145°，∠AOC+∠BOD=180°，见解析
(2)3秒或15秒
【分析】（1）根据余角的定义得∠AOD的度数，再利用角的和差关系可得∠BOD的度数；
（2）分OD平分∠AOB和DO的延长线平分∠AOB，即可解决问题．
(1)
解：∵∠COD=90°，∠AOC=35°，
∴∠AOD=∠COD-∠AOC=55°，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD=∠AOB+AOD=145°；
∠AOC+∠BOD=180°，理由如下：
∵∠BOD=∠AOD+∠AOC+BOC，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠AOD+∠AOC+∠BOC=∠COD+∠AOB=90°+90°=180°，
∴∠AOC+∠BOD=180°；
故答案为：145°；
(2)
解：根据题意可得，
当旋转45°或225°时，OD所在的直线平分∠AOB，
∴旋转时间为：45°÷15°=3（秒），225°÷15°=15（秒）．
答：3秒或15秒后OD所在的直线平分∠AOB．
【点睛】本题主要考查了余角、补角的定义，角平分线的定义等知识，熟练掌握角的和差关系进行角的计算是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
【考点14 射线旋转与角度的关系】
【例14】（2022·湖北武汉·七年级期末）已知∠COD在∠AOB的内部，∠AOB＝150°，∠COD＝20°．
(1)如图1，求∠AOD+∠BOC的大小；
(2)如图2，OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，求∠MON的大小．
(3)如图3，若∠AOC＝30°，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针旋转，当与射线OB重合后，再以每秒15°的速度绕点O逆时针旋转；同时射线OD以每秒30°的速度绕点O顺时针旋转．设射线OD，OC运动的时间是t秒（0＜t≤22），当∠COD＝120°时，直接写出t的值．
【答案】(1)∠AOD+∠BOC=170°
(2)∠MON的大小为65°
(3)t的值为5或11或或
【分析】（1）∠AOD+∠BOC可化为∠AOB+∠COD，计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠AON=AOD，∠BOM=∠BOC，进而得到∠MON=∠AOB-(∠AOD+∠BOC)，计算可得；
（3）根据射线的运动可知，需要分四种情况：当OC未到达OB时，分两种情况；当OC到达OB后返回时，分两种情况；分别画出图形列方程解答．
(1)
解：∵∠AOB＝150°，∠COD＝20°．
∴∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=170°；
(2)
∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOD，
∴∠AON=AOD，∠BOM=∠BOC，
∴∠MON=∠AOB-∠AON-∠BOM=∠AOB-(∠AOD+∠BOC)=150°-85°=65°；
(3)
当OC未到达OB时，分两种情况：
①如图：
此时30t+20-10t=120，
解得t=5；
②如图：
360-30t-20+10t=120，
解得t=11；
当OC到达OB后返回时，分两种情况：
①如图：
此时30t-360-（300-15t-20）=120，
解得t=；
②如图：
此时（720-30t）-20+（300-15t）=120，
解得t=，
综上，t的值为5或11或或．
【点睛】此题考查了角的旋转，角平分线的计算，解题的关键是掌握相关概念，能用含t的代数式表示旋转角的度数．
【变式14-1】（2022·新疆乌鲁木齐·七年级期末）图（1）所示，点O是直线AB上一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数；
(2)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（2）所示的位置，以（1）题思路探究∠AOC与∠DOE的度数之间的关系，并说明理由；
(3)将图（1）中的∠COD绕点O顺时针旋转至图（3）所示的位置，直接写出∠AOC与∠DOE的度数之间的关系．
【答案】(1)15°
(2)
(3)
【分析】（1）由已知可求出，再由是直角，平分求出的度数；
（2）由是直角，平分可得出，则得，从而得出和的度数之间的关系；
（3）根据（2）的解题思路，即可解答．
(1)
解：由已知得∠AOC＝30°，则，
又是直角，平分，
，
故答案为：15°；
(2)
解：；
理由：是直角，平分，
，
则得，
所以得：；
(3)
解：；
理由：平分，
，
则得=，
所以得：．
【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质、几何图形中角的计算，解题的关键是正确运用有关性质准确计算角的和差倍分．
