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沪科版七年级数学上册专题特训 专题6.1 期中期末专项复习之有理数十六大必考点（原卷版+解析版）
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这是一份沪科版七年级数学上册专题特训 专题6.1 期中期末专项复习之有理数十六大必考点（原卷版+解析版），共58页。
专题6.1 有理数十六大必考点【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc54" 【考点1 相反意义的量】 PAGEREF _Toc54 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25576" 【考点2 有理数的概念及分类】 PAGEREF _Toc25576 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc18611" 【考点3 相反数】 PAGEREF _Toc18611 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc18651" 【考点4 绝对值】 PAGEREF _Toc18651 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc25140" 【考点5 根据数轴化简绝对值】 PAGEREF _Toc25140 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc6251" 【考点6 相反数、绝对值、倒数综合】 PAGEREF _Toc6251 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc16375" 【考点7 有理数的混合运算】 PAGEREF _Toc16375 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc14316" 【考点8 新定义中的有理数运算】 PAGEREF _Toc14316 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc23724" 【考点9 科学记数法】 PAGEREF _Toc23724 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc32580" 【考点10 有理数乘方的应用】 PAGEREF _Toc32580 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc233" 【考点11 有理数的大小比较】 PAGEREF _Toc233 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc11233" 【考点12 阅读材料中的有理数运算】 PAGEREF _Toc11233 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc5808" 【考点13 有理数的实际应用】 PAGEREF _Toc5808 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc24781" 【考点14 正负数的实际应用】 PAGEREF _Toc24781 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc14795" 【考点15 有理数中的规律探究】 PAGEREF _Toc14795 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc17409" 【考点16 数轴与绝对值、动点的综合探究】 PAGEREF _Toc17409 \h 12【考点1 相反意义的量】【例1】（河北省保定市新秀学校2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作+100元，则-50元表示（ ）A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元【变式1-1】（重庆市育才中学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果水库的水位高于正常水位4m时，记作+4m，那么低于正常水位5m时，应记作( )A．5m B．-5m C．+m D．-m【变式1-2】（山西省吕梁市交城县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果电梯上升米，记作+5米，那么-3米表示 _______________________________ ．【变式1-3】（2022·全国·七年级上学期期中数学试题）文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边米处，玩具店位于书店西边米处，小明从书店沿街向东走了米，接着又向西走了米，此时小明的位置在（ ）A．文具店 B．玩具店 C．文具店西边米 D．玩具店西边米【考点2 有理数的概念及分类】【例2】（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级上学期期中数学试题）把下列有理数填入它所属于的集合圈内．，1，3.5，0，，4 【变式2-1】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级上学期期中数学试题）在，，0.25，0，1.23，1.01001000100001…，中，非负有理数的数有___________________．【变式2-2】（2022·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校期中）在下列数中：，0.23，，0，，，，，该正整数的个数为，非负数的个数为，则的值为________．【变式2-3】（2022·陕西·白水县田家炳实验中学七年级上学期期中数学试题）把下列各数填入它所属的集合内：15，，﹣5，，0，﹣5.32，，π，80%，5．(1)分数集合{ …}；(2)自然数集合{ …}；(3)非正整数集合{ …}；(4)非负有理数集合{ …}．【考点3 相反数】【例3】（2022·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）A．2与 B．（﹣1）2与1 C．﹣1与（﹣1）2 D．2与|﹣2|【变式3-1】（2022·河北保定·七年级期中）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是_____．【变式3-2】（2022·宁夏·银川市第三中学七年级期中）下列各组数中：①﹣32与32；②（﹣3）2与32；③﹣（﹣2）与﹣（+2）；④（﹣3）3与﹣33；⑤﹣23与32，其中互为相反数的共有（ ）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【变式3-3】（2022·山东威海·期中）若m，n互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的是（ ）A．﹣m和﹣n B．m+1和n+1 C．m+1和n﹣1 D．5m和5n【考点4 绝对值】【例4】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）若，且，则_______．【变式4-1】（2022·黑龙江·兰西县红星乡第一中学校期中）已知|x|＝8，|y|＝5，且xy＜0，则x+y的值等于 _____．【变式4-2】（2022·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）绝对值小于3的正整数有________．【变式4-3】（2022·辽宁本溪·七年级期中）化简：____________．【考点5 根据数轴化简绝对值】【例5】（2022·四川广安·七年级期末）有理数，，在数轴上的对应点如图所示，化简：________．【变式5-1】（2022·广东·广州市真光中学七年级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，若c是绝对值最小的数，d是最大的负整数．（1）在数轴上表示c＝ ，d＝ ．（2）若|x+3|＝2，则x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．【变式5-2】（2022·山东德州·七年级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，解答下列问题：（1）若a＝2，将a表示的点沿数轴方向平移5个单位，得到的点表示的数为 ；（2）数b与其相反数相距10个单位长度，则b表示的数是 ；（3）化简：|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|．【变式5-3】（2022·湖南·李达中学七年级期中）如图，数轴上有点a，b，c三点．(1) 0； 0(填“<”，“>”，“=”)；(2)化简(3)求的值【考点6 相反数、绝对值、倒数综合】【例6】（2022·全国·七年级课时练习）若、互为相反数，则 ______ ．【变式6-1】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校七年级期中）的绝对值加上的倒数等于______．【变式6-2】（2022·湖南·李达中学七年级期中）的倒数的绝对值是 ________【变式6-3】（2022·湖北十堰·七年级期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值为1，求3a+3b+cd+e2的值．【考点7 有理数的混合运算】【例7】（2022·黑龙江·兰西县崇文实验学校期中）计算：(1)（-7）-（-10）+（-8）-（+2）；(2)3×（-1）-4÷（-2）；(3)；(4)【变式7-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）计算，有简便方法的用简便方法．(1)(2)(3)(4)【变式7-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）计算:(1)(2)(3)(4)【变式7-3】（2022·安徽·七年级期中）计算:(1)×(-24);(2)(-81)÷÷(-8).【考点8 新定义中的有理数运算】【例8】（2022·河南驻马店·七年级期中）对于有理数a，b，定义一种新运算”⊙”，规定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|．（1）计算：2⊙（﹣3）的值；（2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简：a⊙b．【变式8-1】（2022·山东·招远市教学研究室期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b，都有a*b＝，例如：5*3＝，由此算出2*（－4）＝_________．【变式8-2】（2022·吉林长春·七年级期中）完成下列各题．（1）定义新运算：对于任意有理数、，都有．计算如下：．求的值．（2）对于有理数、，若定义运算：，求的值．【变式8-3】（2022·辽宁沈阳·七年级期中）定义一种新运算：a⊗m＝a×|m|．如5⊗（﹣3）＝5×|﹣3|＝15，﹣8⊗4＝﹣8×|4|＝﹣32．（1）计算：65⊗0＝ ，﹣43⊗|﹣2|＝ ；（2）若n＜0，化简48⊗（﹣3n）；（3）若a，m，n为任意有理数，等式a⊗（m+n）＝a⊗m+a⊗n一定成立吗？请说理由．【考点9 科学记数法】【例9】（2022·山东济南·七年级期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）A． B． C． D．【变式9-1】（2022·北京市陈经纶中学分校七年级期中）2020年国庆档电影《我和我的家乡》上映13天票房收入达到21.94亿元，并连续10天拿下票房单日冠军．其中21.94亿元用科学记数法可表示为（ ）A．元 B．元 C．元 D．元【变式9-2】（2022·河北·廊坊市第四中学七年级期中）整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为（ ）A． B． C． D．【变式9-3】（2022·广东·广州四十七中七年级期中）过度包装既浪费资源又污染环境，据测算如果全国每年减少十分之一的包装纸用量那么能减少吨二氧化碳的排放量，把写成原数是（ ）A． B． C． D．【考点10 有理数乘方的应用】【例10】（2022·全国·七年级期中）我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的( )A．9 B．10 C．11 D．12【变式10-1】（2022·广东·东莞市光大新亚外国语学校七年级期中）将一根绳子对折一次后从中间剪一刀，绳子变成3段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成5段：将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成_____段．【变式10-2】（2022·河南郑州·七年级期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第____次后可拉出64根细面条.【变式10-3】（2022·全国·七年级期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.【考点11 有理数的大小比较】【例11】（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）下列有理数的大小关系正确的是（ ）A． B． C． D．【变式11-1】（2022·浙江·七年级专题练习）已知，那么的大小关系是（ ）A．a＞-b＞-a＞b B．-b＞a＞-a＞bC．a＞b＞-a＞-b D．a＞-b＞b＞-a【变式11-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试比较a，b， －a， －b四个数的大小关系： ____________________．【变式11-3】（2022·全国·七年级专题练习）探索研究：（1）比较下列各式的大小（用“＜”、“＞”、“＝”连接）①|2|+|3| |2+3|；②|﹣2|+|﹣3| |﹣2﹣3|；③|2|+|﹣3| |2﹣3|；④|2|+|0| |2+0|．（2）a、b为有理数，通过比较、分析，归纳|a|+|b|与|a+b|的大小关系．（用“＜”、“＞”、“＝”、“≥”、“≤”连接）当a、b同号时，|a|+|b| |a+b|；当a、b异号时，|a|+|b| |a+b|；当a＝0或b＝0时，|a|+|b| |a+b|；综上，|a|+|b| |a+b|．（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2015＝|x﹣2015|时，则x的取值范围是 ．【考点12 阅读材料中的有理数运算】【例12】（2022·浙江·余姚市高风中学七年级期中）阅读下列材料：对于排好顺序的三个数：，，称为数列，，．将这个数列如下式进行计算：，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列，，的“理想数值”．例如：对于数列1，-2，3，因为1，1-（-2）＝3，1-（-2）＋3＝6，所以数列1，-2，3的“理想数值为6，进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得的数列都可以按照上述方法求出“理想数值”，如：数列-2，1，3的“理想数值”为0……而对于“1，-2，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，“理想数值”的最大值为6.(1)数列-5，4，-3的“理想数值”为 ；(2)将-5，4，-3这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是 ，取得“理想数值”的最大值的数列是 ；(3)将“-1，7， ”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是10，求的值，并写出取得“理想数值”最大值的数列．【变式12-1】（2022·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程：解：设S＝1+2+3+…+100， ①则S＝100+99+98+…+1．②①+②，得（即左右两边分别相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，S＝．所以，1+2+3+…+100＝5050．后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：(1)计算：1+2+3+…+101；(2)猜想：1+2+3+…+n＝ ；(3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000．【变式12-2】（2022·上海黄浦·期中）每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如，真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（，），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，，，所生成的自然数组为{3，1，4，2}．请根据上述阅读材料填空：(1)由假分数生成的自然数组是{_______}；(2)已知某个假分数所生成的自然数组为{2，4，1，1，3}，那么这个假分数是_______．【变式12-3】（2022·重庆市第九十五初级中学校七年级期中）阅读理解材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：，．(1)计算：______．(2)试说明：当q能够被3整除时一定能够被6整除．【考点13 有理数的实际应用】【例13】（2022·湖北黄石·七年级期末）地球北纬线是一条神秘而又奇特的纬线，我国有许多资源丰富的名山都分布在这条纬线附近．峨眉山与黄山植物种类的比是，已知峨眉山有植物3300种，黄山的植物种类是庐山的．那么庐山有植物多少种？【变式13-1】（2022·黑龙江省新华农场中学期末）下面是学校到少年宫的行走路线图(1)如果小明从公园到学校，请叙述一下他的行走路线．(2)如果他每分钟走60米，那么他从公园走到学校要走几分钟？【变式13-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）当温度每上升2℃时，某种金属丝伸长0.003mm．反之，当温度每下降2℃时，金属丝缩短0.002mm．把17℃的这种金属丝加热到63℃，再使它冷却降温到5℃，最后的长度和原来相比是伸长了还是缩短了？伸长了或缩短了多少？【变式13-3】（2022·湖北黄石·七年级期末）一个高为，容积为的圆柱形容器里装满了水，现把高的圆柱垂直放入，使圆柱的底面与容器的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把圆柱从容器中拿出后，容器中水的高度为6厘米．求圆柱的体积．【考点14 正负数的实际应用】【例14】（陕西省西安市雁塔区师范大学附属中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）为全力迎接全国第十四届运动会，西安市将继续加快交通高质量发展，不断增强市民获得感和幸福感．某检修小组从O地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单位：km）（1）求收工时距O地多远？（2）在第几次记录时距O地最远？（3）若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？【变式14-1】（黑龙江省哈尔滨市德强初中2022-2023学年下学期双减下的数学汇报试卷六年级（五四制））某一出租车一天下午以博物馆为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：＋9、－3、－5、＋4、－8、＋6、－3、－6、－4、＋8(1)在第______次记录时距博物馆最远．(2)将最后一名乘客送到目的地，出租车离博物馆出发点多远？在博物馆的什么方向？(3)若每千米的价格为1.9元，司机一个下午的营业额是多少？【变式14-2】（山东省烟台市牟平区2022-2023学年六年级上学期期中数学试题）某小型体育用品加工厂计划一天生产300个足球，但由于各种原因，实际每天生产足球个数与计划每天生产足球个数相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）：(1)求该厂本周实际生产足球的个数；(2)求产量最多的一天比产量最少的一天多生产足球的个数；(3)该厂实行每日计件工资制，按计划完成每生产一个足球可得6元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖2元，若未能完成任务，则少生产一个扣2.5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【变式14-3】（广西桂林市灌阳县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如图，某快递员要从公司点A出发，前往B、C、D等地派发包裹，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，并且行走方向顺序为先左右再上下．如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，请根据图完成如下问题：（1）A→C（ ， ），B→D（ ， ），C→D（＋1， ）；（2）若快递员的行走路线为A→B→C→D，请计算该快递员走过的路程；（3）若快递员从A处去某P处的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），（－1，－2），请在图中标出P的位置．