高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列课时作业

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列课时作业，共5页。

1．若数列{an}的通项公式an＝3－2n，则此数列( )
A．是公差为－2的等差数列
B．是公差为2的等差数列
C．是公差为3的等差数列
D．是首项为3的等差数列
2．[2022·湖南株洲长鸿实验学校高二月考]已知等差数列{an}中，a2＋a8＝18，则a5＝( )
A．7B．11
C．9D．18
3．在等差数列{an}中，已知a7＝19，2a2＋a5＝21，则{an}的公差d＝( )
A．4B．3
C．2D．1
4．已知{an}是等差数列，且a3－1是a2和a5的等差中项，则{an}的公差为( )
A．－2B．－1
C．1D．2
5．在等差数列{an}中，a1＋a3＋a5＋a7＝120，则a2＋a4＋a6的值为( )
A．30B．60
C．90D．120
6．[2022·湖南雅礼中学高二期中](多选)下列数列中，是等差数列的是( )
A．1，4，7，10B．lg2，lg4，lg8，lg16
C．25，24，23，22D．10，8，6，4，2
7．在等差数列{an}中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1＋a8＝________．
8．[2022·湖南永州四中高二月考]在等差数列{an}中，a3＝5，a8＝10.则a10＝________．
9．已知等差数列{an}中，a11＝20，a22＝86.
(1)求数列{an}的公差d和a1；
(2)满足10[提能力]
10．(多选)下列说法错误的有( )
A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列
B．若a，b，c成等差数列，则lg2a，lg2b，lg2c成等差数列
C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列
D．若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c成等差数列
11．已知数列{an}满足a1＝eq \f(1,2)，an＋1＝eq \f(an,an＋1)，则a2023＝( )
A．eq \f(1,2021)B．eq \f(1,2022)
C．eq \f(1,2023)D．eq \f(1,2024)
12．在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝16，a14＋a15＋a16≥53，则d的取值范围为________．
13．[2022·湖南邵东一中高二期中]数列{an}中，a1＝1，a2＝eq \f(2,3)，且n≥2时，有eq \f(1,an－1)＋eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2,an)，则an＝________．
14．数列{an}满足an＝3an－1＋3n－1(n∈N＋，n≥2)，已知a3＝95.
(1)求a1，a2；
(2)若bn＝eq \f(1,3n)(an＋t)(n∈N＋)，则是否存在实数t，使{bn}为等差数列？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
[培优生]
15．[2022·湖南长郡中学模拟](多选)在数列{an}中，若a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) ＝p(n≥2，n∈N＋，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是( )
A．若{an}是等差数列，则{a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) }是等方差数列
B．{(－1)n}是等方差数列
C．若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N＋，k为常数)也是等方差数列
D．若{an}是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列
课时作业(三) 等差数列及其通项公式
1．解析：∵an＋1－an＝3－2(n＋1)－(3－2n)＝－2，
a1＝3－2×1＝1，
∴{an}是公差为－2，首项为1的等差数列．
答案：A
2．解析：设等差数列的性质可知：a2＋a8＝2a5＝18，所以a5＝9.
答案：C
3．解析：由题可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋6d＝19，,3a1＋6d＝21，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝1，,d＝3.))
答案：B
4．解析：设等差数列{an}的公差为d.由已知条件，得a2＋a5＝2(a3－1)
即a1＋d＋(a1＋4d)＝2(a1＋2d－1)，解得d＝－2.
答案：A
5．解析：由等差数列的性质可知a1＋a3＋a5＋a7＝4a4＝120所以a4＝30，所以a2＋a4＋a6＝3a4＝90.
答案：C
6．解析：根据等差数列的定义，可得：
A中，满足4－1＝7－4＝10－7＝3(常数)，所以是等差数列；
B中，满足lg4－lg2＝lg8－lg4＝lg16－lg8＝lg2(常数)，所以是等差数列；
C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列；
D中，满足8－10＝6－8＝4－6＝2－4＝－2(常数)，所以是等差数列．
答案：ABD
7．解析：由题意知a3＋a6＝10，故a1＋a8＝a3＋a6＝10.
答案：10
8．解析：由条件，得等差数列{an}的公差d＝eq \f(a8－a3,8－3)＝1，
所以a10＝a8＋2d＝10＋2＝12.
