2022-2023学年辽宁省六校高一下学期6月联考数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年辽宁省六校高一下学期6月联考数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.sin (−60∘)的值等于
( )
A. − 32B. 32C. −12D. 12
2.在下列条件下，能确定一个平面的是
( )
A. 空间的任意三点B. 空间的任意一条直线和任意一点
C. 空间的任意两条直线D. 梯形的两条腰所在的直线
3.若z=21−i(i为虚数单位)，则
( )
A. z的虚部为iB. |z|=2C. z=−1+iD. z2为纯虚数
4.华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”所以研究函数时往往要作图，那么函数fx=sinx+cs2x的部分图象可能是
( )
A. B.
C. D.
5.已知圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为
( )
A. 3B. 3 2C. 3 3D. 3 6
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2A2=c−b2c，则△ABC是
( )
A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 等边三角形D. A=30∘的三角形
7.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则PE⋅OE的最小值为
( )
A. −1B. −2C. 1D. 2
8.已知函数f(x)= 2sin (π2x+π4)在区间t,t+1t∈R上的最大值记为g(t)，则g(t)的最小值为
( )
A. − 22B. −1C. − 2D. 0
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题错误的是
( )
A. 在复平面内，实轴上的点都表示实数
B. 若z1,z2为复数，且z12+z22=0，则z1=z2=0
C. 若z1,z2为复数，且z1z2=0，则z1=z2=0
D. 若实数a,b互为相反数，则z=a+bi在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限
10.设非零向量a,b，满足|a+b|=|a−b|=1，则下列说法正确的有
( )
A. a与b的夹角为60∘B. a2+b2=1
C. a+2b有最大值18D. a⊥b
11.在▵ABC中，记角A,B,C的对边分别为a,b,c，A=2B，a=2 3，b=3，下列结论正确的有
( )
A. csB= 33B. sinA=2 23
C. c=3D. ▵ABC的面积为 2
12.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，N在底面ABCD内(N可以在正方形ABCD边上)运动，线段MN中点的轨迹为Ω，Ω与平面ABCD、平面ADD1A1和平面CDD1C1围成的区域内有一个小球，球心为O，则( )
A. 球半径的最大值为 3−12
B. Ω被正方体ABCD−A1B1C1D1侧面截得曲线的总长为3π2
C. Ω的面积为π4
D. Ω与正方体的表面所围成的较小的几何体的体积为π6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.a=cs45∘,sin45∘,b=cs75∘,sin75∘，则a,b的夹角为 ．
14.已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，圆台的轴截面如图所示，E为AB的中点，则从点C沿圆台的侧面到点E的最短路径长是 ．
15.对于函数fx，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称fx为“倒戈函数”，设函数fx=3x+tanx−2m+1m∈R是定义在−1,1上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是 ．
16.如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD= 3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB= ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知平面直角坐标系中，向量a=(1,−2)，b=(−3,4)．
(1)若c//3a+b，且c=2，求向量c的坐标；
(2)若a与a+λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs 2x+2cs2(x−π3)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若α∈(0,π2)，f(α)=43，求cs2α．
19.(本小题12分)
《九章算术·商功》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑；在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD=1，求

(1)四面体ABCD的表面积；
(2)四面体ABCD内切球半径；
(3)四面体ABCD外接球的表面积．
20.(本小题12分)
如图，在▵ABC中，AB=4，AC=2，BC=2 3，M,N在线段AB上，且∠MCN=30∘

(1)若AM=1，求△MCN的周长；
(2)若▵MCA的面积是△MCN面积的 63,求∠MCA．
21.(本小题12分)
如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1，点E,F分别在棱AB,BC上，过点D1,E,F的截面将正方体分割成两部分．

(1)请画出经过点D1,E,F的平面与正方体表面的交线；(无需证明，保留作图痕迹)；
(2)若点E,F分别为AB,BC中点，求过点D1,E,F的截面将正方体分割的较小部分几何体的体积．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2