【考点15 有理数中的规律探究】【例15】（2022·四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程： ……（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：______________． ____________．_________________．（为正整数）（2）根据规律计算： ．【变式15-1】（2022·湖南岳阳·七年级期中）请观察下列算式，找出规律并填空．，，，．则第10个算式是________，第个算式是________．根据以上规律解读以下两题：（1）求的值；（2）若有理数，满足，试求：的值．【变式15-2】（2022·湖南长沙·七年级期中）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：(1)_________；(2)_________；(3)计算：．【变式15-3】（2022·宁夏·银川英才学校七年级期中）点（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点所表示的数分别为 （ ）A．2018，－2019 B．1009，－1010 C．－2018，2019 D．－1009，1009【考点16 数轴与绝对值、动点的综合探究】【例16】（2022·湖南·永州市德雅学校七年级阶段练习）阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的距离可以表示为．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1)数轴上表示3与﹣2的两点之间的距离是______．(2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______．(3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数______所对应的两点之间的距离；若，则x＝______．(4)求代数式的最小值是______，并直接写出这时x的值为______．【变式16-1】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）如图，数轴上点为原点，点所表示的数为，点所表示的数为，且、满足．(1)请直接写出点所表示的数：______，点所表示的数：______．(2)如图1，点从出发以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点运动的同时，点从出发以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，在运动过程中，数轴上动点到点、原点的距离始终相等，设点到点之间的距离为，求的值．(3)如图2，在（2）的条件下，当点、之间的距离等于时，从点出发（点所表示的数为14），以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，此时、仍按原速度、原方向运动，当与、都未相遇之前，是否存在点，使点到点、距离之和等于点到原点距离，若存在，求点所表示的数，若不存在，请说明理由．【变式16-2】（2022·广东·广州市越秀区育才实验学校七年级期中）已知：a是－1，且a，b，c满足，请回答问题：（1）请直接写出b，c的值：______，______；（2）在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x：①当点P在A与B之间运动时，请化简式子：；②若点Q为数轴上另一动点，点P以每秒2个单位长度从B点出发向右运动，点Q以每秒4个单位长度从C点出发向左运动，两点同时出发，当两点相遇时，点Q马上以同样速度往反方向运动，P点继续按原方向运动，在整个运动过程中，假设两点运动时间为t秒后，，求t的值．【变式16-3】（2022·重庆·七年级期中）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．（1）如图1，①若点P在点A左侧，化简_________；②若点P在线段上，化简_________；③若点P在点B右侧，化简_________；④由图可知，的最小值是_________．（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．专题6.1 有理数十六大必考点【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc54" 【考点1 相反意义的量】 PAGEREF _Toc54 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25576" 【考点2 有理数的概念及分类】 PAGEREF _Toc25576 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc18611" 【考点3 相反数】 PAGEREF _Toc18611 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc18651" 【考点4 绝对值】 PAGEREF _Toc18651 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc25140" 【考点5 根据数轴化简绝对值】 PAGEREF _Toc25140 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc6251" 【考点6 相反数、绝对值、倒数综合】 PAGEREF _Toc6251 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc16375" 【考点7 有理数的混合运算】 PAGEREF _Toc16375 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc14316" 【考点8 新定义中的有理数运算】 PAGEREF _Toc14316 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc23724" 【考点9 科学计数法】 PAGEREF _Toc23724 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc32580" 【考点10 有理数乘方的应用】 PAGEREF _Toc32580 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc233" 【考点11 有理数的大小比较】 PAGEREF _Toc233 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc11233" 【考点12 阅读材料中的有理数运算】 PAGEREF _Toc11233 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc5808" 【考点13 有理数的实际应用】 PAGEREF _Toc5808 \h 29 HYPERLINK \l "_Toc24781" 【考点14 正负数的实际应用】 PAGEREF _Toc24781 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc14795" 【考点15 有理数中的规律探究】 PAGEREF _Toc14795 \h 36 HYPERLINK \l "_Toc17409" 【考点16 数轴与绝对值、动点的综合探究】 PAGEREF _Toc17409 \h 40【考点1 相反意义的量】【例1】（河北省保定市新秀学校2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作+100元，则-50元表示（ ）A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元【答案】A【分析】根据正负数的相反意义即可得出答案．【详解】解：收入100元记作+100元，则−50元表示支出50元，故选：A．【点睛】此题考查了正负数表示一对相反意义的量，正确理解正负数的意义是解题的关键．【变式1-1】（重庆市育才中学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果水库的水位高于正常水位4m时，记作+4m，那么低于正常水位5m时，应记作( )A．5m B．-5m C．+m D．-m【答案】B【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此可求解．【详解】解：如果水库的水位高于正常水位4m时，记作+4m，那么低于正常水位5m时，应记作-5m．故选：B．【点睛】此题主要考查正负数的意义，关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．【变式1-2】（山西省吕梁市交城县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果电梯上升米，记作+5米，那么-3米表示 _______________________________ ．【答案】电梯下降3米【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：“正”和“负”相对，∵电梯上升5米，记作+5米，∴-3表示电梯下降3米．故答案为：电梯下降3米．【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【变式1-3】（2022·全国·七年级上学期期中数学试题文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边米处，玩具店位于书店西边米处，小明从书店沿街向东走了米，接着又向西走了米，此时小明的位置在（ ）A．文具店 B．玩具店 C．文具店西边米 D．玩具店西边米【答案】A【分析】根据题意以书店为原点，向东方向为正方，10米为单位长度，画出数轴，根据数轴分析即可得出答案．【详解】如图，根据题意一书店为原点，向东方向为正方，10米为单位长度，画出数轴，则文具店表式的数是，玩具店所表示的数是，依题意，故此时小明的位置在文具店故选A【点睛】本题考查了数轴的应用，具有相反意义的量，有理数的加减的应用，根据数轴分析是解题的关键．【考点2 有理数的概念及分类】【例2】（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级上学期期中数学试题）把下列有理数填入它所属于的集合圈内．，1，3.5，0，，4 【答案】见解析【分析】利用负数、分数、正整数和非负数的定义即可区分作答．【详解】解：【点睛】本题考查了负数、分数、正整数和非负数的的定义，理解相关定义是解答本题的关键．注意：有限小数和无限循环小数都属于分数即他们都是有理数．【变式2-1】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级上学期期中数学试题）在，，0.25，0，1.23，1.01001000100001…，中，非负有理数的数有___________________．【答案】，0.25，0，1.23【分析】根据有理数的定义及分类：整数与分数统称为有理数，逐个判定即可得到结论．【详解】解根据有理数的定义及分类可知，符合题意；是负数，不合题意；符合题意；0符合题意；1.23符合题意；1.01001000100001…是无理数，不合题意；是无理数，不合题意；故答案为：，，，．【点睛】本题考查有理数的定义及分类，掌握有理数的分类是解决问题的关键．【变式2-2】（2022·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校期中）在下列数中：，0.23，，0，，，，，该正整数的个数为，非负数的个数为，则的值为________．【答案】【分析】根据正整数的概念知所给数中，，为正整数，得到；根据非负数的概念知所给数中0.23，，0，，为非负数，得到，代入求值即可．【详解】解：，0.23，，0，，，，，正整数有：，，，即，非负数有：中0.23，，0，，，即，，故答案为：．【点睛】本题考查代数式求值，掌握有理数概念及分类是解决问题的关键．【变式2-3】（2022·陕西·白水县田家炳实验中学七年级上学期期中数学试题）把下列各数填入它所属的集合内：15，，﹣5，，0，﹣5.32，，π，80%，5．(1)分数集合{ …}；(2)自然数集合{ …}；(3)非正整数集合{ …}；(4)非负有理数集合{ …}．【答案】(1)﹣，，﹣5.32，，80%(2)15，0，5(3)﹣5，0(4)15，，0，，80%，5【分析】根据有理数的相关定义及分类方法解答即可．（1）解：分数集合{﹣，，﹣5.32，，80%}；故答案为：﹣，，﹣5.32，，80%；（2）解：自然数集合{15，0，5}；故答案为：15，0，5；（3）解：非正整数集合{﹣5，0}；故答案为﹣5，0；（4）解：非负有理数集合{15，，0，，80%，5}；故答案为：15，，0，，80%，5．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟记有理数的分类方法是解题的关键．【考点3 相反数】【例3】（2022·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）A．2与 B．（﹣1）2与1 C．﹣1与（﹣1）2 D．2与|﹣2|【答案】C【分析】两数互为相反数，它们的和为0，可对四个选项进行一一分析，看选项中的两个数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数．【详解】解：A、2+＝； B、（﹣1）2+1＝2；C、﹣1+（﹣1）2＝0；D、2+|﹣2|＝4．故选：C．【点睛】此题考查相反数的定义及性质：互为相反数的两个数的和为0,以及有理数的加法计算法则．【变式3-1】（2022·河北保定·七年级期中）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是_____．【答案】A和C．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【详解】解：由题意得：点A表示的数为：2，点B表示的数为：1，点C表示的数为：-2，点D表示的数为：-3，则A与C互为相反数，故答案为：A和C．【点睛】本题考查了数轴和相反数的定义，知道数轴上某点表示的数，并熟练掌握相反数的定义即可．【变式3-2】（2022·宁夏·银川市第三中学七年级期中）下列各组数中：①﹣32与32；②（﹣3）2与32；③﹣（﹣2）与﹣（+2）；④（﹣3）3与﹣33；⑤﹣23与32，其中互为相反数的共有（ ）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【答案】C【分析】两数互为相反数，它们的和为0．本题可对各选项进行一一分析，看选项中的两个数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数．【详解】解：根据相反数的定义可知：①﹣32与32；③﹣（﹣2）与﹣（+2）互为相反数．故选：C．【点睛】此题考查相反数的概念．解题的关键是掌握相反数的概念，明确两数互为相反数，它们的和为0．【变式3-3】（2022·山东威海·期中）若m，n互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的是（ ）A．﹣m和﹣n B．m+1和n+1 C．m+1和n﹣1 D．5m和5n【答案】B【详解】分析：直接利用互为相反数的定义分析得出答案．详解：A、∵m，n互为相反数，∴-m和-n也是互为相反数，故此选项错误；B、∵m，n互为相反数，∴m+1和n+1不是互为相反数，故此选项正确；C、∵m，n互为相反数，∴m+1和n-1是互为相反数，故此选项正确；D、∵m，n互为相反数，∴5m和5n也是互为相反数，故此选项错误；故选B．点睛：此题主要考查了互为相反数，正确把握定义是解题关键．【考点4 绝对值】【例4】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）若，且，则_______．【答案】##0.5【分析】根据绝对值的定义和确定a的值，代入a+1计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查绝对值的定义和代数式求值，正确求出a的值是解题的关键．【变式4-1】（2022·黑龙江·兰西县红星乡第一中学校期中）已知|x|＝8，|y|＝5，且xy＜0，则x+y的值等于 _____．【答案】±3【分析】根据绝对值的意义，求得的值，进而根据xy＜0，确定的值，进而求得代数式的值．【详解】解：∵|x|＝8，|y|＝5，∴x＝±8，y＝±5，又∵xy＜0，∴x＝8，y＝﹣5或x＝﹣8，y＝5，当x＝8，y＝﹣5时，原式＝8+（﹣5）＝3，当x＝﹣8，y＝5时，原式＝﹣8+5＝﹣3，综上，x+y的值为±3，故答案为：±3．【点睛】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，注意分类讨论是解题的关键．【变式4-2】（2022·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）绝对值小于3的正整数有________．【答案】1，2##2,1【分析】根据绝对值的性质，即可解答．【详解】绝对值小于3的正整数有1，2，故答案为：1，2．【点睛】本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．【变式4-3】（2022·辽宁本溪·七年级期中）化简：____________．【答案】【分析】根据绝对值的定义即可得．【详解】解：；故答案为：【点睛】此题考查了绝对值，掌握绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值是解题的关键．【考点5 根据数轴化简绝对值】【例5】（2022·四川广安·七年级期末）有理数，，在数轴上的对应点如图所示，化简：________．【答案】【分析】根据数轴得出，据此将绝对值化简即可得到答案．【详解】由图知：，，．故答案为：．【点睛】本题考查数轴的点的大小关系与绝对值的性质，属于基础题．【变式5-1】（2022·广东·广州市真光中学七年级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，若c是绝对值最小的数，d是最大的负整数．（1）在数轴上表示c＝ ，d＝ ．（2）若|x+3|＝2，则x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．【答案】（1）0，；（2）或；（3）【分析】（1）根据c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，即可得到，；（2）由，则，由此求解即可；（3）根据数轴上的位置可得，则，，，由此进行化简即可．【详解】解：（1）∵c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，∴，，故答案为：0，；（2）∵，∴，∴或；（3）根据数轴上的位置可得，∵，∴，，，∴．【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置化简绝对值，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的相关方法．【变式5-2】（2022·山东德州·七年级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，解答下列问题：（1）若a＝2，将a表示的点沿数轴方向平移5个单位，得到的点表示的数为 ；（2）数b与其相反数相距10个单位长度，则b表示的数是 ；（3）化简：|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|．【答案】（1）7或-3；（2）-5；（3）-2c．【分析】（1）分两种情况，一种情况是向右平移，另一种是向左平移，根据数轴表示数的意义，通过计算即可解答；（2）根据题意得出方程，求出方程的解即可；（3）根据数轴可得，再根据绝对值的性质去绝对值，然后合并同类项即可．【详解】解：（1）将a表示的点沿数轴向右平移5个单位即 ，得到的点表示的数为7；将a表示的点沿数轴向左平移5个单位即 ，得到的点表示的数为-3；（2）数b的相反数为，根据数b与其相反数相距10个单位长度可得 ，解得： ；（3）由数轴可得，则|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|．【点睛】本题考查了数轴，相反数，绝对值，两点间的距离的应用，解题关键是能根据题意列出算式和方程．【变式5-3】（2022·湖南·李达中学七年级期中）如图，数轴上有点a，b，c三点．(1) 0； 0(填“<”，“>”，“=”)；(2)化简(3)求的值【答案】(1)；；(2)；(3)0．【分析】（1）由，，在数轴上的位置可得、、的大小关系，再估算，的值，得出答案；（2）结合（1），再由，，在数轴上的位置可以判断的符号，再化简绝对值即可；（3）根据，，在数轴上的位置可得、、的正负情况，再化简绝对值．（1）解：根据数轴上的点得：；，；故答案为：；；（2）解：；（3）解：，．【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，化简绝对值、解题的关键是通过数形结合来求解．【考点6 相反数、绝对值、倒数综合】【例6】（2022·全国·七年级课时练习）若、互为相反数，则 ______ ．【答案】5【分析】根据互为相反数的两个数的和为，可得的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】解：、互为相反数，，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值，先算的值，再算绝对值．【变式6-1】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校七年级期中）的绝对值加上的倒数等于______．【答案】##【分析】根据绝对值和倒数的概念分别求出的绝对值和倒数，再求和即可．【详解】解：∵的绝对值是，的倒数是，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了求一个数的绝对值和求一个数的倒数，正确求出的绝对值和倒数是解答本题的关键．