高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册第3章 概率本章综合与测试习题

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册第3章 概率本章综合与测试习题，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．某校期末考试数学试卷的第7、8两道单选题难度系数较小，甲同学答对第7道题的概率为eq \f(2,3)，连续答对两道题的概率为eq \f(1,2).用事件A表示“甲同学答对第7道题”，事件B表示“甲同学答对第8道题”，则P(B|A)＝( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(1,2)
C．eq \f(2,3)D．eq \f(3,4)
2．已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X－1)＝( )
A．5B．6
C．12D．18
3．设a为正实数，若随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq \f(i,2a)(i＝1，2，3)，则E(X)＝( )
A．3B．1
C．eq \f(7,3)D．eq \f(2,3)
4．已知随机变量X～N(1，σ2)，且P(X≥－1)＝0.8，则P(－1≤X≤3)的值为( )
A．0.3B．0.4
C．0.6D．0.8
5．飞沫传播是新冠肺炎传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为eq \f(2,3)，假设甲、乙两人是否被飞沫感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(11,12)
C．eq \f(3,4)D．eq \f(8,9)
6．从甲地到乙地共有A、B、C三条路线可走，走路线A堵车的概率为0.1，走路线B堵车的概率为0.3，走路线C堵车的概率为0.2，若李先生从这三条路线中等可能的任选一条开车自驾游，则不堵车的概率为( )
A．0.2B．0.398
C．0.994D．0.8
7．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行．某特许产品100件，其中一等品98件，二等品2件，从中不放回的依次抽取10件产品(每次抽取1件).甲表示事件“第一次取出的是一等品”，乙表示事件“第二次取出的是二等品”，记取出的二等品件数为X，则下列结论正确的是( )
A．甲与乙相互独立B．甲与乙互斥
C．X～B(10，0.02) D．E(X)＝0.2
8.
某校在高三第一次联考成绩公布之后，选取两个班的数学成绩作对比．已知这两个班的人数相等，数学成绩均近似服从正态分布，如图所示．其中正态密度函数φμ，σ(x)＝eq \f(1,\r(2π)σ)e－eq \f(（x－μ）2,2σ\a\vs4\al(2))中的μ是正态分布的期望值，σ是正态分布的标准差，且P(|X－μ|≤σ)≈0.6827，P(|X－μ|≤2σ)≈0.9545，P(|X－μ|≤3σ)≈0.9973，则以下结论正确的是( )
A．1班的数学平均成绩比2班的数学平均成绩要高
B．相对于2班，本次考试中1班不同层次学生的成绩差距较大
C．1班110分以上的人数约占该班总人数的4.55%
D．2班114分以上的人数与1班110分以上的人数相等
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝eq \f(1,3)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4
C．D(3X＋2)＝4D．D(X)＝eq \f(4,9)
10．投掷一枚质地均匀的股子，事件A＝“朝上一面点数为奇数”，事件B＝“朝上一面点数不超过2”，则下列叙述正确的是( )
A．事件A，B互斥B．事件A，B相互独立
C．P(A∪B)＝eq \f(2,3)D．P(B|A)＝eq \f(1,3)
11．已知样本数据x1，x2，…，x2022的均值和标准差都是10，下列判断正确的是( )
A．样本数据2x1，2x2，…，2x2022均值和标准差都等于10
B．样本数据3x1＋1，3x2＋1，…，3x2022＋1均值等于31，标准差等于30
C．样本数据0.1x1－2，0.1x2－2，…，0.1x2022－2的标准差等于0.1，方差等于1
D．样本数据0.2x1＋8，0.2x2＋8，…，0.2x2022＋8的标准差等于2，方差等于4
12．一个口袋中装有n个红球(n≥5且n∈N)和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．则下列说法正确的有( )
A．若n＝5，一次摸奖中奖的概率为eq \f(5,9)
B．若n＝5，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为eq \f(80,243)
C．记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为p.当n取10时，p最大为eq \f(1,4)
D．记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为p.当n取20时，p最大为eq \f(1,3)