【变式14-2】（2022·湖北武汉·七年级期末）如图1，OB、OC是∠AOD内部两条射线．
(1)若∠AOD和∠BOC互为补角，且∠AOD＝2∠BOC．求∠AOD及∠BOC的度数；
(2)如图2，若∠AOD＝2∠BOC，在∠AOD的外部分别作∠COD、∠AOB的余角∠DOM及∠AON，请写出∠DOM、∠AON、∠BOC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，已知∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，若将OB绕O点从OA出发以每秒6°逆时针旋转，OC绕O点从OD出发以每秒5°顺时针旋转，OB、OC同时运动；当OC运动一周回到OD时，OB、OC同时停止运动．若运动t（t＞0）秒后，OE恰好是∠BOC的四等分线，则此时t的值为 （直接写出答案）．
【答案】(1)60°，120°
(2)∠DOM+∠AON+∠BOC=180°
(3)或或
【分析】(1)设∠AOD＝2∠BOC=2x，根据∠AOD+∠BOC=180°，列方程 求 解 即 可．
(2)画出图形，根据∠AOD＝2∠BOC，则∠COD+∠BOA=∠BOC，根据互余性质，列方程 求 解 即 可．
(3)画出图形，分OB、OC都没有转过OE线，OB、OC都转过OE线和OB转过一周后三种情况求解．
（1）
设∠AOD＝2∠BOC=2x，
∵∠AOD+∠BOC=180°，
∴2x+x=180，
解得x=60°，2x=120°，
故∠AOD=120°，∠BOC=60°．
（2）
画图如下：
作OM⊥OC，垂足为O，ON⊥OB，垂足为O，
∴∠DOM=90°-∠COD ，∠AON=90°-∠BOA，
∵∠AOD＝2∠BOC，
∴∠COD+∠BOA=∠BOC，
∴90°-∠DOM+90°-∠AON=∠BOC，
∴∠DOM+∠AON+∠BOC=180°．
（3）
如图1，当OB、OC都没有转过OE线时，∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，
根据题意，得 ∠AOB＝6t，∠COD＝5t，∠AOE＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠BOE=60°-6t＜∠COE=60°-5t，
∴∠BOE=60°-6t，∠BOC=120°-6t-5t=120°-11t，
∵OE恰好是∠BOC的四等分线，
∴∠BOC=4∠BOE，
∴120°-11t=4(60°-6t)，
解得；
如图2，当OB、OC都转过OE线时，∠AOD＝120°，射线OE平分∠AOD，
根据题意，得 ∠AOB＝6t，∠COD＝5t，∠AOE＝60°，∠DOE＝60°，
∴∠COE=5t-60°＜∠BOE=6t-60°，
∴∠BOC=120°-(120°-6t)-( 120°-5t)= 11t -120°，
∵OE恰好是∠BOC的四等分线，
∴∠BOC=4∠COE，
∴11t -120°=4(5t-60°)，
解得；
如图3，当OB转过一周后，
此时，∠COE=360°-5t+60°=420°-5t，∠BOE=60°-(6t-360°)= 420°-6t，
∴∠BOC=∠COE +∠BOE =840°-11t，
∴840°-11t =4(420°-6t)，
解得；
综上所述，当或或时，符合题意．
【点睛】本题考查了角的计算，互余的作图，分类计算，角的平分线，熟练掌握互余的作图，解一元一次方程是解题的关键．
【变式4-3】（2022·湖南岳阳·七年级期末）(1) 特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动(点A不超过点M，点B不超过点N)，点C和点D分别是AM，BN的中点．
① 若AM＝16cm，则CD＝ cm；
② 线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．
(2) 知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．
① 若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD=_____________度．
② 请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．
(3) 类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，，用含有k的式子表示的度数． (直接写出计算结果)
【答案】（1）①16，②不变，16 cm，理由见解析；（2）①90，②∠COD=（∠MON+∠AOB），理由见解析；（3）
【分析】（1）①欲求CD，需求AC+AB+BD．已知CD，需求AC+BD．点C和点D分别是AM，BN的中点，得AC= AM，BD=BN，那么AC+BD=AM+BN=（AM+BN），进而解决此题． ②与①同理．