【变式6-2】（2022·湖南·李达中学七年级期中）的倒数的绝对值是 ________【答案】2【分析】先求出的倒数，再求其绝对值即可．【详解】的倒数是-2，-2的绝对值是2，即的倒数的绝对值是2，故答案为：2．【点睛】本题考查有理数的倒数和绝对值，乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．【变式6-3】（2022·湖北十堰·七年级期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值为1，求3a+3b+cd+e2的值．【答案】2【分析】根据题意求得，，等各式的值，代入求解即可．【详解】解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∵c，d互为倒数，∴cd=1，∵e的绝对值为1，∴，∴e2=1，∴【点睛】此题考查了有理数的有关概念，以及乘方和加减运算，解题的关键是根据题意求得各式子的值．【考点7 有理数的混合运算】【例7】（2022·黑龙江·兰西县崇文实验学校期中）计算：(1)（-7）-（-10）+（-8）-（+2）；(2)3×（-1）-4÷（-2）；(3)；(4)【答案】(1)-7(2)-1(3)-7(4)【分析】（1）先去括号再计算加减法，即可求解；（2）先计算乘除，再计算减法，即可求解；（3）直接运用乘法的分配律计算，即可求解；（4）按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的，即可求解．（1）解：（-7）-（-10）+（-8）-（+2）=-7+10-8-2=3-8-2=-5-2=-7（2）解：3×（-1）-4÷（-2）=-3-（-2）=-3+2=-1（3）解： =-7（4）解： 【点睛】本题考查的是有理数的运算能力，注意：要正确掌握运算顺序，在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序；并灵活选用运算律进行简化运算．【变式7-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）计算，有简便方法的用简便方法．(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先把与相加，再计算减法即可；（2）先把与相乘，再与31相乘即可；（3）按有理数运算顺序法则计算即可；（4）按有理数运算顺序法则计算即可．（1）解：原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握相关公式与法则是解题的关键．【变式7-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）计算:(1)(2)(3)(4)【答案】(1)2(2)29(3)-2(4)-41【分析】（1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可；（2）利用乘法分配律进行计算即可；（3）先化简绝对值，然后根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；（4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则和绝对值意义，是解题的关键．【变式7-3】（2022·安徽·七年级期中）计算:(1)×(-24);(2)(-81)÷÷(-8).【答案】（1）-18;（2）2【分析】（1）根据乘法分配律，结合乘法法则进行计算即可；（2）根据乘除法的混合运算的运算顺序和乘除法的法则进行计算即可.【详解】(1)×(-24)，=×（-24）+×(-24)-×(-24)，=-12-20+14，=-18，(2)(-81)÷÷(-8)，=81×× =2.【点睛】此题主要考查了有理数的运算，关键是利用有理数的运算法则和有理数的运算顺序进行计算即可.【考点8 新定义中的有理数运算】【例8】（2022·河南驻马店·七年级期中）对于有理数a，b，定义一种新运算”⊙”，规定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|．（1）计算：2⊙（﹣3）的值；（2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简：a⊙b．【答案】（1）6；（2）﹣2b【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）根据数轴得出b＜0＜a，且|a|＜|b|，再计算即可．【详解】解：（1）根据题中的新定义得：2⊙（﹣3）＝|2＋（﹣3）|＋|2﹣（﹣3）|＝1＋5＝6；（2）从a，b在数轴上的位置可得a＋b＜0，a﹣b＞0，∴a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|＝﹣（a＋b）＋（a﹣b）＝﹣2b．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-1】（2022·山东·招远市教学研究室期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b，都有a*b＝，例如：5*3＝，由此算出2*（－4）＝_________．【答案】16【分析】根据题目定义的运算规则将式子列出计算即可．【详解】解：由题意得：2*（－4）=．故答案为：16．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，新定义的理解和运用．理解新定义是解题关键．【变式8-2】（2022·吉林长春·七年级期中）完成下列各题．（1）定义新运算：对于任意有理数、，都有．计算如下：．求的值．（2）对于有理数、，若定义运算：，求的值．【答案】（1）11 （2）7【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可；（2）在理解新定义运算：的意义和转换方法，然后类推计算即可．【详解】（1）（2）【点睛】考查有理数的运算，新定义运算的意义，理解新定义的运算方法是正确解答的关键．【变式8-3】（2022·辽宁沈阳·七年级期中）定义一种新运算：a⊗m＝a×|m|．如5⊗（﹣3）＝5×|﹣3|＝15，﹣8⊗4＝﹣8×|4|＝﹣32．（1）计算：65⊗0＝ ，﹣43⊗|﹣2|＝ ；（2）若n＜0，化简48⊗（﹣3n）；（3）若a，m，n为任意有理数，等式a⊗（m+n）＝a⊗m+a⊗n一定成立吗？请说理由．【答案】（1）0，-86．（2）-144 n；（3）不一定成立；理由见解析【分析】（1）根据新定义进行运算即可；（2）根据新定义进行运算即可；（3）根据新定义分别进行运算验证即可；【详解】解：（1）65⊗0＝65×|0|＝0，﹣43⊗|﹣2|＝﹣43×2＝﹣86，故答案为：0，-86．（2）48⊗（﹣3n）＝48×|﹣3n |，∵n＜0，∴48×|﹣3n |＝-144 n；即48⊗（﹣3n）＝-144 n；（2）不一定成立；a⊗（m+n）＝a×| m+n |，a⊗m+a⊗n＝a×| m |+a×| n |= a×（| m |+| n |），当| m+n |=| m |+| n |时，即m，n为同号或m，n中至少有一个为0时，等式a⊗（m+n）＝a⊗m+a⊗n一定成立；当| m+n |≠| m |+| n |时，即m，n为异号时，等式a⊗（m+n）＝a⊗m+a⊗n不成立；【点睛】本题考查了新定义运算，解题关键是理解题目给出的新定义运算，熟练进行转化与计算．【考点9 科学计数法】【例9】（2022·山东济南·七年级期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：21500000=．故选：A．【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．【变式9-1】（2022·北京市陈经纶中学分校七年级期中）2020年国庆档电影《我和我的家乡》上映13天票房收入达到21.94亿元，并连续10天拿下票房单日冠军．其中21.94亿元用科学记数法可表示为（ ）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】D【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】解：21.94亿元用科学记数法可表示为元，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．【变式9-2】（2022·河北·廊坊市第四中学七年级期中）整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】写出原数，数出原数中0的个数即可．【详解】=81555000000，0的个数为6．故选：B．【点睛】本题主要考查根据科学记数法写出原数，熟记科学记数法的概念是解题关键．【变式9-3】（2022·广东·广州四十七中七年级期中）过度包装既浪费资源又污染环境，据测算如果全国每年减少十分之一的包装纸用量那么能减少吨二氧化碳的排放量，把写成原数是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查科学记数法的逆过程，科学记数法的表示形式为：的形式，关键是根据n的大小向右移动小数点得到原数．【详解】∵n=6，∴小数点需要向右移动6位故3.12×106=3120000故选B．【点睛】本题考查科学记数法的逆过程，科学记数法还可表示较小的数，注意，此刻小数点的移动方向与较大数表示时移动方向刚好相反．【考点10 有理数乘方的应用】【例10】（2022·全国·七年级期中）我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的( )A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据题意得出1011=1×23+0×22+1×21+1，求出即可【详解】1011=1×23+0×22+1×21+1=11，即二进制中的1011相当于十进制中的11.故答案选C.【点睛】考查了有理数的乘方，结合计算机教学，主要考查学生的理解能力、阅读能力和计算能力．【变式10-1】（2022·广东·东莞市光大新亚外国语学校七年级期中）将一根绳子对折一次后从中间剪一刀，绳子变成3段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成5段：将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成_____段．【答案】2n+1【分析】根据分析可得：将一根绳子对折1次从中间一刀，绳子变成3段；有21+1＝3．将一根绳子对折2次，从中间一刀，绳子变成5段；有22+1＝5．依此类推，将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成（2n+1）段．【详解】解：∵对折1次从中间剪一刀，有21+1＝3对折2次，从中间剪一刀，有22+1＝5．∴对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成（2n+1）段．故答案为：（2n+1）．【点睛】本题主要考查通过观察、归纳、抽象得出规律，正确得出对折次数与绳子段数的规律是解题的关键【变式10-2】（2022·河南郑州·七年级期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第____次后可拉出64根细面条.【答案】6.【分析】根据有理数的乘方的定义解答．【详解】解：∵26=64，∴捏合到第6次后可拉出64根细面条，故答案为6．【点睛】此题考查了有理数的乘方，是基础题，理解乘方的定义是解题的关键．【变式10-3】（2022·全国·七年级期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.【答案】【分析】根据题意分析可得：每次跳动后，到原点O的距离为跳动前的一半．【详解】解：依题意可知，第n次跳动后，该质点到原点O的距离为，∴第5次跳动后，该质点到原点O的距离为.故答案为．【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．【考点11 有理数的大小比较】【例11】1．（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）下列有理数的大小关系正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据有理数大小比较的法则比较即可．【详解】解：A、，，该选项错误；B、，，该选项错误；C、，，，该选项错误；D、，，，该选项正确．故选：D．【点睛】此题考查了有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．【变式11-1】（2022·浙江·七年级专题练习）已知，那么的大小关系是（ ）A．a＞-b＞-a＞b B．-b＞a＞-a＞bC．a＞b＞-a＞-b D．a＞-b＞b＞-a【答案】D【分析】由于b＜0，a+b＞0，则a必为正数，-b为正数，并且a＞|b|，则a＞-b，-a＜b，易得a，b，-a，-b的大小关系．【详解】解：∵b＜0，a+b＞0，∴a＞0，-b＞0，a＞|b|，∴a＞-b＞0，-a＜0，-a＜b＜0，∴a，b，-a，-b的大小关系为a＞-b＞b＞-a．故选：D．【点睛】本题考查了有理数的加法法则、有理数的大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数反而越小．由加法法则确定a与b的符号及两数绝对值的大小关系是解题的关键．【变式11-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试比较a，b， －a， －b四个数的大小关系： ____________________．【答案】 -b a -a b【分析】根据相反数的意义，把a，b，-a，-b，0分别表示在数轴上，然后根据数轴表示数的方法即可得到它们之间的大小关系．【详解】解：根据表示a与-a，b与-b的数关于原点对称，把a，b，-a，-b，0分别表示在数轴上，如图所示：由数轴可得，，故答案为：-b，a，-a，b．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，先把数在数轴上表示出来，然后根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大进行大小比较，用“<”连接是本题的易错点．【变式11-3】（2022·全国·七年级专题练习）探索研究：（1）比较下列各式的大小（用“＜”、“＞”、“＝”连接）①|2|+|3| |2+3|；②|﹣2|+|﹣3| |﹣2﹣3|；③|2|+|﹣3| |2﹣3|；④|2|+|0| |2+0|．（2）a、b为有理数，通过比较、分析，归纳|a|+|b|与|a+b|的大小关系．（用“＜”、“＞”、“＝”、“≥”、“≤”连接）当a、b同号时，|a|+|b| |a+b|；当a、b异号时，|a|+|b| |a+b|；当a＝0或b＝0时，|a|+|b| |a+b|；综上，|a|+|b| |a+b|．（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2015＝|x﹣2015|时，则x的取值范围是 ．【答案】（1）①；②；③；④；（2），，，≥；（3）【分析】（1）分别计算①②③④题两边，即可比较大小；（2）根据绝对值的性质结合有理数的加法法则即可判断大小；（3）将|x|+2015化为|x|+|-2015|结合（2）中结论进行分析即可得出结论．【详解】解：（1）①|2|+|3|=5，|2+3|=5，所以|2|+|3|=2+3|；②|﹣2|+|﹣3|=5，|﹣2﹣3|=5，所以|﹣2|+|﹣3|=|﹣2﹣3|；③|2|+|﹣3|=5，|2﹣3|=1，所以|2|+|﹣3|＞|2﹣3|；④|2|+|0|=2，|2+0|=2，所以|2|+|0|=|2+0|．故答案为：①，②，③，④；（2）当a、b同号时，|a|+|b|=|a+b|；当a、b异号时，|a|+|b|＞|a+b|；当a＝0或b＝0时，|a|+|b|=|a+b|；综上，|a|+|b|≥|a+b|．故答案为：，，，≥；（3）因为|x|+2015＝|x|+|﹣2015|=|x﹣2015|，所以由（2）可知x≤0．故答案为：x≤0．【点睛】本题考查了绝对值，有理数的加法法则，有理数的大小比较等知识，熟知相关知识，学会寻找规律解题是解题关键．【考点12 阅读材料中的有理数运算】【例12】（2022·浙江·余姚市高风中学七年级期中）阅读下列材料：对于排好顺序的三个数：，，称为数列，，．将这个数列如下式进行计算：，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列，，的“理想数值”．例如：对于数列1，-2，3，因为1，1-（-2）＝3，1-（-2）＋3＝6，所以数列1，-2，3的“理想数值为6，进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得的数列都可以按照上述方法求出“理想数值”，如：数列-2，1，3的“理想数值”为0……而对于“1，-2，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，“理想数值”的最大值为6.(1)数列-5，4，-3的“理想数值”为 ；(2)将-5，4，-3这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是 ，取得“理想数值”的最大值的数列是 ；(3)将“-1，7， ”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是10，求的值，并写出取得“理想数值”最大值的数列．【答案】(1)-5(2)9；4，-5，-3(3)-3；7，-3，-1【分析】（1）根据阅读材料，按定义的方法计算，即可求得结果；（2）将已知数列按不同顺序排列后，再根据阅读材料给出的公式进行计算即可求得结果，（3）根据阅读材料的公式进行列表观察，即可求出结论（1）解：在对数列-5，4，-3运算后得到得数为-5，-5-4＝-9，-5-4-3＝-12“理想数值”为-5故答案为：-5（2）将已知数列按不同顺序排列后，可得如下结果：故数列的“理想数值”的最大值是9，取得“理想数值”的最大值的数列是4，-5，-3．故答案为：9；4，-5，-3；（3）由（2）可知，由“两负一正”组成的数列中，取得“理想数值”的最大值的数列是正数、负数、负数的排列方法，此时，“理想数值”是；在数列“-1，7， ”的任意排列中，取得“理想数值”的最大值的排列方法为：7，-1，a或7，a，-1“理想数值”为7＋1＝810（舍去）或7-a＝10解得：a＝-3此时的数列为7，-3，-1．【点睛】本题考查了数字变化类规律问题和有理数运算，解决本题的关键是理解阅读材料内容，能把材料中的定义和所学数学知识结合起来．【变式12-1】（2022·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程：解：设S＝1+2+3+…+100， ①则S＝100+99+98+…+1．②①+②，得（即左右两边分别相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，S＝．所以，1+2+3+…+100＝5050．后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：(1)计算：1+2+3+…+101；(2)猜想：1+2+3+…+n＝ ；(3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000．【答案】(1)5151(2)(3)【分析】（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值；（2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果；（3）根据（2）中结论即可得到结果．（1）解：设S＝1+2+3+…+100+101①则S＝101+100+…+3+2+1 ②①+②，2S＝102+102+102+102+102+…+102＝101×102．所以，S＝，所以，1+2+3+…+100+101＝5151；（2）解：解：设S＝1+2+3+…+n①则S＝n+…+3+2+1 ②①+②，2S＝（n+1）+…+（n+1）＝（n+1）×n．猜想：1+2+3+…+n＝，故答案为：；（3）解：1001+1002…+2000=．【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．【变式12-2】（2022·上海黄浦·期中）每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如，真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（，），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，，，所生成的自然数组为{3，1，4，2}．请根据上述阅读材料填空：(1)由假分数生成的自然数组是{_______}；(2)已知某个假分数所生成的自然数组为{2，4，1，1，3}，那么这个假分数是_______．【答案】(1)，1，(2)【分析】（1）根据生成的自然数组的定义即可求解；（2）根据生成的自然数组的定义逆推即可求解．(1)（1） ，， 所生成的自然数组为，1，，故答案为：，1，；(2)这个假分数为，理由如下：∵假分数所生成的自然数组为{2，4，1，1，3}，∴，，，，，故答案为：．【点睛】考查了有理数的加法，关键是熟练掌握生成的自然数组的定义．【变式12-3】（2022·重庆市第九十五初级中学校七年级期中）阅读理解材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：，．(1)计算：______．(2)试说明：当q能够被3整除时一定能够被6整除．【答案】(1)204；(2)见详解．【分析】（1）根据阅读理解列出所有的两位数，求和即可；（2）设p=a×10+b=10a+b，q=100c+10d+e，根据q能够被3整除，得出c+d+e能被3整除设c+d+e=3m，根据阅读理解=10a+c+10a+d+10a+e+10b+c+10b+d+10b+e=30(a+b)+6m即可．