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则平均得________分．
14．某n重伯努利试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数记为X，E(X)＝2，D(X)＝eq \f(8,5)，则p＝________．
15．在A，B，C三地爆发了流感，这三个地区分别有eq \f(3,50)，eq \f(3,100)，eq \f(3,40)的人患了流感．假设这三个地区人口数的比为6∶5∶4，现从这三个地区中任选一人，这个人患流感的概率是________．
16．某电视台招聘节目主持人，应聘者需进行笔试和面试两个环节，若两个环节都合格，则可以成为该电视台的节目主持人．已知甲、乙、丙三人同时参加应聘，三人笔试合格的概率依次为0.5，0.4，0.6，面试合格的概率依次为0.6，0.75，0.5，且每个人在两个环节中是否合格互不影响，甲、乙、丙也互不影响，则甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率为________；记甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的人数为X，则随机变量X的期望为________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)甲、乙两人独立地对某一目标射击，已知甲、乙能击中的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，求：
(1)甲、乙恰好有一人击中的概率；
(2)目标被击中的概率．
18．(本小题满分12分)已知甲箱的产品中有2件正品和3件次品，乙箱的产品中有3件正品和2件次品．
(1)若从甲箱中取出2件产品，求在2件产品中有一件是正品的条件下，另一件是次品的概率；
(2)若从两箱中随机选择一箱，然后从中取出1件产品，求取到一件正品的概率．
19．(本小题满分12分)为了将来更好地推进“研学游”项目，某旅游学校一位学生在某旅行社实习期间，把“研学游”项目分为科技体验游、民俗人文游、自然风光游三种类型，并在该旅行社前几年接待的全省高一学生“研学游”学校中，随机抽取了100所学校，统计如下：
该实习生在省内有意向明年组织高一“研学游”的学校中，随机抽取3所学校，并以统计的频率代替学校选择研学游类型的概率(假设每所学校在选择研学游类型时仅选择其中一类，且不受其他学校选择结果的影响).设这3所学校中，选择“科技体验游”的学校数为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
20．(本小题满分12分)某校高二年级学生参加全市的数学调研考试(满分150分)，现从甲班和乙班分别随机抽取了10位同学的考试成绩，统计得到如下表．
(1)若分别从甲、乙两班的这10位同学中各抽取一人，求被取出的两人的成绩均不低于120分的概率；
(2)考虑甲、乙两班这20位同学的成绩，从不低于130分的同学中任意抽取3人，随机变量X表示被抽取的成绩不低于140分的人数，求X的分布列和数学期望．
21．(本小题满分12分)根据某地区气象水文部门长期统计，可知该地区每年夏季有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.05.今年夏季该地区某工地有许多大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失20000元，为保护设备，有以下3种方案：
方案1：修建保护围墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水；
方案2：修建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水；
方案3：不采取措施
工地的领导该如何决策呢？
22.
(本小题满分12分)为了增强学生的防疫意识，某校组织了“增强防疫意识，强健自身体魄”知识竞赛活动．教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，从该校参赛学生中随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．
(1)求a的值，并求这100名学生竞赛成绩的样本平均值(同一组的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)若该校所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布N(μ，σ2)，用(1)中的样本平均值表示μ，其中σ估计值为15，利用所得正态分布模型解决以下问题：
①在竞赛活动中，按成绩从高到低分别设置一等奖，二等奖，三等奖和参与奖，若使该校有15.865%的学生获得一等奖，则获得一等奖的最低分数是多少？
②若该校高二年级共有1000名学生参加了竞赛，且参加竞赛的学生分数相互独立，试问这1000名学生成绩不低于94分的学生数最有可能是多少？
附：若X～N(μ，σ2)，P(μ－σ章末过关检测(三) 概率
1．解析：由题可知：甲同学答对第7道题的概率为P(A)＝eq \f(2,3)，甲同学答对第7、8两道题的概率为P(AB)＝eq \f(1,2)；
故在事件A发生的条件下，事件B发生的概率为P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）)＝eq \f(3,4).
