高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.2 空间向量及其运算一课一练

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.2 空间向量及其运算一课一练，共6页。试卷主要包含了求证等内容，欢迎下载使用。


如图，在空间四边形PABC中，eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝( )
A．eq \(PC,\s\up6(→))B．eq \(PA,\s\up6(→))
C．eq \(AB,\s\up6(→))D．eq \(AC,\s\up6(→))
2．已知向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则(6a)·(eq \f(1,2)b)＝( )
A．15 B．3 C．－3 D．5
3．已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉＝eq \f(2π,3)，则空间向量a在向量e方向上投影的模为________．
4．如图，在单位正方体ABCD­A′B′C′D′中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA′,\s\up6(→))＝c，求：
(1)a·(b＋c)；
(2)(a＋b)·(b＋c).
5.如图，在空间平移△ABC到△A1B1C1，连接对应顶点．M是CC1的中点，点N在线段BA1上，且BN＝2NA1，若eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))＋z，则x＋y＋z＝( )
A．eq \f(1,2)B．－eq \f(1,2)
C．1D．－1
6．如图所示，平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，若线段AC1＝eq \r(2)，则∠DAA1＝( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．空间中有四个互异的点A、B、C、D，若(eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))－2eq \(DA,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，则△ABC的形状是____________．
8.
如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c.
(1)用向量a，b，c表示向量eq \(DE,\s\up6(→))；
(2)求证：DE⊥AB.
9.
如图，已知M，N分别为四面体ABCD的平面BCD与平面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．
10.已知MN是棱长为4的正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最大值为( )
A．4B．12
C．8D．6
11．如图1，ABCD是平行四边形，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°.如图2，把平行四边形沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求BD的长.
课时作业(十三) 空间向量及其运算
1．解析：根据向量的加法、减法法则得eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→)).
答案：A
2．解析：∵向量e1，e2，e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，∴(6a)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)b))＝3a·b＝3×(3e1＋2e2－e3)·(e1＋2e3)＝9|e1|2－6|e3|2＝3.
答案：B
3．解析：空间向量a在向量e方向上的投影为|a|cs〈a，e〉＝4×cseq \f(2π,3)＝－2，所以投影的模为2.
答案：2
4．解析：(1)在单位正方体ABCD­A′B′C′D′中，由题意|a|＝|b|＝|c|＝1，a·b＝a·c＝c·b＝0，
所以a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝0.
(2)(a＋b)·(b＋c)＝a·b＋a·c＋b2＋b·c＝1.
5．解析：由题意可知eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(MB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(MC,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)
＝－eq \f(1,2)＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)．
所以x＝eq \f(1,3)，y＝－1，z＝eq \f(1,6)，故x＋y＋z＝－eq \f(1,2).
答案：B
6．解析：∵＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋，
∴2＝eq \(AB,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))2＋2＋2eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))·＋2eq \(AD,\s\up6(→))·＝1＋1＋1＋2×1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2×1×1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋2×1×1×cs∠DAA1＝2，∴cs∠DAA1＝eq \f(1,2)，∴∠DAA1＝60°.
答案：C
7．解析：因为(eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))－2eq \(DA,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，
所以(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝0，
则|eq \(AB,\s\up6(→))|2＝|eq \(AC,\s\up6(→))|2，即|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，
所以△ABC的形状是等腰三角形．
答案：等腰三角形
8．解析：(1)根据题意，eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \(DO,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(a＋b－c).
(2)证明：根据题意，a，b，c相互之间的夹角为eq \f(π,3)，且模均为1，由(1)得eq \(DE,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b－c)·(b－a)＝eq \f(1,2)(－a2＋b2－b·c＋a·c)＝eq \f(1,2)(－1＋1－1×1×eq \f(1,2)＋1×1×eq \f(1,2))＝0，
所以DE⊥AB.
9．证明：设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，eq \(AD,\s\up6(→))＝c，
则eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)，
所以eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AM,\s\up6(→))＝－a＋eq \f(1,4)(a＋b＋c)＝－eq \f(3,4)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c，
eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AN,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝－a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c＝eq \f(3,4)eq \(BG,\s\up6(→))，
∴eq \(BN,\s\up6(→))∥eq \(BG,\s\up6(→)).
又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．
10．解析：设正方体内切球的球心为O，则|OM|＝|ON|＝2，eq \(OM,\s\up6(→))＝－eq \(ON,\s\up6(→))，
∴eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))＝(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))·(eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OP,\s\up6(→)))＝|eq \(OP,\s\up6(→))|2－eq \(OP,\s\up6(→))·(eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(ON,\s\up6(→)))＋eq \(OM,\s\up6(→))·eq \(ON,\s\up6(→))＝|eq \(OP,\s\up6(→))|2－4，
又点P在正方体表面上运动，
∴当P为正方体顶点时，|eq \(OP,\s\up6(→))|最大，且最大值为正方体体对角线的一半，|eq \(OP,\s\up6(→))|max＝eq \f(1,2)×eq \r(3×42)＝2eq \r(3)，
∴eq \(PM,\s\up6(→))·eq \(PN,\s\up6(→))的最大值为(2eq \r(3))2－4＝8.
答案：C
11．解析：∵∠ACD＝90°，四边形ABCD为平行四边形，
∴∠BAC＝90°，
∴eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＝0，eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0；
∵AB与CD成60°角，∴〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝60°或120°；
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BA,\s\up6(→))|2＋|eq \(AC,\s\up6(→))|2＋|eq \(CD,\s\up6(→))|2＋2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＋2eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))＋2eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(CD,\s\up6(→))，
3＋2|eq \(BA,\s\up6(→))|·|eq \(CD,\s\up6(→))|cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝3＋2cs〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉；
当〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝60°时，|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝4，解得|eq \(BD,\s\up6(→))|＝2；
当〈eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))〉＝120°时，|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝2，解得|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(2)；
∴BD的长为2或eq \r(2)
练基础
提能力
培优生