(1)解：13+14+15+53+54+55=204；故答案为204；(2)解：设p=10a+b，q=100c+10d+e，∵q能够被3整除，∴c+d+e能被3整除，设c+d+e=3m（m为整数），∴=10a+c+10a+d+10a+e+10b+c+10b+d+10b+e，=30 a+30 b+2(c+d+e)，=30(a+b)+6m，∵30是6的倍数，6m是6的倍数，∴是6的倍数．【点睛】本题考查阅读理解，两位数与三位数的表示，列代数式，被3，6整除特征，仔细阅读，读懂含义，掌握特征是解题关键．【考点13 有理数的实际应用】【例13】（2022·湖北黄石·七年级期末）地球北纬线是一条神秘而又奇特的纬线，我国有许多资源丰富的名山都分布在这条纬线附近．峨眉山与黄山植物种类的比是，已知峨眉山有植物3300种，黄山的植物种类是庐山的．那么庐山有植物多少种？【答案】2400种【分析】已知峨眉山有植物3300种，先根据峨眉山与黄山植物种类的比值计算出黄山植物种类数，再根据黄山的植物种类是庐山的，计算庐山种植物种数．【详解】解： （种） 答：庐山有植物2400种．【点睛】本题考查了比值的实际应用，认真审题并熟练掌握比值的运用是解题关键．【变式13-1】（2022·黑龙江省新华农场中学期末）下面是学校到少年宫的行走路线图(1)如果小明从公园到学校，请叙述一下他的行走路线．(2)如果他每分钟走60米，那么他从公园走到学校要走几分钟？【答案】(1)见解析(2)从公园走到学校要走17分钟．【分析】（1）学校所在的位置依次为从公园出发，先向东偏北20°的方向到电视台，再向北到书店，再向东偏北25°的方向到学校．根据图上方向判断即可；（2）先算出小明公园到学校，一共走的路程，再根据路程÷速度=时间，算出时间即可．（1）解：学校所在的位置依次为从公园出发，先向东偏北20°的方向到电视台，再由电视台向北到书店，再由书店向东偏北25°的方向到学校；（2）解：先求小明公园到学校，一共走的路程：450+260+310=1020（米），需要的时间：1020÷60=17（分钟）；答：从公园走到学校要走17分钟．【点睛】此题主要考查了用具体方向描述路线图，要考虑角度，再根据题里条件及路程、速度、时间之间关系解决问题．【变式13-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）当温度每上升2℃时，某种金属丝伸长0.003mm．反之，当温度每下降2℃时，金属丝缩短0.002mm．把17℃的这种金属丝加热到63℃，再使它冷却降温到5℃，最后的长度和原来相比是伸长了还是缩短了？伸长了或缩短了多少？【答案】最后的长度和原来相比是伸长了；伸长了0.011mm【分析】首先用把17℃的这种金属丝加热到63℃时的温度差除以2℃，再乘0.002，求出这种金属丝加热到63℃后伸长了多少；然后用它减去它降温到5℃又缩短的长度，求出最后的长度比原来伸长了多少即可．【详解】解：＝23×0.003−29×0.002＝0.011（mm）答：最后的长度比原来伸长了，且比原来伸长了0.011mm．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．【变式13-3】（2022·湖北黄石·七年级期末）一个高为，容积为的圆柱形容器里装满了水，现把高的圆柱垂直放入，使圆柱的底面与容器的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把圆柱从容器中拿出后，容器中水的高度为6厘米．求圆柱的体积．【答案】【分析】根据题意得出：因为浸入的圆柱体是垂直放入的，所以浸入的圆柱体的高度是8厘米，所以浸入部分的体积等于下降的水的体积，下降的水的体积等于高为8-6=2厘米的圆柱容器的体积；先用圆柱形容器的容积除以8求出圆柱形容器的底面积，再利用圆柱的体积公式计算出浸入的圆柱体的体积，因为浸入的8厘米是16厘米的一半，所以体积就是浸入的部分的体积的2倍，再乘2即可解答．【详解】解：，答：圆柱的体积是．【点睛】解决本题的关键是明确浸入水中的圆柱体的体积等于下降的水的体积，而下降的水的高度是2厘米，不是6厘米．【考点14 正负数的实际应用】【例14】（陕西省西安市雁塔区师范大学附属中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）为全力迎接全国第十四届运动会，西安市将继续加快交通高质量发展，不断增强市民获得感和幸福感．某检修小组从O地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单位：km）（1）求收工时距O地多远？（2）在第几次记录时距O地最远？（3）若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？【答案】（1）收工时检修小组在O地东面2千米处；（2）距O地最远的是第5次；（3）从出发到收工共耗油8升．【分析】（1）首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定相距O多少千米；（2）分别写出各次记录时距离O地的距离，然后判断即可；（3）首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以0.2升，即可求解．【详解】解：（1）−4＋7＋（−9）＋8＋6＋（−5）＋（−1）＝2（千米）．答：收工时检修小组在O地东面2千米处；（2）第一次距O地|−4|＝4千米；第二次：|−4＋7|＝3（千米）；第三次：|3−9|＝|−6|＝6（千米）；第四次：|−6＋8|＝2（千米）；第五次：|2＋6|＝8（千米）；第六次：|8−5|＝3（千米）；第七次：|3−1|＝2（千米）．所以距O地最远的是第5次；（3）从出发到收工汽车行驶的总路程为：|−4|＋|＋7|＋|−9|＋|＋8|＋|＋6|＋|−5|＋|−1|＝40（千米）；从出发到收工共耗油：40×0.2＝8（升）．答：从出发到收工共耗油8升．【点睛】本题考查了有理数的加法、正数和负数的意义及绝对值的意义，关键是熟练掌握有理数的加法法则及正负数的意义．【变式14-1】（黑龙江省哈尔滨市德强初中2022-2023学年下学期双减下的数学汇报试卷六年级（五四制））某一出租车一天下午以博物馆为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：＋9、－3、－5、＋4、－8、＋6、－3、－6、－4、＋8(1)在第______次记录时距博物馆最远．(2)将最后一名乘客送到目的地，出租车离博物馆出发点多远？在博物馆的什么方向？(3)若每千米的价格为1.9元，司机一个下午的营业额是多少？【答案】(1)九(2)出租车离博物馆出发点2km，在博物馆的西边(3)116.4元【分析】（1）分步求出记录的数字的结果，比较绝对值的大小即可求解；（2）根据（1）的结论求得最后一次记录的距离，根据正负数的意义即可求解；（3）求出记录数字的绝对值的和，根据绝对值都大于或等于3，再减去3×10，再用差乘以1.4，把它们的积加上10个8元即可求解．（1）第一次：+9第二次：+9-3=6第三次：6-5=1，第四次：1+4=5，第五次：5-8=-3，第六次：-3+6=3，第七次：3-3=0，第八次：0-6=-6，第九次：-6-4=-10，第十次：-10+8=-2．所以第九次次记录时距博物馆最远．（2）根据（1）可知第十次-10+8=-2．出租车离博物馆出发点2km，在博物馆的西边（3）（|+9|+|-3|+|-5|+|+4|+|-8|+|+6|+|-3|+|-6|+|-4|+|+8|-3×10）×1.4+8×10=36.4+80=116.4（元）．故司机一个下午的营业额是116.4元．【点睛】本题考查了有理数加法的应用，有理数乘法的应用，正负数的应用，理解题意列出算式是解题的关键．【变式14-2】（山东省烟台市牟平区2022-2023学年六年级上学期期中数学试题）某小型体育用品加工厂计划一天生产300个足球，但由于各种原因，实际每天生产足球个数与计划每天生产足球个数相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）：(1)求该厂本周实际生产足球的个数；(2)求产量最多的一天比产量最少的一天多生产足球的个数；(3)该厂实行每日计件工资制，按计划完成每生产一个足球可得6元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖2元，若未能完成任务，则少生产一个扣2.5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【答案】(1)2107个(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产足球19个(3)该厂工人这一周的工资总额是12647.5元．【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据有理数的减法，可得答案；（3）这一周的工资总额是基本工资加奖金，可得答案．（1）解：（个）．（2）解：产量最多的一天生产足球（个），产量最少的一天生产足球（个），故产量最多的一天比产量最少的一天多生产足球的个数为：（个）；（3）解：（元）．该厂工人这一周的工资总额是12647.5元．【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，解题的关键是正确理解题，掌握正负数的意义．【变式14-3】（广西桂林市灌阳县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如图，某快递员要从公司点A出发，前往B、C、D等地派发包裹，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，并且行走方向顺序为先左右再上下．如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，请根据图完成如下问题：（1）A→C（ ， ），B→D（ ， ），C→D（＋1， ）；（2）若快递员的行走路线为A→B→C→D，请计算该快递员走过的路程；（3）若快递员从A处去某P处的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），（－1，－2），请在图中标出P的位置．【答案】（1）；（2）10；（3）图见解析．【分析】（1）参考从A到B的记作方法即可得；（2）先分别求出A→B、B→C、C→D，再将相应数字的绝对值求和即可得；（3）根据题意中的规定方法和记作方法逐个路线分析即可得．【详解】（1）：先向右走3单位长度，再向上走4单位长度，则，：先向右走3单位长度，再向下走2单位长度，则，：先向右走1单位长度，再向下走2单位长度，则；（2）因为，所以快递员按所行走的路程为，，；（3）快递员到达图中的E处，快递员到达图中的F处，快递员到达图中的B处，快递员到达图中的P处，则P处的位置如图所示：【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用、绝对值运算，读懂题干中的规定和记作方法是解题关键．【考点15 有理数中的规律探究】【例15】（2022·四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程： ……（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：______________． ____________．_________________．（为正整数）（2）根据规律计算： ．【答案】（1），，；（2）．【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得；（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得．【详解】（1），，，故答案为：，，；（2）原式，，，，．【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键．【变式15-1】（2022·湖南岳阳·七年级期中）请观察下列算式，找出规律并填空．，，，．则第10个算式是________，第个算式是________．根据以上规律解读以下两题：（1）求的值；（2）若有理数，满足，试求：的值．【答案】，；（1）；（2）【分析】归纳总结得到一般性规律，写出第10个等式及第n个等式即可；（1）原式变形后，计算即可得到结果；（2）利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】解：第10个算式是，第n个算式是；（1）===；（2）∵，∴a-2=0，b-4=0，∴a=2，b=4，∴====【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式15-2】（2022·湖南长沙·七年级期中）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：(1)_________；(2)_________；(3)计算：．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据乘方的定义求解即可；（2）根据乘方的定义求解即可；（3）首先根据乘方的定义将（﹣）2022，化成（﹣）2021×（﹣），再根据乘方的定义求解即可．(1)解：（1）52×62＝ =900= ，故答案为：；(2)解：m2×n2＝(mn)2，故答案为：(mn)2；(3)解：（﹣2）2021×（﹣）2022＝（﹣2）2021×（﹣）2021×（﹣） ＝ ＝＝ ．【点睛】本题考查乘方的定义，解答本题的关键熟知乘方的定义．【变式15-3】（2022·宁夏·银川英才学校七年级期中）点（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点所表示的数分别为 （ ）A．2018，－2019 B．1009，－1010 C．－2018，2019 D．－1009，1009【答案】B【分析】先找到特殊点，根据特殊点的下标与数值的关系找到规律，数较大时，利用规律解答．【详解】解:根据题意分析可得:点A₁, A₂，A₃， .. An表示的数为-1，1，-2，2,-3，3,...依照上述规律，可得出结论:点的下标为奇数时，点在原点的左侧，且为下标加1除以2的相反数;点的下标为偶数时，点在原点的右侧且表示的数为点的下标数除以2;即:当n为奇数时，An=当n为偶数时，An=所以点A2018表示的数为: 2018÷2= 1009,A2019表示的数为:- (2019+1) ÷2=-1010故选: B【点睛】这是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,然后找到规律．【考点16 数轴与绝对值、动点的综合探究】【例16】（2022·湖南·永州市德雅学校七年级阶段练习）阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的距离可以表示为．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1)数轴上表示3与﹣2的两点之间的距离是______．(2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______．(3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数______所对应的两点之间的距离；若，则x＝______．(4)求代数式的最小值是______，并直接写出这时x的值为______．【答案】(1)5(2)(3)﹣8，或(4)2020，﹣505【分析】（1）根据题目所给两点距离公式代入数值计算即可；（2）根据题目所给两点距离公式列式即可；（3）由绝对值的定义求解即可；（4）设点A、B、C分别表示-1010，-505，1010，点D表示的数为x，则，画出数轴图，分情况讨论求解即可．（1）解：．故答案为：5；（2）根据材料可知，有理数x与有理数7所对应两点之间的距离可表示为．故答案为：；（3）根据A，B两点之间的距离可以表示为，则可以表示数轴上有理数x与有理数﹣8所对应的两点之间的距离，若，由绝对值的定义可知，或，解得或．故答案为：﹣8，或；（4）设点A、B、C分别表示-1010，-505，1010，点D表示的数为x，∴，如图1所示，当点D在A点左侧时，；图1如图2所示，当点在AB之间时（包括A，不包括B），；图2如图3所示，当点D在BC之间时（包括B且包括C）（点B、D重合时，）图3如图4所示，当点D在C点右侧时，，图4综上所述，当点D与点B重合时，即，AD+BD+CD有最小值，此时．故答案为：2020，﹣505．【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．【变式16-1】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）如图，数轴上点为原点，点所表示的数为，点所表示的数为，且、满足．(1)请直接写出点所表示的数：______，点所表示的数：______．(2)如图1，点从出发以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点运动的同时，点从出发以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，在运动过程中，数轴上动点到点、原点的距离始终相等，设点到点之间的距离为，求的值．(3)如图2，在（2）的条件下，当点、之间的距离等于时，从点出发（点所表示的数为14），以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，此时、仍按原速度、原方向运动，当与、都未相遇之前，是否存在点，使点到点、距离之和等于点到原点距离，若存在，求点所表示的数，若不存在，请说明理由．【答案】(1)点表示的数是，点表示的数是2(2)4(3)存在，或【分析】（1）根据有理数的非负性性质,得到a=4=0，b-2=0计算即可．（2）根据题意，P表示的数是2t-4，Q表示的数是t+2，M表示的数，分类讨论计算即可．（3）运用分类思想计算即可．（1）∵，∴a=4=0，b-2=0，∴点表示的数是，点表示的数是2，故答案为：-4，2．（2）设点与点的运动时间为秒，由题知：点所表示的数：， 点所表示的数：，点所表示的数：，①当点在负半轴上时，∴，，∴，②当点在正半轴上，点的左侧时，∴，，∴；③当点在正半轴上，点的右侧时，∴，，∴（舍），综上所述，的值为4．（3）∵，且，∴ （1）当点在点的左侧时，∴，，，∴，∴，∴点表示的数为：∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴所表示的数为；（2）当点在点的右侧时，∴，，∴，∴∴点表示的数为：，∴，∴，，∴，∴，∴，∴所表示的数为，综上所述，所表示的数为或．【点睛】本题考查了有理数的非负性，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，正确掌握解题的要领，清楚数轴上的两点距离计算方法是解题的关键．【变式16-2】（2022·广东·广州市越秀区育才实验学校七年级期中）已知：a是－1，且a，b，c满足，请回答问题：（1）请直接写出b，c的值：______，______；（2）在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x：①当点P在A与B之间运动时，请化简式子：；②若点Q为数轴上另一动点，点P以每秒2个单位长度从B点出发向右运动，点Q以每秒4个单位长度从C点出发向左运动，两点同时出发，当两点相遇时，点Q马上以同样速度往反方向运动，P点继续按原方向运动，在整个运动过程中，假设两点运动时间为t秒后，，求t的值．【答案】（1），；（2）①；②秒或秒或秒【分析】（1）根据平方的性质以及绝对值的性质，得到，，然后求解即可；（2）①由（1）得，可得，，，求得绝对值，化简即可；②分两种情况进行求解，未相遇时和相遇后两种情况求解．【详解】解：（1）由题意得：∵∴，，解得，故答案为，（2）①由（1）得，可得：，，②由题意可知当未相遇时，运动时间为，则，，则由题意可知，解得当相遇后，在点的左侧时设经过，相遇，，即，解得，此时设相遇后，再过秒，此时，，即解得则当相遇后，在点的右侧时，，则，解得，此时与点重合，满足综上所述，t的值为秒或秒或秒【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，涉及了绝对值、平方等性质，解题的关键是在数轴上利用数形结合的思想对情况进行分类讨论，分别求解．【变式16-3】（2022·重庆·七年级期中）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．（1）如图1，①若点P在点A左侧，化简_________；②若点P在线段上，化简_________；③若点P在点B右侧，化简_________；④由图可知，的最小值是_________．（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．【答案】（1）；②3；③；④3；（2）5；（3）汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m．【分析】（1）①根据绝对值的性质进行去绝对值即可；②根据绝对值的性质进行去绝对值即可；③根据绝对值的性质进行去绝对值即可；④结合数轴进行求解即可；（2）分别讨论当P点在2的右侧即时，当P点在-3的左侧即时，当P点在-3和1之间时即时，当P点在1和2之间时即时，的值的情况，即可得到答案；（3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s，则路程之和，然后同（2）进行讨论求解即可．【详解】解：（1）①∵P在A点左侧时，∴，∴，故答案为：；②∵P在线段AB上，∴，∴，故答案为：；③∵点P在点B右侧，∴，∴，故答案为：；④由图可知当P在 A点左侧时，由图可知当P在 AB之间时，由图可知当P在 B点右侧时，∴的最小值为3，故答案为：3；（2）当P点在2的右侧即时，∴，当P点在-3的左侧即时，∴当P点在-3和1之间时即时，∴，∴此时，当P点在1和2之间时即时，∴，∴此时，∴综上所述，的最小值为5，故答案为：5；（3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s，由题意得：路程之和当时，；当时，；当时，；∴此时；当时，；当时，；∴此时；∴s的最小值为1400，此时，∴汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m．【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． 第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣4＋7﹣9＋8＋6﹣5﹣1星期一二三四五六七增减，，理想数值-5，4，-3-5-9-12-5-5，-3，4-5-2224，-3，-547274，-5，-34969-3，-5，4-3266-3，4，-5-3-7-12-3第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣4＋7﹣9＋8＋6﹣5﹣1星期一二三四五六七增减