故选D.
答案：D
2．解析：因为D(X)＝2，所以D(3X－1)＝32D(X)＝32×2＝18；
故选D.
答案：D
3．解析：因为随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq \f(i,2a)(i＝1，2，3)，
所以eq \f(1,2a)＋eq \f(2,2a)＋eq \f(3,2a)＝1，解得a＝3.
所以E(X)＝1×eq \f(1,6)＋2×eq \f(2,6)＋3×eq \f(3,6)＝eq \f(7,3).
故选C.
答案：C
4．解析：P(－1≤X≤3)＝2P(－1≤X≤1)＝2×(0.8－0.5)＝0.6，故选C.
答案：C
5．解析：记甲是通过飞沫传播被感染为事件A，乙是通过飞沫传播被感染为事件B，
P(A)＝P(B)＝eq \f(2,3)，
甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为
P＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝1－(1－eq \f(2,3))×(1－eq \f(2,3))＝eq \f(8,9).
故选D.
答案：D
6．解析：由题意可知，李先生走每条路线的概率均为eq \f(1,3)，走路线A不堵车的概率为0.9，走路线B不堵车的概率为0.7，走路线C不堵车的概率为0.8，
由全概率公式得，李先生不堵车的概率P＝eq \f(1,3)×0.9＋eq \f(1,3)×0.7＋eq \f(1,3)×0.8＝0.8.故选D.
答案：D
7．解析：由题意得：
对于选项A：事件甲发生与否影响事件乙的发生，故事件甲与乙不相互独立，故A错误；
对于选项B：事件甲事件乙可能同时发生，故B错误；
对于选项C，D：由条件知随机变量X服从超几何分布，且E(X)＝eq \f(10×2,100)＝0.2，故C错误，D正确．
故选D.
答案：D
8．解析：因为φμ，σ(x)＝的最大值为eq \f(1,\r(2π)σ)，所以1班的数学成绩X1～N(100，25)，2班数学成绩X2～N(102，36)，所以1班的数学平均成绩为100，2班的数学平均成绩为102，A错误；因为1班数学成绩的标准差为5，2班数学成绩的标准差为6，标准差越大，说明成绩分布越分散，差距越大，所以B错误；因为P(X1≥110)＝eq \f(1,2)(1－P(|X－μ|≤2σ))≈0.02275，所以C错误；
因为P(X2≥114)＝eq \f(1,2)(1－P(|X－μ|≤2σ))＝P(X1≥110)，所以D正确．故选D.
答案：D
9．解析：依题意P(X＝0)＝eq \f(1,3)，P(X＝1)＝eq \f(2,3)，
所以E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(2,3)＝eq \f(2,3)，
D(X)＝(0－eq \f(2,3))2×eq \f(1,3)＋(1－eq \f(2,3))2×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9).
所以P(X＝1)＝E(X)，
E(3X＋2)＝3×eq \f(2,3)＋2＝4，
D(3X＋2)＝32×eq \f(2,9)＝2，
所以AB选项正确，CD选项错误．
故选AB.
答案：AB
10．答案：BCD
11．解析：已知对于样本数据x1，x2，…，x2022，均值E(X)＝10，标准差eq \r(D（X）)＝10.
对于选项A，样本均值E(2X)＝2E(X)＝20，原判断错误；
对于选项B，样本均值E(3X＋1)＋1＝3E(X)＋1＝31，标准差eq \r(D（3X＋1）)＝3eq \r(D（X）)＝30，原判断正确；
对于选项C，样本标准差eq \r(D（0.1X－2）)＝0.1eq \r(D（X）)＝1，方差D(0.1X－2)＝0.12D(X)＝1，原判断错误；
对于选项D，样本标准差eq \r(D（0.2X＋8）)＝0.2eq \r(D（X）)＝2，方差D(0.2X＋8)＝0.22D(X)＝4，原判断正确．
故选BD.
