人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试导学案及答案

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期末复习敲重点
学习目标整合
思维导图回顾知识
重难知识易混易错
重难知识点
1.基本初等函数的导数公式
2.导数的四则运算法则
（1）；
（2）；
（3）.
3.复合函数的求导公式：设函数，均可导，则复合函数也可导，且.
4.函数的单调性与导数的关系：
一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：
在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；
在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减.
5.函数的单调性：
判断函数的单调性的步骤：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数的零点；
第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性.
6.函数的极值：
函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧.类似地，函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧.
把a叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值；b叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
7.函数极值的求法：
按如下方法求函数的极值：
解方程，当时：
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值.
8.函数最值与极值的关系：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
9.函数最值的求法：一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
易混易错例题
1.若在R上恒成立，则实数k的取值范围为( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：由题意可得：在R上恒成立，
令，则，
当时可得，
当时，当时，
因为是偶函数，关于原点对称的区间单调性相反，
所以在和单调递减，在和单调递增
所以，所以，可得，
又因为，所以，
所以实数k的取值范围为，
故选：B.
2.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则t的取值范围是( )
A.B.
C.D.
答案：C
解析：由题可得：，
因为函数有两个不同的极值点，，
所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得.
若不等式有解，
所以
因为
.
设，
，故在上单调递增，
故，
所以，
所以t的取值范围是.
故选：C.
3.已知直线是曲线在点处的切线方程，则_________.
答案：e
解析：由题设，且，则，
所以，切线方程为，即，
所以，故.
故答案为：e.
4.已知函数在上是增函数，则a的最小值是______.
答案：
解析：因为函数在上是增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，，则，
所以当时，，函数递增；当时，，函数递减，
则，故，
所以a的最小值是.
故答案为：.
5.已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，且，证明：有且仅有两个零点.（e为自然对数的底数）
解析：(1)由题意得函数的定义域为，
，当时，令，得，
所以在上单调递增；
令，得，
所以在上单调递减；
当时，因为恒成立，
所以在上单调递增；
(2)，
令，则在时恒成立，
所以在时单调递增，且，
所以有两个零点等价于有两个零点.
因为，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以.
下面证明当时，，
设，则，
令，又，
当时，恒成立，
所以单调递增，
得，
故在上单调递增，
得，即，
又因为，
所以在，上各存在一个零点，
所以时，函数有且仅有两个零点，
即当时，函数有且仅有两个零点.
核心素养对接高考
考情分析
1.在高考试题中，导数的几何意义最常见的是求切线方程和已知切线方程求参数值，导数的应用主要考查函数的单调性，极值与最值，利用导数研究函数零点，不等式的证明及不等式恒成立或有解时参数的取值范围.
2.通过导数研究函数的单调性，极值、最值问题，考查分类讨论思想，等价转化思想等.
情境真题应用
1.【2023年 新课标Ⅱ卷】已知函数在区间单调递增，则a的最小值为( )
A.B.eC.D.
答案：C
解析：因为函数，所以.因为函数在单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，易知，则在恒成立.设，则.当时，，单调递增，所以在上，，所以，即，故选C.
2.【2023年 新课标Ⅱ卷】（多选）若函数既有极大值也有极小值，则( )
A.B.C.D.
答案：BCD
解析：因为函数，所以函数的定义域为，，因为函数既有极大值也有极小值，所以关于x的方程有两个不等的正实根，，则，即，所以.故选BCD.
3.【2023年 新课标Ⅰ卷】（多选）已知函数的定义域为R，，则( )
A.B.
C.是偶函数D.为的极小值点
答案：ABC
解析：取，则，故A正确；取，则，所以，故B正确；取，则，所以，取，则，所以，所以函数为偶函数，故C正确；由于，且函数为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，所以可能为函数的极小值点，也可能为函数的极大值点，也可能不是函数的极值点，故D不正确.综上，选ABC.
4.【2023年 新课标Ⅰ卷】已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
答案：(1)当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
解析：(1)，
当时，，
所以函数在上单调递减；
当时，令，得，令，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
综上可得：当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
(2)由(1)得当时，函数的最小值为，
令，，
所以，令，得；令，得.
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的最小值为，
所以当时，成立.
5.【2023年 新课标Ⅱ卷】(1)证明：当时，；
(2)已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围.
答案：(1)证明见解析
(2)a的取值范围是
解析：(1)令，
则，
令，则，
所以即单调递减，又，
所以当时，，单调递减，
所以当时，，即.
令，
则，
所以单调递减，又，
所以当时，，即.
综上，当时，.
(2)通解：因为，
所以，所以为偶函数.
，
令，
则.
令，则.
当时，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以是的极小值点，不符合题意.
当时，取与1中的较小者，为m，
则当时，易知，
所以即在上单调递增，所以.
①当，即时，.
所以在上单调递增，所以，即.
那么在上单调递增，
由偶函数性质知在上单调递减.
故是的极小值点，不符合题意.
②当，即时，
当，即时，
因为，，
所以在上存在唯一零点，
且当时，，单调递减，
因为，所以当时，，即，
所以在上单调递减，
因为为偶函数，所以在上单调递增，
故可得是的极大值点，符合题意.
当，即时，
因为，
所以在上存在唯一零点，
且当时，，单调递减.
因为，所以当时，，即，
所以在上单调递减.
因为为偶函数，所以在上单调递增，
故可得是的极大值点，符合题意.
当时，由偶函数图象的对称性可得.
综上所述，a的取值范围是.
优解：由，得，
令，
则.
由是的极大值点，易得，，
所以，
解得或.
所以a的取值范围是.
导数的概念及运算
（1）了解导数概念及几何意义，会求切线方程.
（2）掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，会求简单函数的导数，以及简单的复合函数的导数.
导数的应用
（1）掌握导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
（2）能利用导数求函数的极大值、极小值以及最大值、最小值.
（3）能利用导数求解不等式的证明问题、恒成立问题、有解问题和函数零点问题.
原函数
导函数
αxα－1