专题6.1 有理数十六大必考点【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc54" 【考点1 相反意义的量】 PAGEREF _Toc54 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25576" 【考点2 有理数的概念及分类】 PAGEREF _Toc25576 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc18611" 【考点3 相反数】 PAGEREF _Toc18611 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc18651" 【考点4 绝对值】 PAGEREF _Toc18651 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc25140" 【考点5 根据数轴化简绝对值】 PAGEREF _Toc25140 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc6251" 【考点6 相反数、绝对值、倒数综合】 PAGEREF _Toc6251 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc16375" 【考点7 有理数的混合运算】 PAGEREF _Toc16375 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc14316" 【考点8 新定义中的有理数运算】 PAGEREF _Toc14316 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc23724" 【考点9 科学记数法】 PAGEREF _Toc23724 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc32580" 【考点10 有理数乘方的应用】 PAGEREF _Toc32580 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc233" 【考点11 有理数的大小比较】 PAGEREF _Toc233 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc11233" 【考点12 阅读材料中的有理数运算】 PAGEREF _Toc11233 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc5808" 【考点13 有理数的实际应用】 PAGEREF _Toc5808 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc24781" 【考点14 正负数的实际应用】 PAGEREF _Toc24781 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc14795" 【考点15 有理数中的规律探究】 PAGEREF _Toc14795 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc17409" 【考点16 数轴与绝对值、动点的综合探究】 PAGEREF _Toc17409 \h 12【考点1 相反意义的量】【例1】（河北省保定市新秀学校2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作+100元，则-50元表示（ ）A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元【变式1-1】（重庆市育才中学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果水库的水位高于正常水位4m时，记作+4m，那么低于正常水位5m时，应记作( )A．5m B．-5m C．+m D．-m【变式1-2】（山西省吕梁市交城县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果电梯上升米，记作+5米，那么-3米表示 _______________________________ ．【变式1-3】（2022·全国·七年级上学期期中数学试题）文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边米处，玩具店位于书店西边米处，小明从书店沿街向东走了米，接着又向西走了米，此时小明的位置在（ ）A．文具店 B．玩具店 C．文具店西边米 D．玩具店西边米【考点2 有理数的概念及分类】【例2】（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级上学期期中数学试题）把下列有理数填入它所属于的集合圈内．，1，3.5，0，，4 【变式2-1】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级上学期期中数学试题）在，，0.25，0，1.23，1.01001000100001…，中，非负有理数的数有___________________．【变式2-2】（2022·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校期中）在下列数中：，0.23，，0，，，，，该正整数的个数为，非负数的个数为，则的值为________．【变式2-3】（2022·陕西·白水县田家炳实验中学七年级上学期期中数学试题）把下列各数填入它所属的集合内：15，，﹣5，，0，﹣5.32，，π，80%，5．(1)分数集合{ …}；(2)自然数集合{ …}；(3)非正整数集合{ …}；(4)非负有理数集合{ …}．【考点3 相反数】【例3】（2022·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）A．2与 B．（﹣1）2与1 C．﹣1与（﹣1）2 D．2与|﹣2|【变式3-1】（2022·河北保定·七年级期中）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是_____．【变式3-2】（2022·宁夏·银川市第三中学七年级期中）下列各组数中：①﹣32与32；②（﹣3）2与32；③﹣（﹣2）与﹣（+2）；④（﹣3）3与﹣33；⑤﹣23与32，其中互为相反数的共有（ ）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【变式3-3】（2022·山东威海·期中）若m，n互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的是（ ）A．﹣m和﹣n B．m+1和n+1 C．m+1和n﹣1 D．5m和5n【考点4 绝对值】【例4】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）若，且，则_______．【变式4-1】（2022·黑龙江·兰西县红星乡第一中学校期中）已知|x|＝8，|y|＝5，且xy＜0，则x+y的值等于 _____．【变式4-2】（2022·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）绝对值小于3的正整数有________．【变式4-3】（2022·辽宁本溪·七年级期中）化简：____________．【考点5 根据数轴化简绝对值】【例5】（2022·四川广安·七年级期末）有理数，，在数轴上的对应点如图所示，化简：________．【变式5-1】（2022·广东·广州市真光中学七年级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，若c是绝对值最小的数，d是最大的负整数．（1）在数轴上表示c＝ ，d＝ ．（2）若|x+3|＝2，则x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．【变式5-2】（2022·山东德州·七年级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，解答下列问题：（1）若a＝2，将a表示的点沿数轴方向平移5个单位，得到的点表示的数为 ；（2）数b与其相反数相距10个单位长度，则b表示的数是 ；（3）化简：|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|．【变式5-3】（2022·湖南·李达中学七年级期中）如图，数轴上有点a，b，c三点．(1) 0； 0(填“<”，“>”，“=”)；(2)化简(3)求的值【考点6 相反数、绝对值、倒数综合】【例6】（2022·全国·七年级课时练习）若、互为相反数，则 ______ ．【变式6-1】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校七年级期中）的绝对值加上的倒数等于______．【变式6-2】（2022·湖南·李达中学七年级期中）的倒数的绝对值是 ________【变式6-3】（2022·湖北十堰·七年级期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值为1，求3a+3b+cd+e2的值．【考点7 有理数的混合运算】【例7】（2022·黑龙江·兰西县崇文实验学校期中）计算：(1)（-7）-（-10）+（-8）-（+2）；(2)3×（-1）-4÷（-2）；(3)；(4)【变式7-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）计算，有简便方法的用简便方法．(1)(2)(3)(4)【变式7-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）计算:(1)(2)(3)(4)【变式7-3】（2022·安徽·七年级期中）计算:(1)×(-24);(2)(-81)÷÷(-8).【考点8 新定义中的有理数运算】【例8】（2022·河南驻马店·七年级期中）对于有理数a，b，定义一种新运算”⊙”，规定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|．（1）计算：2⊙（﹣3）的值；（2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简：a⊙b．【变式8-1】（2022·山东·招远市教学研究室期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b，都有a*b＝，例如：5*3＝，由此算出2*（－4）＝_________．【变式8-2】（2022·吉林长春·七年级期中）完成下列各题．（1）定义新运算：对于任意有理数、，都有．计算如下：．求的值．（2）对于有理数、，若定义运算：，求的值．【变式8-3】（2022·辽宁沈阳·七年级期中）定义一种新运算：a⊗m＝a×|m|．如5⊗（﹣3）＝5×|﹣3|＝15，﹣8⊗4＝﹣8×|4|＝﹣32．（1）计算：65⊗0＝ ，﹣43⊗|﹣2|＝ ；（2）若n＜0，化简48⊗（﹣3n）；（3）若a，m，n为任意有理数，等式a⊗（m+n）＝a⊗m+a⊗n一定成立吗？请说理由．【考点9 科学记数法】【例9】（2022·山东济南·七年级期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）A． B． C． D．【变式9-1】（2022·北京市陈经纶中学分校七年级期中）2020年国庆档电影《我和我的家乡》上映13天票房收入达到21.94亿元，并连续10天拿下票房单日冠军．其中21.94亿元用科学记数法可表示为（ ）A．元 B．元 C．元 D．元【变式9-2】（2022·河北·廊坊市第四中学七年级期中）整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为（ ）A． B． C． D．【变式9-3】（2022·广东·广州四十七中七年级期中）过度包装既浪费资源又污染环境，据测算如果全国每年减少十分之一的包装纸用量那么能减少吨二氧化碳的排放量，把写成原数是（ ）A． B． C． D．【考点10 有理数乘方的应用】【例10】（2022·全国·七年级期中）我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的( )A．9 B．10 C．11 D．12【变式10-1】（2022·广东·东莞市光大新亚外国语学校七年级期中）将一根绳子对折一次后从中间剪一刀，绳子变成3段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成5段：将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成_____段．【变式10-2】（2022·河南郑州·七年级期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第____次后可拉出64根细面条.【变式10-3】（2022·全国·七年级期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.【考点11 有理数的大小比较】【例11】（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）下列有理数的大小关系正确的是（ ）A． B． C． D．【变式11-1】（2022·浙江·七年级专题练习）已知，那么的大小关系是（ ）A．a＞-b＞-a＞b B．-b＞a＞-a＞bC．a＞b＞-a＞-b D．a＞-b＞b＞-a【变式11-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试比较a，b， －a， －b四个数的大小关系： ____________________．【变式11-3】（2022·全国·七年级专题练习）探索研究：（1）比较下列各式的大小（用“＜”、“＞”、“＝”连接）①|2|+|3| |2+3|；②|﹣2|+|﹣3| |﹣2﹣3|；③|2|+|﹣3| |2﹣3|；④|2|+|0| |2+0|．（2）a、b为有理数，通过比较、分析，归纳|a|+|b|与|a+b|的大小关系．（用“＜”、“＞”、“＝”、“≥”、“≤”连接）当a、b同号时，|a|+|b| |a+b|；当a、b异号时，|a|+|b| |a+b|；当a＝0或b＝0时，|a|+|b| |a+b|；综上，|a|+|b| |a+b|．（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2015＝|x﹣2015|时，则x的取值范围是 ．【考点12 阅读材料中的有理数运算】【例12】（2022·浙江·余姚市高风中学七年级期中）阅读下列材料：对于排好顺序的三个数：，，称为数列，，．将这个数列如下式进行计算：，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列，，的“理想数值”．例如：对于数列1，-2，3，因为1，1-（-2）＝3，1-（-2）＋3＝6，所以数列1，-2，3的“理想数值为6，进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得的数列都可以按照上述方法求出“理想数值”，如：数列-2，1，3的“理想数值”为0……而对于“1，-2，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，“理想数值”的最大值为6.(1)数列-5，4，-3的“理想数值”为 ；(2)将-5，4，-3这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是 ，取得“理想数值”的最大值的数列是 ；(3)将“-1，7， ”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是10，求的值，并写出取得“理想数值”最大值的数列．【变式12-1】（2022·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程：解：设S＝1+2+3+…+100， ①则S＝100+99+98+…+1．②①+②，得（即左右两边分别相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，S＝．所以，1+2+3+…+100＝5050．后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：(1)计算：1+2+3+…+101；(2)猜想：1+2+3+…+n＝ ；(3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000．【变式12-2】（2022·上海黄浦·期中）每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如，真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（，），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，，，所生成的自然数组为{3，1，4，2}．请根据上述阅读材料填空：(1)由假分数生成的自然数组是{_______}；(2)已知某个假分数所生成的自然数组为{2，4，1，1，3}，那么这个假分数是_______．【变式12-3】（2022·重庆市第九十五初级中学校七年级期中）阅读理解材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：，．(1)计算：______．(2)试说明：当q能够被3整除时一定能够被6整除．【考点13 有理数的实际应用】【例13】（2022·湖北黄石·七年级期末）地球北纬线是一条神秘而又奇特的纬线，我国有许多资源丰富的名山都分布在这条纬线附近．峨眉山与黄山植物种类的比是，已知峨眉山有植物3300种，黄山的植物种类是庐山的．那么庐山有植物多少种？【变式13-1】（2022·黑龙江省新华农场中学期末）下面是学校到少年宫的行走路线图(1)如果小明从公园到学校，请叙述一下他的行走路线．(2)如果他每分钟走60米，那么他从公园走到学校要走几分钟？【变式13-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）当温度每上升2℃时，某种金属丝伸长0.003mm．反之，当温度每下降2℃时，金属丝缩短0.002mm．把17℃的这种金属丝加热到63℃，再使它冷却降温到5℃，最后的长度和原来相比是伸长了还是缩短了？伸长了或缩短了多少？【变式13-3】（2022·湖北黄石·七年级期末）一个高为，容积为的圆柱形容器里装满了水，现把高的圆柱垂直放入，使圆柱的底面与容器的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把圆柱从容器中拿出后，容器中水的高度为6厘米．求圆柱的体积．【考点14 正负数的实际应用】【例14】（陕西省西安市雁塔区师范大学附属中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）为全力迎接全国第十四届运动会，西安市将继续加快交通高质量发展，不断增强市民获得感和幸福感．某检修小组从O地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单位：km）（1）求收工时距O地多远？（2）在第几次记录时距O地最远？（3）若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？【变式14-1】（黑龙江省哈尔滨市德强初中2022-2023学年下学期双减下的数学汇报试卷六年级（五四制））某一出租车一天下午以博物馆为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：＋9、－3、－5、＋4、－8、＋6、－3、－6、－4、＋8(1)在第______次记录时距博物馆最远．(2)将最后一名乘客送到目的地，出租车离博物馆出发点多远？在博物馆的什么方向？(3)若每千米的价格为1.9元，司机一个下午的营业额是多少？【变式14-2】（山东省烟台市牟平区2022-2023学年六年级上学期期中数学试题）某小型体育用品加工厂计划一天生产300个足球，但由于各种原因，实际每天生产足球个数与计划每天生产足球个数相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）：(1)求该厂本周实际生产足球的个数；(2)求产量最多的一天比产量最少的一天多生产足球的个数；(3)该厂实行每日计件工资制，按计划完成每生产一个足球可得6元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖2元，若未能完成任务，则少生产一个扣2.5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【变式14-3】（广西桂林市灌阳县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如图，某快递员要从公司点A出发，前往B、C、D等地派发包裹，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，并且行走方向顺序为先左右再上下．如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，请根据图完成如下问题：（1）A→C（ ， ），B→D（ ， ），C→D（＋1， ）；（2）若快递员的行走路线为A→B→C→D，请计算该快递员走过的路程；（3）若快递员从A处去某P处的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），（－1，－2），请在图中标出P的位置．