答案：BD
12．解析：一次摸奖从n＋5个球中任选两个，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n＋5)) 种，
它们等可能，其中两球不同色有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) 种，一次摸奖中奖的概率p＝eq \f(10n,（n＋5）（n＋4）).
若n＝5，一次摸奖中奖的概率p＝eq \f(5,9)，三次摸奖是独立重复试验，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率是：P3(1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ·p·(1－p)2＝eq \f(80,243).
设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为
P＝P3(1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ·p·(1－p)2＝3p3－6p2＋3p，0P′＝9p2－12p＋3＝3(p－1)(3p－1)，知在(0，eq \f(1,3))上P为增函数，在(eq \f(1,3)，1)上P为减函数，当p＝eq \f(1,3)时P取得最大值．又p＝eq \f(10n,（n＋5）（n＋4）)＝eq \f(1,3)，解得n＝20.
故选ABD.
答案：ABD
13．解析：用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何分布，
于是E(X)＝n·eq \f(M,N)＝5×eq \f(3,10)＝1.5.
答案：1.5
14．解析：依题意得X服从二项分布，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(np＝2,np（1－p）＝\f(8,5)))，
解得p＝eq \f(1,5).
答案：eq \f(1,5)
15．解析：设D表示这个人患流感，A1，A2，A3表示这个人分别来自A，B，C三地，
由已知P(D|A1)＝eq \f(3,50)，P(D|A2)＝eq \f(3,100)，P(D|A3)＝eq \f(3,40)，
P(A1)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5)，P(A2)＝eq \f(5,15)＝eq \f(1,3)，P(A3)＝eq \f(4,15)，
P(D)＝P(D|A1)P(A1)＋P(D|A2)P(A2)＋P(D|A3)P(A3)
＝eq \f(3,50)×eq \f(2,5)＋eq \f(3,100)×eq \f(1,3)＋eq \f(3,40)×eq \f(4,15)＝0.054.
答案：0.054
16．解析：甲、乙、丙三人在笔试中恰有一人合格的概率P＝0.5×(1－0.4)×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.4×(1－0.6)＋(1－0.5)×(1－0.4)×0.6＝0.38，
依题意甲成为主持人的概率P1＝0.5×0.6＝eq \f(3,10)，
乙成为主持人的概率P2＝0.4×0.75＝eq \f(3,10)，
丙成为主持人的概率P3＝0.5×0.6＝eq \f(3,10)，
即甲、乙、丙三人在本次应聘中成为电视台的节目主持人的概率均为eq \f(3,10)，
所以X～B(3，eq \f(3,10))，则E(X)＝3×eq \f(3,10)＝eq \f(9,10).
答案：0.38 eq \f(9,10)
17．解析：(1)设甲、乙分别击中目标为事件A，B，易知A，B相互独立且P(A)＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(3,4)，甲、乙恰好有一人击中的概率为P(Aeq \(B,\s\up6(－))＋eq \(A,\s\up6(－))B)＝eq \f(2,3)(1－eq \f(3,4))＋(1－eq \f(2,3))eq \f(3,4)＝eq \f(5,12).
(2)目标被击中的概率为P(A＋B)＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝1－(1－eq \f(3,4))(1－eq \f(2,3))＝eq \f(11,12).
18．解析：(1)设A＝两件产品中至少有一件是正品，B＝两件产品中有一件是次品，
P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) )＝eq \f(6,7).
(2)设C＝取到甲箱，D＝取到一件正品，
P(D)＝P(C)P(D|C)＋P(eq \(C,\s\up6(－)))P(D|eq \(C,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2)×eq \f(2,5)＋eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＝eq \f(1,2).