（2）①欲求∠COD，需求∠AOC+∠AOB+∠BOD．已知∠AOB，需求∠AOC+∠BOD．由OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，得∠AOC=∠AOM，∠BOD=∠BON，进而解决此题． ②与①同理．
（3）由可得∠AOM=（1+k）∠AOC，∠BON=（1+k）∠BOD，所以∠AOC+∠BOD=，根据∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD可得结论．
【详解】解：（1）①∵MN=30cm，AB=2cm，AM=16cm，
∴BN=MN-AB-AM=12（cm），
∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
∴AC= AM=8cm，BD=BN=6cm．
∴AC+BD=14（cm）．
∴CD=AC+AB+BD=14+2=16（cm）．
故答案为：16．
②不变，理由如下： ∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
∴AC= AM，BD=BN，
∴AC+BD=AM+BN=（AM+BN）．
又∵MN=30cm，AB=2cm，
∴AM+BN=MN-AB=30-2=28（cm）．
∴AC+BD=（AM+BN）=14（cm）．
∴CD=AC+AB+BD=14+2=16（cm）．
（2）①∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴∠AOC=∠AOM，∠BOD=∠BON．
∴∠AOC+∠BOD=∠AOM+∠BON=（∠AOM+∠BON）．
又∵∠MON=150°，∠AOB=30°，
∴∠AOM+∠BON=∠MON-∠AOB=120°．
∴∠AOC+∠BOD=60°．
∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=60°+30°=90°．
故答案为：90．
②∠COD=（∠MON+AOB）．理由如下：
∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴∠AOC=∠AOM，∠BOD=∠BON．
∴∠AOC+∠BOD=∠AOM+∠BON=（∠AOM+∠BON）．
∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB =（∠AOM+∠BON）+∠AOB
=（∠MON-∠AOB）+∠AOB． =（∠MON+AOB）．
（3）∵∠MON=150°，∠AOB=30°，
∴∠AOM+∠BON=120°，
∵ ，
∴∠MOC=k∠AOC，∠NOD=k∠BOD，
∴∠AOM=∠MOC+∠AOC=（1+k）∠AOC，
∠BON=∠NOD+∠BOD=（1+k）∠BOD，
∴，
∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB= ．
【点睛】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键．
【考点15 余角和补角的性质】
【例15】（2022·山东·昌乐北大公学学校七年级阶段练习）已知：点O是直线AB上一点，过点O分别画射线OC，OE，使得．
（1）如图，OD平分．若，求的度数．请补全下面的解题过程（括号中填写推理的依据）．
解：∵点O是直线AB上一点，
∴．
∵，
∴．
∵OD平分．
∴（ ）．
∴ °．
∵，
∴（ ）．
∵ ，
∴ °．
（2）在平面内有一点D，满足．探究：当时，是否存在的值，使得．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）角平分线的定义；70；垂直的定义；DOC；EOC；160；（2）存在，的值为120°或144°或
【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直定义，结合所给解题过程进行补充即可；
（2）分三种情况讨论：①点D，C，E在AB上方时，②当点D在AB的下方，C，E在AB上方时，③如图，当D在AB上方，E，C在AB下方时，用含有α的式子表示出和∠BOE，由列式求解即可．
【详解】解：（1）∵点O是直线AB上一点，
∴．
∵，
∴．
∵OD平分．
∴（ 角平分线的定义 ）．
∴ 70 °．
∵，
∴（ 垂直的定义 ）．
∵ DOC EOC ，
∴ 160 °．
故答案为：角平分线定义；70；垂直的定义；DOC；EOC；160；
（2）存在， 或144°或
①点D，C，E在AB上方时，如图，
∵，
∴
∵
∴
∵
∴
∴
②当点D在AB的下方，C，E在AB上方时，如图，
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
③如图，当D在AB上方，E，C在AB下方时，
同理可得：

，

解得：
综上，的值为120°或144°或
【点睛】本题主要考查角平分线和补角，熟练掌握角平分线的定义和补角的定义是解题的关键．