【考点15 有理数中的规律探究】【例15】（2022·四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程： ……（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：______________． ____________．_________________．（为正整数）（2）根据规律计算： ．【变式15-1】（2022·湖南岳阳·七年级期中）请观察下列算式，找出规律并填空．，，，．则第10个算式是________，第个算式是________．根据以上规律解读以下两题：（1）求的值；（2）若有理数，满足，试求：的值．【变式15-2】（2022·湖南长沙·七年级期中）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：(1)_________；(2)_________；(3)计算：．【变式15-3】（2022·宁夏·银川英才学校七年级期中）点（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点所表示的数分别为 （ ）A．2018，－2019 B．1009，－1010 C．－2018，2019 D．－1009，1009【考点16 数轴与绝对值、动点的综合探究】【例16】（2022·湖南·永州市德雅学校七年级阶段练习）阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的距离可以表示为．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1)数轴上表示3与﹣2的两点之间的距离是______．(2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______．(3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数______所对应的两点之间的距离；若，则x＝______．(4)求代数式的最小值是______，并直接写出这时x的值为______．【变式16-1】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）如图，数轴上点为原点，点所表示的数为，点所表示的数为，且、满足．(1)请直接写出点所表示的数：______，点所表示的数：______．(2)如图1，点从出发以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点运动的同时，点从出发以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，在运动过程中，数轴上动点到点、原点的距离始终相等，设点到点之间的距离为，求的值．(3)如图2，在（2）的条件下，当点、之间的距离等于时，从点出发（点所表示的数为14），以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，此时、仍按原速度、原方向运动，当与、都未相遇之前，是否存在点，使点到点、距离之和等于点到原点距离，若存在，求点所表示的数，若不存在，请说明理由．【变式16-2】（2022·广东·广州市越秀区育才实验学校七年级期中）已知：a是－1，且a，b，c满足，请回答问题：（1）请直接写出b，c的值：______，______；（2）在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x：①当点P在A与B之间运动时，请化简式子：；②若点Q为数轴上另一动点，点P以每秒2个单位长度从B点出发向右运动，点Q以每秒4个单位长度从C点出发向左运动，两点同时出发，当两点相遇时，点Q马上以同样速度往反方向运动，P点继续按原方向运动，在整个运动过程中，假设两点运动时间为t秒后，，求t的值．【变式16-3】（2022·重庆·七年级期中）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．（1）如图1，①若点P在点A左侧，化简_________；②若点P在线段上，化简_________；③若点P在点B右侧，化简_________；④由图可知，的最小值是_________．（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．专题6.1 有理数十六大必考点【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc54" 【考点1 相反意义的量】 PAGEREF _Toc54 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25576" 【考点2 有理数的概念及分类】 PAGEREF _Toc25576 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc18611" 【考点3 相反数】 PAGEREF _Toc18611 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc18651" 【考点4 绝对值】 PAGEREF _Toc18651 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc25140" 【考点5 根据数轴化简绝对值】 PAGEREF _Toc25140 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc6251" 【考点6 相反数、绝对值、倒数综合】 PAGEREF _Toc6251 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc16375" 【考点7 有理数的混合运算】 PAGEREF _Toc16375 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc14316" 【考点8 新定义中的有理数运算】 PAGEREF _Toc14316 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc23724" 【考点9 科学计数法】 PAGEREF _Toc23724 \h 18 HYPERLINK \l "_Toc32580" 【考点10 有理数乘方的应用】 PAGEREF _Toc32580 \h 19 HYPERLINK \l "_Toc233" 【考点11 有理数的大小比较】 PAGEREF _Toc233 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc11233" 【考点12 阅读材料中的有理数运算】 PAGEREF _Toc11233 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc5808" 【考点13 有理数的实际应用】 PAGEREF _Toc5808 \h 29 HYPERLINK \l "_Toc24781" 【考点14 正负数的实际应用】 PAGEREF _Toc24781 \h 31 HYPERLINK \l "_Toc14795" 【考点15 有理数中的规律探究】 PAGEREF _Toc14795 \h 36 HYPERLINK \l "_Toc17409" 【考点16 数轴与绝对值、动点的综合探究】 PAGEREF _Toc17409 \h 40【考点1 相反意义的量】【例1】（河北省保定市新秀学校2022-2023学年七年级上学期期中考试数学试题）在我国古代著名的数学专著《九章算术》中，首次引入负数，如果收入100元记作+100元，则-50元表示（ ）A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元【答案】A【分析】根据正负数的相反意义即可得出答案．【详解】解：收入100元记作+100元，则−50元表示支出50元，故选：A．【点睛】此题考查了正负数表示一对相反意义的量，正确理解正负数的意义是解题的关键．【变式1-1】（重庆市育才中学校2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果水库的水位高于正常水位4m时，记作+4m，那么低于正常水位5m时，应记作( )A．5m B．-5m C．+m D．-m【答案】B【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此可求解．【详解】解：如果水库的水位高于正常水位4m时，记作+4m，那么低于正常水位5m时，应记作-5m．故选：B．【点睛】此题主要考查正负数的意义，关键是掌握正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．【变式1-2】（山西省吕梁市交城县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如果电梯上升米，记作+5米，那么-3米表示 _______________________________ ．【答案】电梯下降3米【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【详解】解：“正”和“负”相对，∵电梯上升5米，记作+5米，∴-3表示电梯下降3米．故答案为：电梯下降3米．【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．【变式1-3】（2022·全国·七年级上学期期中数学试题文具店、书店和玩具店依次坐落在一条东西走向的大街上，文具店在书店西边米处，玩具店位于书店西边米处，小明从书店沿街向东走了米，接着又向西走了米，此时小明的位置在（ ）A．文具店 B．玩具店 C．文具店西边米 D．玩具店西边米【答案】A【分析】根据题意以书店为原点，向东方向为正方，10米为单位长度，画出数轴，根据数轴分析即可得出答案．【详解】如图，根据题意一书店为原点，向东方向为正方，10米为单位长度，画出数轴，则文具店表式的数是，玩具店所表示的数是，依题意，故此时小明的位置在文具店故选A【点睛】本题考查了数轴的应用，具有相反意义的量，有理数的加减的应用，根据数轴分析是解题的关键．【考点2 有理数的概念及分类】【例2】（2022·湖北·公安县教学研究中心七年级上学期期中数学试题）把下列有理数填入它所属于的集合圈内．，1，3.5，0，，4 【答案】见解析【分析】利用负数、分数、正整数和非负数的定义即可区分作答．【详解】解：【点睛】本题考查了负数、分数、正整数和非负数的的定义，理解相关定义是解答本题的关键．注意：有限小数和无限循环小数都属于分数即他们都是有理数．【变式2-1】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学七年级上学期期中数学试题）在，，0.25，0，1.23，1.01001000100001…，中，非负有理数的数有___________________．【答案】，0.25，0，1.23【分析】根据有理数的定义及分类：整数与分数统称为有理数，逐个判定即可得到结论．【详解】解根据有理数的定义及分类可知，符合题意；是负数，不合题意；符合题意；0符合题意；1.23符合题意；1.01001000100001…是无理数，不合题意；是无理数，不合题意；故答案为：，，，．【点睛】本题考查有理数的定义及分类，掌握有理数的分类是解决问题的关键．【变式2-2】（2022·黑龙江·肇源县超等蒙古族乡学校期中）在下列数中：，0.23，，0，，，，，该正整数的个数为，非负数的个数为，则的值为________．【答案】【分析】根据正整数的概念知所给数中，，为正整数，得到；根据非负数的概念知所给数中0.23，，0，，为非负数，得到，代入求值即可．【详解】解：，0.23，，0，，，，，正整数有：，，，即，非负数有：中0.23，，0，，，即，，故答案为：．【点睛】本题考查代数式求值，掌握有理数概念及分类是解决问题的关键．【变式2-3】（2022·陕西·白水县田家炳实验中学七年级上学期期中数学试题）把下列各数填入它所属的集合内：15，，﹣5，，0，﹣5.32，，π，80%，5．(1)分数集合{ …}；(2)自然数集合{ …}；(3)非正整数集合{ …}；(4)非负有理数集合{ …}．【答案】(1)﹣，，﹣5.32，，80%(2)15，0，5(3)﹣5，0(4)15，，0，，80%，5【分析】根据有理数的相关定义及分类方法解答即可．（1）解：分数集合{﹣，，﹣5.32，，80%}；故答案为：﹣，，﹣5.32，，80%；（2）解：自然数集合{15，0，5}；故答案为：15，0，5；（3）解：非正整数集合{﹣5，0}；故答案为﹣5，0；（4）解：非负有理数集合{15，，0，，80%，5}；故答案为：15，，0，，80%，5．【点睛】本题考查了有理数的分类，熟记有理数的分类方法是解题的关键．【考点3 相反数】【例3】（2022·黑龙江·同江市第三中学七年级期中）下列各组数中，互为相反数的是（ ）A．2与 B．（﹣1）2与1 C．﹣1与（﹣1）2 D．2与|﹣2|【答案】C【分析】两数互为相反数，它们的和为0，可对四个选项进行一一分析，看选项中的两个数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数．【详解】解：A、2+＝； B、（﹣1）2+1＝2；C、﹣1+（﹣1）2＝0；D、2+|﹣2|＝4．故选：C．【点睛】此题考查相反数的定义及性质：互为相反数的两个数的和为0,以及有理数的加法计算法则．【变式3-1】（2022·河北保定·七年级期中）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是_____．【答案】A和C．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【详解】解：由题意得：点A表示的数为：2，点B表示的数为：1，点C表示的数为：-2，点D表示的数为：-3，则A与C互为相反数，故答案为：A和C．【点睛】本题考查了数轴和相反数的定义，知道数轴上某点表示的数，并熟练掌握相反数的定义即可．【变式3-2】（2022·宁夏·银川市第三中学七年级期中）下列各组数中：①﹣32与32；②（﹣3）2与32；③﹣（﹣2）与﹣（+2）；④（﹣3）3与﹣33；⑤﹣23与32，其中互为相反数的共有（ ）A．4对 B．3对 C．2对 D．1对【答案】C【分析】两数互为相反数，它们的和为0．本题可对各选项进行一一分析，看选项中的两个数和是否为0，如果和为0，则那组数互为相反数．【详解】解：根据相反数的定义可知：①﹣32与32；③﹣（﹣2）与﹣（+2）互为相反数．故选：C．【点睛】此题考查相反数的概念．解题的关键是掌握相反数的概念，明确两数互为相反数，它们的和为0．【变式3-3】（2022·山东威海·期中）若m，n互为相反数，则下列各组数中不是互为相反数的是（ ）A．﹣m和﹣n B．m+1和n+1 C．m+1和n﹣1 D．5m和5n【答案】B【详解】分析：直接利用互为相反数的定义分析得出答案．详解：A、∵m，n互为相反数，∴-m和-n也是互为相反数，故此选项错误；B、∵m，n互为相反数，∴m+1和n+1不是互为相反数，故此选项正确；C、∵m，n互为相反数，∴m+1和n-1是互为相反数，故此选项正确；D、∵m，n互为相反数，∴5m和5n也是互为相反数，故此选项错误；故选B．点睛：此题主要考查了互为相反数，正确把握定义是解题关键．【考点4 绝对值】【例4】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）若，且，则_______．【答案】##0.5【分析】根据绝对值的定义和确定a的值，代入a+1计算即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查绝对值的定义和代数式求值，正确求出a的值是解题的关键．【变式4-1】（2022·黑龙江·兰西县红星乡第一中学校期中）已知|x|＝8，|y|＝5，且xy＜0，则x+y的值等于 _____．【答案】±3【分析】根据绝对值的意义，求得的值，进而根据xy＜0，确定的值，进而求得代数式的值．【详解】解：∵|x|＝8，|y|＝5，∴x＝±8，y＝±5，又∵xy＜0，∴x＝8，y＝﹣5或x＝﹣8，y＝5，当x＝8，y＝﹣5时，原式＝8+（﹣5）＝3，当x＝﹣8，y＝5时，原式＝﹣8+5＝﹣3，综上，x+y的值为±3，故答案为：±3．【点睛】本题考查了绝对值的意义，代数式求值，注意分类讨论是解题的关键．【变式4-2】（2022·广东·肇庆市颂德学校七年级期中）绝对值小于3的正整数有________．【答案】1，2##2,1【分析】根据绝对值的性质，即可解答．【详解】绝对值小于3的正整数有1，2，故答案为：1，2．【点睛】本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．【变式4-3】（2022·辽宁本溪·七年级期中）化简：____________．【答案】【分析】根据绝对值的定义即可得．【详解】解：；故答案为：【点睛】此题考查了绝对值，掌握绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值是解题的关键．【考点5 根据数轴化简绝对值】【例5】（2022·四川广安·七年级期末）有理数，，在数轴上的对应点如图所示，化简：________．【答案】【分析】根据数轴得出，据此将绝对值化简即可得到答案．【详解】由图知：，，．故答案为：．【点睛】本题考查数轴的点的大小关系与绝对值的性质，属于基础题．【变式5-1】（2022·广东·广州市真光中学七年级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，若c是绝对值最小的数，d是最大的负整数．（1）在数轴上表示c＝ ，d＝ ．（2）若|x+3|＝2，则x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．【答案】（1）0，；（2）或；（3）【分析】（1）根据c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，即可得到，；（2）由，则，由此求解即可；（3）根据数轴上的位置可得，则，，，由此进行化简即可．【详解】解：（1）∵c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，∴，，故答案为：0，；（2）∵，∴，∴或；（3）根据数轴上的位置可得，∵，∴，，，∴．【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置化简绝对值，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的相关方法．【变式5-2】（2022·山东德州·七年级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图，解答下列问题：（1）若a＝2，将a表示的点沿数轴方向平移5个单位，得到的点表示的数为 ；（2）数b与其相反数相距10个单位长度，则b表示的数是 ；（3）化简：|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|．【答案】（1）7或-3；（2）-5；（3）-2c．【分析】（1）分两种情况，一种情况是向右平移，另一种是向左平移，根据数轴表示数的意义，通过计算即可解答；（2）根据题意得出方程，求出方程的解即可；（3）根据数轴可得，再根据绝对值的性质去绝对值，然后合并同类项即可．【详解】解：（1）将a表示的点沿数轴向右平移5个单位即 ，得到的点表示的数为7；将a表示的点沿数轴向左平移5个单位即 ，得到的点表示的数为-3；（2）数b的相反数为，根据数b与其相反数相距10个单位长度可得 ，解得： ；（3）由数轴可得，则|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|．【点睛】本题考查了数轴，相反数，绝对值，两点间的距离的应用，解题关键是能根据题意列出算式和方程．【变式5-3】（2022·湖南·李达中学七年级期中）如图，数轴上有点a，b，c三点．(1) 0； 0(填“<”，“>”，“=”)；(2)化简(3)求的值【答案】(1)；；(2)；(3)0．【分析】（1）由，，在数轴上的位置可得、、的大小关系，再估算，的值，得出答案；（2）结合（1），再由，，在数轴上的位置可以判断的符号，再化简绝对值即可；（3）根据，，在数轴上的位置可得、、的正负情况，再化简绝对值．（1）解：根据数轴上的点得：；，；故答案为：；；（2）解：；（3）解：，．【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，化简绝对值、解题的关键是通过数形结合来求解．【考点6 相反数、绝对值、倒数综合】【例6】（2022·全国·七年级课时练习）若、互为相反数，则 ______ ．【答案】5【分析】根据互为相反数的两个数的和为，可得的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．【详解】解：、互为相反数，，故答案为：．【点睛】本题考查了绝对值，先算的值，再算绝对值．【变式6-1】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校七年级期中）的绝对值加上的倒数等于______．【答案】##【分析】根据绝对值和倒数的概念分别求出的绝对值和倒数，再求和即可．【详解】解：∵的绝对值是，的倒数是，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了求一个数的绝对值和求一个数的倒数，正确求出的绝对值和倒数是解答本题的关键．【变式6-2】（2022·湖南·李达中学七年级期中）的倒数的绝对值是 ________【答案】2【分析】先求出的倒数，再求其绝对值即可．【详解】的倒数是-2，-2的绝对值是2，即的倒数的绝对值是2，故答案为：2．【点睛】本题考查有理数的倒数和绝对值，乘积为1的两个数互为倒数，正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数．【变式6-3】（2022·湖北十堰·七年级期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值为1，求3a+3b+cd+e2的值．【答案】2【分析】根据题意求得，，等各式的值，代入求解即可．