19．解析：依题意知学校选择“科技体验游”的概率为eq \f(2,5)，选择“民俗人文游”的概率为eq \f(2,5)，选择“自然风光游”的概率为eq \f(1,5).
X可能的取值为0，1，2，3.
则P(X＝0)＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) ×(eq \f(3,5))3＝eq \f(27,125)，
P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ×(eq \f(2,5))1×(eq \f(3,5))2＝eq \f(54,125)，
P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ×(eq \f(2,5))2×(eq \f(3,5))1＝eq \f(36,125)，
P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ×(eq \f(2,5))3＝eq \f(8,125).
X的分布列为
方法一 E(X)＝0×eq \f(27,125)＋1×eq \f(54,125)＋2×eq \f(36,125)＋3×eq \f(8,125)＝eq \f(6,5).
方法二 因为随机变量X～B(3，eq \f(2,5))，所以E(X)＝np＝3×eq \f(2,5)＝eq \f(6,5).
20．解析：(1)设事件A为“被取出的两人的成绩均不低于120分”，则由表格可得，甲、乙两班中成绩不低于120分的人数分别为7和6，
∴P(A)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(7)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(10)) )＝eq \f(21,50)，
∴被取出的两人的成绩均不低于120分的概率为eq \f(21,50).
(2)易知甲、乙两班的这20位同学中，分数不低于130分的有7人，分数不低于140分的有3人，
∴随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
∴P(X＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ·C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(4,35)，
P(X＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ·C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(18,35)，
P(X＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(12,35)，
P(X＝3)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) ·C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) )＝eq \f(1,35)，
∴X的分布列为
∴X的数学期望为E(X)＝0×eq \f(4,35)＋1×eq \f(18,35)＋2×eq \f(12,35)＋3×eq \f(1,35)＝eq \f(45,35)＝eq \f(9,7).
21．解析：用X1，X2，X3分别表示方案1，2，3的损失，
第一方案，建保护墙，建设费为3000元，但围墙只能防小洪水，
平均损失E(X1)＝3000×0.95＋63000×0.05＝6000.
第二方案：建保护大坝，建设费为7000元，能够防大洪水，
E(X2)＝7000.
第三方案：不采取措施．
平均损失E(X3)＝60000×0.05＋20000×0.25＝8000.
因为E(X3)>E(X2)>E(X1)，
综上，采取方案一较好．
22．解析：(1)由题意知：(a＋0.012＋0.018＋0.034＋0.016＋0.008＋a)×10＝1，解得a＝0.006，
样本平均值为0.006×10×35＋0.012×10×45＋0.018×10×55＋0.034×10×65＋0.016×10×75＋0.008×10×85＋0.006×10×95＝64.
(2)①由(1)知：μ＝64，则P(49＜X≤79)＝0.6827，P(X≥79)＝eq \f(1－0.6827,2)＝0.15865，
要使该校有15.865%的学生获得一等奖，则获得一等奖的最低分数是79分．
②易得P(64－2×15＜X≤64＋2×15)＝0.9545，即P(34＜X≤94)＝0.9545，则P(X≥94)＝eq \f(1－0.9545,2)＝0.02275，
则成绩不低于94分的学生数为0.02275×1000＝22.75≈23人，则成绩不低于94分的学生数最有可能是23人研学游类型
科技体验游
民俗人文游
自然风光游
学校数
40
40
20
班级
考试成绩(单位：分)
甲班
106，112，117，120，125，129，129，135，141，146
乙班
103，114，116，119，124，128，131，134，139，143
X
0
1
2
3
P
eq \f(27,125)
eq \f(54,125)
eq \f(36,125)
eq \f(8,125)
X
0
1
2
3
P
eq \f(4,35)
eq \f(18,35)
eq \f(12,35)
eq \f(1,35)
无大洪水
有大洪水
损失
3000
63000
概率
0.95
0.05
无洪水
有小洪水
有大洪水
损失
0
20000
60000
概率
0.7
0.25
0.05