【变式15-1】（2022·福建·福州市秀山初级中学七年级阶段练习）如图1，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝40°，则∠DOE的度数为________°；
（2）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，其他条件不变， 探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图3的位置，其他条件不变，直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：_________________________．
【答案】（1）20°；（2）∠AOC=2∠DOE，理由见解析；（3）∠AOC=360°-2∠DOE，理由见解析．
【分析】（1）由∠AOC的度数可以求得∠BOC的度数，由OE平分∠BOC，可以求得∠COE的度数，又由∠DOC=90°可以求得∠DOE的度数；
（2）根据直角和角平分线的定义可得∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，再利用平角的定义和角的和差即可求得∠AOC=2∠DOE；
（3）根据（2）的解题思路，即可解答．
【详解】解：（1）∵∠AOC=40°，
∴∠COB=180°-∠AOC=180°-40°=140°，
∵OE平分∠COB，
∴，
又∵∠COD=90°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=20°；
（2）∠AOC=2∠DOE；
理由：∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠COE=∠BOE=90°-∠DOE，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（90°-∠DOE），
∴∠AOC=2∠DOE；
（3）∠AOC=360°-2∠DOE；
理由：∵OE平分∠BOC，∠COD是直角，
∴∠BOE=2∠COE，
∴∠AOC=180°-∠BOC=180°-2∠COE=180°-2（∠DOE-90°），
∴∠AOC=360°-2∠DOE；
【点睛】本题考查角平分线的有关计算，平角的定义．解题关键是掌握角的和差，能正确运用角的和差进行计算（表示）．
【变式15-2】（2022·浙江·七年级专题练习）如图所示，将两块三角板的直角顶点重合．
(1)写出以为顶点的相等的角；
(2)若，求度数；
(3)写出与之间所具有的数量关系；
(4)当三角板绕点旋转时，你所写出的（3）中的关系是否变化？请说明理由．
【答案】(1)，
(2)
(3)与互补
(4)不变，见解析
【分析】（1）根据同角的余角相等作答；
（2）由图得∠DCE＝90°−∠ACE，求∠ACE的度数即可；
（3）∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°；
（4）由（3）可得，当三角板ACD绕点C旋转时，不变化．
【详解】（1）解：根据同角的余角相等可得：∠ACE＝∠BCD，∠ACD＝∠ECB．
（2）解：∵∠ACB＝150°，∠BCE＝90°，
∴∠ACE＝150°−90°＝60°，
∴∠DCE＝90°−∠ACE＝90°−60°＝30°．
（3）解：∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴∠ACB与∠DCE互补．
（4）解：不变化．
∵∠ACB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＋∠DCE＝90°＋90°＝180°，
∴无论如何旋转，∠ACB与∠DCE互补．
【点睛】本题主要考查了几何图形中的角度计算，解答本题需要熟悉一副三角板各角之间的关系．
【变式15-3】（2022·河北石家庄·七年级期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角板DOE的直角（∠DOE＝90°）顶点放在点O处．
(1)将直角三角板DOE的一边OD放在射线OB止，如图1所示，则∠COE的度数为_______________________，其补角的度数为________________________；
(2)将直角三角板DOE绕点O转动到如图2所示的位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
(3)如图3，将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE之间的数量关系，并说明理由；
(4)将直角三角板DOE绕点O转动，OD始终在∠BOC的外部，且∠BOD＝80°，请直接写出∠COE的度数．
【答案】(1)20°；160°
(2)20°
(3)∠COE-∠BOD=20°，理由见解析
(4)100°或60°