【详解】解：∵a，b互为相反数，∴a+b=0，∵c，d互为倒数，∴cd=1，∵e的绝对值为1，∴，∴e2=1，∴【点睛】此题考查了有理数的有关概念，以及乘方和加减运算，解题的关键是根据题意求得各式子的值．【考点7 有理数的混合运算】【例7】（2022·黑龙江·兰西县崇文实验学校期中）计算：(1)（-7）-（-10）+（-8）-（+2）；(2)3×（-1）-4÷（-2）；(3)；(4)【答案】(1)-7(2)-1(3)-7(4)【分析】（1）先去括号再计算加减法，即可求解；（2）先计算乘除，再计算减法，即可求解；（3）直接运用乘法的分配律计算，即可求解；（4）按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的，即可求解．（1）解：（-7）-（-10）+（-8）-（+2）=-7+10-8-2=3-8-2=-5-2=-7（2）解：3×（-1）-4÷（-2）=-3-（-2）=-3+2=-1（3）解： =-7（4）解： 【点睛】本题考查的是有理数的运算能力，注意：要正确掌握运算顺序，在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级，后二级，再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序；并灵活选用运算律进行简化运算．【变式7-1】（2022·黑龙江·哈尔滨市第一二四中学校期中）计算，有简便方法的用简便方法．(1)(2)(3)(4)【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）先把与相加，再计算减法即可；（2）先把与相乘，再与31相乘即可；（3）按有理数运算顺序法则计算即可；（4）按有理数运算顺序法则计算即可．（1）解：原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式．【点睛】本题考查有理数的混合运算，掌握相关公式与法则是解题的关键．【变式7-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）计算:(1)(2)(3)(4)【答案】(1)2(2)29(3)-2(4)-41【分析】（1）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可；（2）利用乘法分配律进行计算即可；（3）先化简绝对值，然后根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可；（4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则和绝对值意义，是解题的关键．【变式7-3】（2022·安徽·七年级期中）计算:(1)×(-24);(2)(-81)÷÷(-8).【答案】（1）-18;（2）2【分析】（1）根据乘法分配律，结合乘法法则进行计算即可；（2）根据乘除法的混合运算的运算顺序和乘除法的法则进行计算即可.【详解】(1)×(-24)，=×（-24）+×(-24)-×(-24)，=-12-20+14，=-18，(2)(-81)÷÷(-8)，=81×× =2.【点睛】此题主要考查了有理数的运算，关键是利用有理数的运算法则和有理数的运算顺序进行计算即可.【考点8 新定义中的有理数运算】【例8】（2022·河南驻马店·七年级期中）对于有理数a，b，定义一种新运算”⊙”，规定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|．（1）计算：2⊙（﹣3）的值；（2）当a，b在数轴上的位置如图所示时，化简：a⊙b．【答案】（1）6；（2）﹣2b【分析】（1）利用题中的新定义计算即可得到结果；（2）根据数轴得出b＜0＜a，且|a|＜|b|，再计算即可．【详解】解：（1）根据题中的新定义得：2⊙（﹣3）＝|2＋（﹣3）|＋|2﹣（﹣3）|＝1＋5＝6；（2）从a，b在数轴上的位置可得a＋b＜0，a﹣b＞0，∴a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|＝﹣（a＋b）＋（a﹣b）＝﹣2b．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-1】（2022·山东·招远市教学研究室期中）现定义运算“*”，对于任意有理数a，b，都有a*b＝，例如：5*3＝，由此算出2*（－4）＝_________．【答案】16【分析】根据题目定义的运算规则将式子列出计算即可．【详解】解：由题意得：2*（－4）=．故答案为：16．【点睛】本题考查了有理数的混合运算，新定义的理解和运用．理解新定义是解题关键．【变式8-2】（2022·吉林长春·七年级期中）完成下列各题．（1）定义新运算：对于任意有理数、，都有．计算如下：．求的值．（2）对于有理数、，若定义运算：，求的值．【答案】（1）11 （2）7【分析】（1）根据新定义的运算方法进行计算即可；（2）在理解新定义运算：的意义和转换方法，然后类推计算即可．【详解】（1）（2）【点睛】考查有理数的运算，新定义运算的意义，理解新定义的运算方法是正确解答的关键．【变式8-3】（2022·辽宁沈阳·七年级期中）定义一种新运算：a⊗m＝a×|m|．如5⊗（﹣3）＝5×|﹣3|＝15，﹣8⊗4＝﹣8×|4|＝﹣32．（1）计算：65⊗0＝ ，﹣43⊗|﹣2|＝ ；（2）若n＜0，化简48⊗（﹣3n）；（3）若a，m，n为任意有理数，等式a⊗（m+n）＝a⊗m+a⊗n一定成立吗？请说理由．【答案】（1）0，-86．（2）-144 n；（3）不一定成立；理由见解析【分析】（1）根据新定义进行运算即可；（2）根据新定义进行运算即可；（3）根据新定义分别进行运算验证即可；【详解】解：（1）65⊗0＝65×|0|＝0，﹣43⊗|﹣2|＝﹣43×2＝﹣86，故答案为：0，-86．（2）48⊗（﹣3n）＝48×|﹣3n |，∵n＜0，∴48×|﹣3n |＝-144 n；即48⊗（﹣3n）＝-144 n；（2）不一定成立；a⊗（m+n）＝a×| m+n |，a⊗m+a⊗n＝a×| m |+a×| n |= a×（| m |+| n |），当| m+n |=| m |+| n |时，即m，n为同号或m，n中至少有一个为0时，等式a⊗（m+n）＝a⊗m+a⊗n一定成立；当| m+n |≠| m |+| n |时，即m，n为异号时，等式a⊗（m+n）＝a⊗m+a⊗n不成立；【点睛】本题考查了新定义运算，解题关键是理解题目给出的新定义运算，熟练进行转化与计算．【考点9 科学计数法】【例9】（2022·山东济南·七年级期中）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为a×10n，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．【详解】解：21500000=．故选：A．【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．【变式9-1】（2022·北京市陈经纶中学分校七年级期中）2020年国庆档电影《我和我的家乡》上映13天票房收入达到21.94亿元，并连续10天拿下票房单日冠军．其中21.94亿元用科学记数法可表示为（ ）A．元 B．元 C．元 D．元【答案】D【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【详解】解：21.94亿元用科学记数法可表示为元，故D正确．故选：D．【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．【变式9-2】（2022·河北·廊坊市第四中学七年级期中）整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】写出原数，数出原数中0的个数即可．【详解】=81555000000，0的个数为6．故选：B．【点睛】本题主要考查根据科学记数法写出原数，熟记科学记数法的概念是解题关键．【变式9-3】（2022·广东·广州四十七中七年级期中）过度包装既浪费资源又污染环境，据测算如果全国每年减少十分之一的包装纸用量那么能减少吨二氧化碳的排放量，把写成原数是（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查科学记数法的逆过程，科学记数法的表示形式为：的形式，关键是根据n的大小向右移动小数点得到原数．【详解】∵n=6，∴小数点需要向右移动6位故3.12×106=3120000故选B．【点睛】本题考查科学记数法的逆过程，科学记数法还可表示较小的数，注意，此刻小数点的移动方向与较大数表示时移动方向刚好相反．【考点10 有理数乘方的应用】【例10】（2022·全国·七年级期中）我们平常用的是十进制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1．如:二进制中111=1×22+1×21+1相当于十进制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相当于十进制中的27．那么二进制中的1011相当于十进制中的( )A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据题意得出1011=1×23+0×22+1×21+1，求出即可【详解】1011=1×23+0×22+1×21+1=11，即二进制中的1011相当于十进制中的11.故答案选C.【点睛】考查了有理数的乘方，结合计算机教学，主要考查学生的理解能力、阅读能力和计算能力．【变式10-1】（2022·广东·东莞市光大新亚外国语学校七年级期中）将一根绳子对折一次后从中间剪一刀，绳子变成3段；对折两次后从中间剪一刀，绳子变成5段：将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成_____段．【答案】2n+1【分析】根据分析可得：将一根绳子对折1次从中间一刀，绳子变成3段；有21+1＝3．将一根绳子对折2次，从中间一刀，绳子变成5段；有22+1＝5．依此类推，将这根绳子对折n次后从中间剪一刀，绳子变成（2n+1）段．【详解】解：∵对折1次从中间剪一刀，有21+1＝3对折2次，从中间剪一刀，有22+1＝5．∴对折n次，从中间剪一刀全部剪断后，绳子变成（2n+1）段．故答案为：（2n+1）．【点睛】本题主要考查通过观察、归纳、抽象得出规律，正确得出对折次数与绳子段数的规律是解题的关键【变式10-2】（2022·河南郑州·七年级期中）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示．这样捏合到第____次后可拉出64根细面条.【答案】6.【分析】根据有理数的乘方的定义解答．【详解】解：∵26=64，∴捏合到第6次后可拉出64根细面条，故答案为6．【点睛】此题考查了有理数的乘方，是基础题，理解乘方的定义是解题的关键．【变式10-3】（2022·全国·七年级期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.【答案】【分析】根据题意分析可得：每次跳动后，到原点O的距离为跳动前的一半．【详解】解：依题意可知，第n次跳动后，该质点到原点O的距离为，∴第5次跳动后，该质点到原点O的距离为.故答案为．【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．【考点11 有理数的大小比较】【例11】1．（2022·湖北·老河口市第四中学七年级阶段练习）下列有理数的大小关系正确的是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据有理数大小比较的法则比较即可．【详解】解：A、，，该选项错误；B、，，该选项错误；C、，，，该选项错误；D、，，，该选项正确．故选：D．【点睛】此题考查了有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．【变式11-1】（2022·浙江·七年级专题练习）已知，那么的大小关系是（ ）A．a＞-b＞-a＞b B．-b＞a＞-a＞bC．a＞b＞-a＞-b D．a＞-b＞b＞-a【答案】D【分析】由于b＜0，a+b＞0，则a必为正数，-b为正数，并且a＞|b|，则a＞-b，-a＜b，易得a，b，-a，-b的大小关系．【详解】解：∵b＜0，a+b＞0，∴a＞0，-b＞0，a＞|b|，∴a＞-b＞0，-a＜0，-a＜b＜0，∴a，b，-a，-b的大小关系为a＞-b＞b＞-a．故选：D．【点睛】本题考查了有理数的加法法则、有理数的大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数反而越小．由加法法则确定a与b的符号及两数绝对值的大小关系是解题的关键．【变式11-2】（2022·天津市红桥区教师发展中心七年级期中）有理数a，b在数轴上的位置如图所示，试比较a，b， －a， －b四个数的大小关系： ____________________．【答案】 -b a -a b【分析】根据相反数的意义，把a，b，-a，-b，0分别表示在数轴上，然后根据数轴表示数的方法即可得到它们之间的大小关系．【详解】解：根据表示a与-a，b与-b的数关于原点对称，把a，b，-a，-b，0分别表示在数轴上，如图所示：由数轴可得，，故答案为：-b，a，-a，b．【点睛】本题考查了有理数的大小比较，先把数在数轴上表示出来，然后根据数轴上右边的点表示的数比左边的点表示的数要大进行大小比较，用“<”连接是本题的易错点．【变式11-3】（2022·全国·七年级专题练习）探索研究：（1）比较下列各式的大小（用“＜”、“＞”、“＝”连接）①|2|+|3| |2+3|；②|﹣2|+|﹣3| |﹣2﹣3|；③|2|+|﹣3| |2﹣3|；④|2|+|0| |2+0|．（2）a、b为有理数，通过比较、分析，归纳|a|+|b|与|a+b|的大小关系．（用“＜”、“＞”、“＝”、“≥”、“≤”连接）当a、b同号时，|a|+|b| |a+b|；当a、b异号时，|a|+|b| |a+b|；当a＝0或b＝0时，|a|+|b| |a+b|；综上，|a|+|b| |a+b|．（3）根据（2）中得出的结论，当|x|+2015＝|x﹣2015|时，则x的取值范围是 ．【答案】（1）①；②；③；④；（2），，，≥；（3）【分析】（1）分别计算①②③④题两边，即可比较大小；（2）根据绝对值的性质结合有理数的加法法则即可判断大小；（3）将|x|+2015化为|x|+|-2015|结合（2）中结论进行分析即可得出结论．【详解】解：（1）①|2|+|3|=5，|2+3|=5，所以|2|+|3|=2+3|；②|﹣2|+|﹣3|=5，|﹣2﹣3|=5，所以|﹣2|+|﹣3|=|﹣2﹣3|；③|2|+|﹣3|=5，|2﹣3|=1，所以|2|+|﹣3|＞|2﹣3|；④|2|+|0|=2，|2+0|=2，所以|2|+|0|=|2+0|．故答案为：①，②，③，④；（2）当a、b同号时，|a|+|b|=|a+b|；当a、b异号时，|a|+|b|＞|a+b|；当a＝0或b＝0时，|a|+|b|=|a+b|；综上，|a|+|b|≥|a+b|．故答案为：，，，≥；（3）因为|x|+2015＝|x|+|﹣2015|=|x﹣2015|，所以由（2）可知x≤0．故答案为：x≤0．【点睛】本题考查了绝对值，有理数的加法法则，有理数的大小比较等知识，熟知相关知识，学会寻找规律解题是解题关键．【考点12 阅读材料中的有理数运算】【例12】（2022·浙江·余姚市高风中学七年级期中）阅读下列材料：对于排好顺序的三个数：，，称为数列，，．将这个数列如下式进行计算：，所得的三个新数中，最大的那个数称为数列，，的“理想数值”．例如：对于数列1，-2，3，因为1，1-（-2）＝3，1-（-2）＋3＝6，所以数列1，-2，3的“理想数值为6，进一步发现：当改变这三个数的顺序时，所得的数列都可以按照上述方法求出“理想数值”，如：数列-2，1，3的“理想数值”为0……而对于“1，-2，3”这三个数，按照不同的排列顺序得到的不同数列中，“理想数值”的最大值为6.(1)数列-5，4，-3的“理想数值”为 ；(2)将-5，4，-3这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是 ，取得“理想数值”的最大值的数列是 ；(3)将“-1，7， ”这三个数按照不同的顺序排列，可得到若干个不同的数列，这些数列的“理想数值”的最大值是10，求的值，并写出取得“理想数值”最大值的数列．【答案】(1)-5(2)9；4，-5，-3(3)-3；7，-3，-1【分析】（1）根据阅读材料，按定义的方法计算，即可求得结果；（2）将已知数列按不同顺序排列后，再根据阅读材料给出的公式进行计算即可求得结果，（3）根据阅读材料的公式进行列表观察，即可求出结论（1）解：在对数列-5，4，-3运算后得到得数为-5，-5-4＝-9，-5-4-3＝-12“理想数值”为-5故答案为：-5（2）将已知数列按不同顺序排列后，可得如下结果：故数列的“理想数值”的最大值是9，取得“理想数值”的最大值的数列是4，-5，-3．故答案为：9；4，-5，-3；（3）由（2）可知，由“两负一正”组成的数列中，取得“理想数值”的最大值的数列是正数、负数、负数的排列方法，此时，“理想数值”是；在数列“-1，7， ”的任意排列中，取得“理想数值”的最大值的排列方法为：7，-1，a或7，a，-1“理想数值”为7＋1＝810（舍去）或7-a＝10解得：a＝-3此时的数列为7，-3，-1．【点睛】本题考查了数字变化类规律问题和有理数运算，解决本题的关键是理解阅读材料内容，能把材料中的定义和所学数学知识结合起来．【变式12-1】（2022·山东威海·期中）【数学阅读】高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算“从1到100这100个正整数的和”．许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常繁琐，且易出错．聪明的高斯经过探索后，给出了下面的解答过程：解：设S＝1+2+3+…+100， ①则S＝100+99+98+…+1．②①+②，得（即左右两边分别相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，S＝．所以，1+2+3+…+100＝5050．后来人们将高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法”．【问题解决】利用“倒序相加法”解答下面的问题：(1)计算：1+2+3+…+101；(2)猜想：1+2+3+…+n＝ ；(3)利用（2）中的结论，计算：1001+1002+…+2000．【答案】(1)5151(2)(3)【分析】（1）根据题目中的例子可以求得所求式子的值；（2）根据题目中的例子，可以写出猜想的结果；（3）根据（2）中结论即可得到结果．（1）解：设S＝1+2+3+…+100+101①则S＝101+100+…+3+2+1 ②①+②，2S＝102+102+102+102+102+…+102＝101×102．所以，S＝，所以，1+2+3+…+100+101＝5151；（2）解：解：设S＝1+2+3+…+n①则S＝n+…+3+2+1 ②①+②，2S＝（n+1）+…+（n+1）＝（n+1）×n．猜想：1+2+3+…+n＝，故答案为：；（3）解：1001+1002…+2000=．【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值．【变式12-2】（2022·上海黄浦·期中）每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如，真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（，），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组．如：对于假分数，则，，，，所生成的自然数组为{3，1，4，2}．请根据上述阅读材料填空：(1)由假分数生成的自然数组是{_______}；(2)已知某个假分数所生成的自然数组为{2，4，1，1，3}，那么这个假分数是_______．【答案】(1)，1，(2)【分析】（1）根据生成的自然数组的定义即可求解；（2）根据生成的自然数组的定义逆推即可求解．(1)（1） ，， 所生成的自然数组为，1，，故答案为：，1，；(2)这个假分数为，理由如下：∵假分数所生成的自然数组为{2，4，1，1，3}，∴，，，，，故答案为：．【点睛】考查了有理数的加法，关键是熟练掌握生成的自然数组的定义．【变式12-3】（2022·重庆市第九十五初级中学校七年级期中）阅读理解材料一：若一个正整数的各个数位上的数字之和能被3整除，则这个数就能被3整除；反之也能够成立．材料二：两位数p和三位数q，它们各个数位上的数字都不为0，将数p任意一个数位上的数字作为一个新的两位数的十位数字，将数q的任意一个数位上的数字作为该新数的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所有新的两位数的和记为．例如：，．(1)计算：______．(2)试说明：当q能够被3整除时一定能够被6整除．【答案】(1)204；(2)见详解．【分析】（1）根据阅读理解列出所有的两位数，求和即可；（2）设p=a×10+b=10a+b，q=100c+10d+e，根据q能够被3整除，得出c+d+e能被3整除设c+d+e=3m，根据阅读理解=10a+c+10a+d+10a+e+10b+c+10b+d+10b+e=30(a+b)+6m即可．(1)解：13+14+15+53+54+55=204；故答案为204；(2)解：设p=10a+b，q=100c+10d+e，∵q能够被3整除，∴c+d+e能被3整除，设c+d+e=3m（m为整数），∴=10a+c+10a+d+10a+e+10b+c+10b+d+10b+e，=30 a+30 b+2(c+d+e)，=30(a+b)+6m，∵30是6的倍数，6m是6的倍数，∴是6的倍数．【点睛】本题考查阅读理解，两位数与三位数的表示，列代数式，被3，6整除特征，仔细阅读，读懂含义，掌握特征是解题关键．【考点13 有理数的实际应用】【例13】（2022·湖北黄石·七年级期末）地球北纬线是一条神秘而又奇特的纬线，我国有许多资源丰富的名山都分布在这条纬线附近．峨眉山与黄山植物种类的比是，已知峨眉山有植物3300种，黄山的植物种类是庐山的．那么庐山有植物多少种？【答案】2400种【分析】已知峨眉山有植物3300种，先根据峨眉山与黄山植物种类的比值计算出黄山植物种类数，再根据黄山的植物种类是庐山的，计算庐山种植物种数．【详解】解： （种） 答：庐山有植物2400种．【点睛】本题考查了比值的实际应用，认真审题并熟练掌握比值的运用是解题关键．【变式13-1】（2022·黑龙江省新华农场中学期末）下面是学校到少年宫的行走路线图(1)如果小明从公园到学校，请叙述一下他的行走路线．(2)如果他每分钟走60米，那么他从公园走到学校要走几分钟？【答案】(1)见解析(2)从公园走到学校要走17分钟．【分析】（1）学校所在的位置依次为从公园出发，先向东偏北20°的方向到电视台，再向北到书店，再向东偏北25°的方向到学校．根据图上方向判断即可；（2）先算出小明公园到学校，一共走的路程，再根据路程÷速度=时间，算出时间即可．（1）解：学校所在的位置依次为从公园出发，先向东偏北20°的方向到电视台，再由电视台向北到书店，再由书店向东偏北25°的方向到学校；（2）解：先求小明公园到学校，一共走的路程：450+260+310=1020（米），需要的时间：1020÷60=17（分钟）；答：从公园走到学校要走17分钟．【点睛】此题主要考查了用具体方向描述路线图，要考虑角度，再根据题里条件及路程、速度、时间之间关系解决问题．【变式13-2】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）当温度每上升2℃时，某种金属丝伸长0.003mm．反之，当温度每下降2℃时，金属丝缩短0.002mm．把17℃的这种金属丝加热到63℃，再使它冷却降温到5℃，最后的长度和原来相比是伸长了还是缩短了？伸长了或缩短了多少？【答案】最后的长度和原来相比是伸长了；伸长了0.011mm【分析】首先用把17℃的这种金属丝加热到63℃时的温度差除以2℃，再乘0.002，求出这种金属丝加热到63℃后伸长了多少；然后用它减去它降温到5℃又缩短的长度，求出最后的长度比原来伸长了多少即可．【详解】解：＝23×0.003−29×0.002＝0.011（mm）答：最后的长度比原来伸长了，且比原来伸长了0.011mm．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．【变式13-3】（2022·湖北黄石·七年级期末）一个高为，容积为的圆柱形容器里装满了水，现把高的圆柱垂直放入，使圆柱的底面与容器的底面接触，这时一部分水从容器中溢出，当把圆柱从容器中拿出后，容器中水的高度为6厘米．求圆柱的体积．【答案】【分析】根据题意得出：因为浸入的圆柱体是垂直放入的，所以浸入的圆柱体的高度是8厘米，所以浸入部分的体积等于下降的水的体积，下降的水的体积等于高为8-6=2厘米的圆柱容器的体积；先用圆柱形容器的容积除以8求出圆柱形容器的底面积，再利用圆柱的体积公式计算出浸入的圆柱体的体积，因为浸入的8厘米是16厘米的一半，所以体积就是浸入的部分的体积的2倍，再乘2即可解答．【详解】解：，答：圆柱的体积是．【点睛】解决本题的关键是明确浸入水中的圆柱体的体积等于下降的水的体积，而下降的水的高度是2厘米，不是6厘米．【考点14 正负数的实际应用】【例14】（陕西省西安市雁塔区师范大学附属中学2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）为全力迎接全国第十四届运动会，西安市将继续加快交通高质量发展，不断增强市民获得感和幸福感．某检修小组从O地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下，（单位：km）（1）求收工时距O地多远？（2）在第几次记录时距O地最远？（3）若每千米耗油0.2升，问共耗油多少升？【答案】（1）收工时检修小组在O地东面2千米处；（2）距O地最远的是第5次；（3）从出发到收工共耗油8升．【分析】（1）首先把题目的已知数据相加，然后根据结果的正负即可确定相距O多少千米；（2）分别写出各次记录时距离O地的距离，然后判断即可；（3）首先把所给的数据的绝对值相加，然后乘以0.2升，即可求解．【详解】解：（1）−4＋7＋（−9）＋8＋6＋（−5）＋（−1）＝2（千米）．答：收工时检修小组在O地东面2千米处；（2）第一次距O地|−4|＝4千米；第二次：|−4＋7|＝3（千米）；第三次：|3−9|＝|−6|＝6（千米）；第四次：|−6＋8|＝2（千米）；第五次：|2＋6|＝8（千米）；第六次：|8−5|＝3（千米）；第七次：|3−1|＝2（千米）．所以距O地最远的是第5次；（3）从出发到收工汽车行驶的总路程为：|−4|＋|＋7|＋|−9|＋|＋8|＋|＋6|＋|−5|＋|−1|＝40（千米）；从出发到收工共耗油：40×0.2＝8（升）．答：从出发到收工共耗油8升．【点睛】本题考查了有理数的加法、正数和负数的意义及绝对值的意义，关键是熟练掌握有理数的加法法则及正负数的意义．【变式14-1】（黑龙江省哈尔滨市德强初中2022-2023学年下学期双减下的数学汇报试卷六年级（五四制））某一出租车一天下午以博物馆为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：km）依先后次序记录如下：＋9、－3、－5、＋4、－8、＋6、－3、－6、－4、＋8(1)在第______次记录时距博物馆最远．(2)将最后一名乘客送到目的地，出租车离博物馆出发点多远？在博物馆的什么方向？(3)若每千米的价格为1.9元，司机一个下午的营业额是多少？【答案】(1)九(2)出租车离博物馆出发点2km，在博物馆的西边(3)116.4元【分析】（1）分步求出记录的数字的结果，比较绝对值的大小即可求解；（2）根据（1）的结论求得最后一次记录的距离，根据正负数的意义即可求解；（3）求出记录数字的绝对值的和，根据绝对值都大于或等于3，再减去3×10，再用差乘以1.4，把它们的积加上10个8元即可求解．（1）第一次：+9第二次：+9-3=6第三次：6-5=1，第四次：1+4=5，第五次：5-8=-3，第六次：-3+6=3，第七次：3-3=0，第八次：0-6=-6，第九次：-6-4=-10，第十次：-10+8=-2．所以第九次次记录时距博物馆最远．（2）根据（1）可知第十次-10+8=-2．出租车离博物馆出发点2km，在博物馆的西边（3）（|+9|+|-3|+|-5|+|+4|+|-8|+|+6|+|-3|+|-6|+|-4|+|+8|-3×10）×1.4+8×10=36.4+80=116.4（元）．故司机一个下午的营业额是116.4元．【点睛】本题考查了有理数加法的应用，有理数乘法的应用，正负数的应用，理解题意列出算式是解题的关键．【变式14-2】（山东省烟台市牟平区2022-2023学年六年级上学期期中数学试题）某小型体育用品加工厂计划一天生产300个足球，但由于各种原因，实际每天生产足球个数与计划每天生产足球个数相比有出入．下表是某周的生产情况（增产记为正、减产记为负）：(1)求该厂本周实际生产足球的个数；(2)求产量最多的一天比产量最少的一天多生产足球的个数；(3)该厂实行每日计件工资制，按计划完成每生产一个足球可得6元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖2元，若未能完成任务，则少生产一个扣2.5元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【答案】(1)2107个(2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产足球19个(3)该厂工人这一周的工资总额是12647.5元．【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据有理数的减法，可得答案；（3）这一周的工资总额是基本工资加奖金，可得答案．（1）解：（个）．（2）解：产量最多的一天生产足球（个），产量最少的一天生产足球（个），故产量最多的一天比产量最少的一天多生产足球的个数为：（个）；（3）解：（元）．该厂工人这一周的工资总额是12647.5元．【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，解题的关键是正确理解题，掌握正负数的意义．【变式14-3】（广西桂林市灌阳县2022-2023学年七年级上学期期中数学试题）如图，某快递员要从公司点A出发，前往B、C、D等地派发包裹，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，并且行走方向顺序为先左右再上下．如果从A到B记为：A→B（＋1，＋4），从B到A记为：B→A（－1，－4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，请根据图完成如下问题：（1）A→C（ ， ），B→D（ ， ），C→D（＋1， ）；（2）若快递员的行走路线为A→B→C→D，请计算该快递员走过的路程；（3）若快递员从A处去某P处的行走路线依次为（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），（－1，－2），请在图中标出P的位置．【答案】（1）；（2）10；（3）图见解析．【分析】（1）参考从A到B的记作方法即可得；（2）先分别求出A→B、B→C、C→D，再将相应数字的绝对值求和即可得；（3）根据题意中的规定方法和记作方法逐个路线分析即可得．【详解】（1）：先向右走3单位长度，再向上走4单位长度，则，：先向右走3单位长度，再向下走2单位长度，则，：先向右走1单位长度，再向下走2单位长度，则；（2）因为，所以快递员按所行走的路程为，，；（3）快递员到达图中的E处，快递员到达图中的F处，快递员到达图中的B处，快递员到达图中的P处，则P处的位置如图所示：【点睛】本题考查了正负数在实际生活中的应用、绝对值运算，读懂题干中的规定和记作方法是解题关键．【考点15 有理数中的规律探究】【例15】（2022·四川省内江市第六中学七年级期中）观察下面算式的演算过程： ……（1）根据上面的规律，直接写出下面结果：______________． ____________．_________________．（为正整数）（2）根据规律计算： ．【答案】（1），，；（2）．【分析】（1）根据已知算式的演算过程即可得；（2）根据（1）的结论，先将各括号进行转化，再计算有理数的乘法即可得．【详解】（1），，，故答案为：，，；（2）原式，，，，．【点睛】本题考查了有理数乘方、乘法、加法的规律型问题，根据演算过程，正确发现规律是解题关键．【变式15-1】（2022·湖南岳阳·七年级期中）请观察下列算式，找出规律并填空．，，，．则第10个算式是________，第个算式是________．根据以上规律解读以下两题：（1）求的值；（2）若有理数，满足，试求：的值．【答案】，；（1）；（2）【分析】归纳总结得到一般性规律，写出第10个等式及第n个等式即可；（1）原式变形后，计算即可得到结果；（2）利用非负数的性质求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【详解】解：第10个算式是，第n个算式是；（1）===；（2）∵，∴a-2=0，b-4=0，∴a=2，b=4，∴====【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式15-2】（2022·湖南长沙·七年级期中）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题：(1)_________；(2)_________；(3)计算：．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据乘方的定义求解即可；（2）根据乘方的定义求解即可；（3）首先根据乘方的定义将（﹣）2022，化成（﹣）2021×（﹣），再根据乘方的定义求解即可．(1)解：（1）52×62＝ =900= ，故答案为：；(2)解：m2×n2＝(mn)2，故答案为：(mn)2；(3)解：（﹣2）2021×（﹣）2022＝（﹣2）2021×（﹣）2021×（﹣） ＝ ＝＝ ．【点睛】本题考查乘方的定义，解答本题的关键熟知乘方的定义．【变式15-3】（2022·宁夏·银川英才学校七年级期中）点（为正整数）都在数轴上，点在原点的左边，且；点在点的右边，且；点在点的左边，且；点在点的右边，且；…，依照上述规律，点所表示的数分别为 （ ）A．2018，－2019 B．1009，－1010 C．－2018，2019 D．－1009，1009【答案】B【分析】先找到特殊点，根据特殊点的下标与数值的关系找到规律，数较大时，利用规律解答．【详解】解:根据题意分析可得:点A₁, A₂，A₃， .. An表示的数为-1，1，-2，2,-3，3,...依照上述规律，可得出结论:点的下标为奇数时，点在原点的左侧，且为下标加1除以2的相反数;点的下标为偶数时，点在原点的右侧且表示的数为点的下标数除以2;即:当n为奇数时，An=当n为偶数时，An=所以点A2018表示的数为: 2018÷2= 1009,A2019表示的数为:- (2019+1) ÷2=-1010故选: B【点睛】这是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现。对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的,然后找到规律．【考点16 数轴与绝对值、动点的综合探究】【例16】（2022·湖南·永州市德雅学校七年级阶段练习）阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，则A，B两点之间的距离可以表示为．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1)数轴上表示3与﹣2的两点之间的距离是______．(2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为______．(3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数______所对应的两点之间的距离；若，则x＝______．(4)求代数式的最小值是______，并直接写出这时x的值为______．【答案】(1)5(2)(3)﹣8，或(4)2020，﹣505【分析】（1）根据题目所给两点距离公式代入数值计算即可；（2）根据题目所给两点距离公式列式即可；（3）由绝对值的定义求解即可；（4）设点A、B、C分别表示-1010，-505，1010，点D表示的数为x，则，画出数轴图，分情况讨论求解即可．（1）解：．故答案为：5；（2）根据材料可知，有理数x与有理数7所对应两点之间的距离可表示为．故答案为：；（3）根据A，B两点之间的距离可以表示为，则可以表示数轴上有理数x与有理数﹣8所对应的两点之间的距离，若，由绝对值的定义可知，或，解得或．故答案为：﹣8，或；（4）设点A、B、C分别表示-1010，-505，1010，点D表示的数为x，∴，如图1所示，当点D在A点左侧时，；图1如图2所示，当点在AB之间时（包括A，不包括B），；图2如图3所示，当点D在BC之间时（包括B且包括C）（点B、D重合时，）图3如图4所示，当点D在C点右侧时，，图4综上所述，当点D与点B重合时，即，AD+BD+CD有最小值，此时．故答案为：2020，﹣505．【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离以及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点的距离公式和绝对值的几何意义，运用数形结合的思想分析问题是解题的关键．【变式16-1】（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校期中）如图，数轴上点为原点，点所表示的数为，点所表示的数为，且、满足．(1)请直接写出点所表示的数：______，点所表示的数：______．(2)如图1，点从出发以2个单位/秒的速度沿数轴向右运动，点运动的同时，点从出发以1个单位/秒的速度沿数轴向右运动，在运动过程中，数轴上动点到点、原点的距离始终相等，设点到点之间的距离为，求的值．(3)如图2，在（2）的条件下，当点、之间的距离等于时，从点出发（点所表示的数为14），以2个单位/秒的速度沿数轴向左运动，此时、仍按原速度、原方向运动，当与、都未相遇之前，是否存在点，使点到点、距离之和等于点到原点距离，若存在，求点所表示的数，若不存在，请说明理由．【答案】(1)点表示的数是，点表示的数是2(2)4(3)存在，或【分析】（1）根据有理数的非负性性质,得到a=4=0，b-2=0计算即可．（2）根据题意，P表示的数是2t-4，Q表示的数是t+2，M表示的数，分类讨论计算即可．（3）运用分类思想计算即可．（1）∵，∴a=4=0，b-2=0，∴点表示的数是，点表示的数是2，故答案为：-4，2．（2）设点与点的运动时间为秒，由题知：点所表示的数：， 点所表示的数：，点所表示的数：，①当点在负半轴上时，∴，，∴，②当点在正半轴上，点的左侧时，∴，，∴；③当点在正半轴上，点的右侧时，∴，，∴（舍），综上所述，的值为4．（3）∵，且，∴ （1）当点在点的左侧时，∴，，，∴，∴，∴点表示的数为：∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴所表示的数为；（2）当点在点的右侧时，∴，，∴，∴∴点表示的数为：，∴，∴，，∴，∴，∴，∴所表示的数为，综上所述，所表示的数为或．【点睛】本题考查了有理数的非负性，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，正确掌握解题的要领，清楚数轴上的两点距离计算方法是解题的关键．【变式16-2】（2022·广东·广州市越秀区育才实验学校七年级期中）已知：a是－1，且a，b，c满足，请回答问题：（1）请直接写出b，c的值：______，______；（2）在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x：①当点P在A与B之间运动时，请化简式子：；②若点Q为数轴上另一动点，点P以每秒2个单位长度从B点出发向右运动，点Q以每秒4个单位长度从C点出发向左运动，两点同时出发，当两点相遇时，点Q马上以同样速度往反方向运动，P点继续按原方向运动，在整个运动过程中，假设两点运动时间为t秒后，，求t的值．【答案】（1），；（2）①；②秒或秒或秒【分析】（1）根据平方的性质以及绝对值的性质，得到，，然后求解即可；（2）①由（1）得，可得，，，求得绝对值，化简即可；②分两种情况进行求解，未相遇时和相遇后两种情况求解．【详解】解：（1）由题意得：∵∴，，解得，故答案为，（2）①由（1）得，可得：，，②由题意可知当未相遇时，运动时间为，则，，则由题意可知，解得当相遇后，在点的左侧时设经过，相遇，，即，解得，此时设相遇后，再过秒，此时，，即解得则当相遇后，在点的右侧时，，则，解得，此时与点重合，满足综上所述，t的值为秒或秒或秒【点睛】此题考查了数轴上的动点问题，涉及了绝对值、平方等性质，解题的关键是在数轴上利用数形结合的思想对情况进行分类讨论，分别求解．【变式16-3】（2022·重庆·七年级期中）已知数轴上两个点之间的距离等于这两个点表示的数的差的绝对值．如图1，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为1，点C表示的数为3，则B，C之间的距离表示为：，A，C之间的距离表示为：．若点P在数轴上表示的数为x，则P，A之间的距离表示为：，P，B之间的距离表示为：．（1）如图1，①若点P在点A左侧，化简_________；②若点P在线段上，化简_________；③若点P在点B右侧，化简_________；④由图可知，的最小值是_________．（2）请按照（1）问的方法思考：的最小值是_________．（3）如图2，在一条笔直的街道上有E，F，G，H四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知E，F，G，H四个小区各有2个，2个，3个，1个小朋友在同一所小学的同一班级上学，安全起见，这8个小朋友约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的小朋友们通过分析，发现在街道上的M处汇合会使所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请直接写出汇合地点M的位置和所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值．【答案】（1）；②3；③；④3；（2）5；（3）汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m．【分析】（1）①根据绝对值的性质进行去绝对值即可；②根据绝对值的性质进行去绝对值即可；③根据绝对值的性质进行去绝对值即可；④结合数轴进行求解即可；（2）分别讨论当P点在2的右侧即时，当P点在-3的左侧即时，当P点在-3和1之间时即时，当P点在1和2之间时即时，的值的情况，即可得到答案；（3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s，则路程之和，然后同（2）进行讨论求解即可．【详解】解：（1）①∵P在A点左侧时，∴，∴，故答案为：；②∵P在线段AB上，∴，∴，故答案为：；③∵点P在点B右侧，∴，∴，故答案为：；④由图可知当P在 A点左侧时，由图可知当P在 AB之间时，由图可知当P在 B点右侧时，∴的最小值为3，故答案为：3；（2）当P点在2的右侧即时，∴，当P点在-3的左侧即时，∴当P点在-3和1之间时即时，∴，∴此时，当P点在1和2之间时即时，∴，∴此时，∴综上所述，的最小值为5，故答案为：5；（3）如图所示，E、F、G、H分别在数轴上表示-400，-200，0，200，设M表示的数为x，路程之和为s，由题意得：路程之和当时，；当时，；当时，；∴此时；当时，；当时，；∴此时；∴s的最小值为1400，此时，∴汇合点M的位置在FG之间（包括F、G），所有小朋友从小区门口到汇合地点的路程之和的最小值为1400m．【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． 第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣4＋7﹣9＋8＋6﹣5﹣1星期一二三四五六七增减，，理想数值-5，4，-3-5-9-12-5-5，-3，4-5-2224，-3，-547274，-5，-34969-3，-5，4-3266-3，4，-5-3-7-12-3第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣4＋7﹣9＋8＋6﹣5﹣1星期一二三四五六七增减
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