【分析】（1）根据图形得出∠COE=∠DOE-∠BOC，代入求出∠COE的度数，再利用补角的定义可求解；
（2）根据角平分线定义求出∠BOE=140°，代入∠BOD=∠BOC-∠DOE，再利用∠COD=∠BOC-∠BOD即可求解；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，相减即可求出答案；
（4）将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD在∠BOC的外部，在备用图中画出三角板DOE的四个位置，即可求出∠COE的度数．
（1）
解：若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，
则∠COE=∠DOE-∠BOC=90°-70°=20°．
∴其补角为180°-20°=160°，
故答案为：20；160°；
（2）
解：∵OC平分∠BOE，∠BOC=70°，
∴∠EOB=2∠BOC=140°，
∵∠DOE=90°，
∴∠BOD=∠BOE-∠DOE=50°，
∵∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOC-∠BOD=20°；
（3）
解：∠COE-∠BOD=20°，
理由是：∵∠BOD+∠COD=∠BOC=70°，∠COE+∠COD=∠DOE=90°，
∴（∠COE+∠COD）-（∠BOD+∠COD）
=∠COE+∠COD-∠BOD-∠COD
=∠COE-∠BOD
=90°-70°
=20°，
即∠COE-∠BOD=20°；
（4）
解：如图4，
图4
∵∠BOC=70°，∠BOD=80°，
∴∠COD=80°-70°=10°，
∴∠COE=∠COD+∠DOE=90°+10°=100°；
如图5，
图5
∵∠BOD=80°，∠BOC=70°，
∴∠COD=∠BOD+∠BOC=80°+70°=150°，
∵∠DOE=90°，
∴∠COE=∠COD-∠DOE=150°-90°=60°，
综上，∠COE的度数为100°或60°．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图、余角和补角、旋转作图，解题的关键是准确画出旋转后的三角板的位置．
【考点16 用尺规作角、线段】
【例16】（2022·上海市罗南中学阶段练习）已知线段、，且（如图），画一条线段，使它等于．（不写画法或作法，保留画图或作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段，即可．
【详解】解：如图，作射线，在射线上截取，在线段上截取，则线段，
线段即为所求．
【点睛】本题考查了作线段，线段的和差，数形结合是解题的关键．
【变式16-1】（2022·陕西·西安高新一中实验中学七年级期末）如图，平面上有四个点A，B，C，D．根据下列语句，完成尺规作图：
(1)画直线AC；
(2)画射线BD交直线AC于点O；
(3)连接BC，并延长至点E，使CE＝2BC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据直线定义即可画直线AC．
（2）根据射线定义即可画射线BD交直线AC于点O．
（3）根据线段定义即可连接BC，并延长至点E，使CE＝2BC．
（1）
解：如图，直线AC即为所求；
（2）
如图，射线BD和点O即为所求；
（3）
如图，线段BC，CE即为所求．
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，直线、射线、线段，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
【变式16-2】（2022·全国·七年级专题练习）（2022·山东青岛市·七年级期末）作图题：已知：∠α、∠β、 求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β
【答案】作图见解析
【分析】利用量角器作∠AOC=∠α，在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，所以∠AOB=∠α+∠β，即为所求作的角．
【详解】如图所示：（1）作∠AOC=∠α，
（2）在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，
则∠AOB即为所求作的角．
【点睛】本题主要考查了用量角器作角，准确分析作图是解题的关键．
【变式16-3】（2022·山东·东阿县实验中学八年级阶段练习）已知：线段，，．求作：，使，，．（注意：依据答题卡中的图示作图）
【答案】作图见详解；
【分析】取线段BC=a，然后分别以B、C为顶点，线段为角的一边对向做角分别等于，两个角的另一边的交点即为点A；
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查了尺规作图，掌握并熟练使用相关知识，同时注意作图中需注意的事项是本题的解题关键．