答案：12
9．解析：(1)设首项为a1，公差为d，由已知得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＋10d＝20，,a1＋21d＝86.))
解方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－40，,d＝6.))
(2)由(1)知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－40，,d＝6.))
∴an＝a1＋(n－1)d＝－40＋(n－1)·6＝6n－46，
由10∴10<6n－46<150.解不等式，得eq \f(28,3)取整数共有23项．
10．解析：A.1，2，3显然成等差数列，但是1，4，9显然不成等差数列，因此本说法不正确；
B．0，0，0显然成等差数列，但是lg2a，lg2b，lg2c这三个式子没有意义，因此本说法不正确；
C．因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，因为2(b＋2)－(a＋2＋c＋2)＝2b－a－c＝0，
所以a＋2，b＋2，c＋2成等差数列，因此本说法正确；
D．1，2，3显然成等差数列，但是2a＝2，2b＝4，2c＝8，显然2a，2b，2c不成等差数列，因此本说法不正确．
答案：ABD
11．解析：因为an＋1＝eq \f(an,an＋1)，则eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝1，又a1＝eq \f(1,2)，则eq \f(1,a1)＝2，
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为2，公差为1的等差数列，
所以eq \f(1,an)＝n＋1，所以an＝eq \f(1,n＋1)，
则a2023＝eq \f(1,2023＋1)＝eq \f(1,2024).
答案：D
12．解析：因为a1＋a2＋a3＝3a2，a14＋a15＋a16＝3a15，所以a2＝eq \f(16,3)，a15≥eq \f(53,3)，
所以d＝eq \f(a15－a2,15－2)＝eq \f(a15－a2,13)≥eq \f(37,39).
答案：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(37,39)，＋∞))
13．解析：因为n≥2时，有eq \f(1,an－1)＋eq \f(1,an＋1)＝eq \f(2,an)，即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)，故数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)－\f(1,an－1)))是常数列，因为a1＝1，a2＝eq \f(2,3)，所以eq \f(1,a2)－eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)，因此eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝eq \f(1,2)(n≥2)，所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以1为首项，eq \f(1,2)为公差的等差数列，所以eq \f(1,an)＝1＋eq \f(1,2)(n－1)＝eq \f(n＋1,2)，因此an＝eq \f(2,n＋1).
答案：eq \f(2,n＋1)
14．解析：(1)当n＝2时，a2＝3a1＋32－1.
当n＝3时，a3＝3a2＋33－1＝95，
∴a2＝23.
∴23＝3a1＋8，解得a1＝5.
(2)当n≥2时，bn－bn－1＝eq \f(1,3n)(an＋t)－eq \f(1,3n－1)(an－1＋t)
＝eq \f(1,3n)(an＋t－3an－1－3t)＝eq \f(1,3n)(3n－1－2t)
＝1－eq \f(1＋2t,3n).
要使{bn}为等差数列，则1－eq \f(1＋2t,3n)为常数，即t＝－eq \f(1,2)，
即存在t＝－eq \f(1,2)，使{bn}为等差数列．
15．解析：对于A，若{an}是等差数列，如an＝n，则a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝n2,
则(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) )2－(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) )2＝n4－(n－1)4＝(2n2－2n＋1)(2n－1)不是常数，故{an}不是等方差数列，故A错误；
对于B，数列{(－1)n}中，a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) ＝[(－1)n]2－[(－1)n－1]2＝0是常数，
∴{(－1)n}是等方差数列，故B正确；
对于C，数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，…
数列{akn}中的项列举出来是，ak，a2k，a3k，…，
∵(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k＋1)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k)) )＝(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k＋2)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k＋1)) )＝(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k＋3)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k＋2)) )＝…＝(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2k)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2k－1)) )＝p，
将这k个式子累加得(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k＋1)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k)) )＋(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k＋2)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k＋1)) )＋(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k＋3)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k＋2)) )＋…＋(a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2k)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2k－1)) )＝kp，
∴a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2k)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k)) ＝kp，∴a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(k(n＋1))) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(kn)) ＝kp，∴{akn}(k∈N＋，k为常数)是等方差数列，故C正确；
对于D，∵{an}是等差数列，∴an－an－1＝d，则设an＝dn＋m，
∵{an}是等方差数列，∴a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) ＝(an＋an－1)d＝(dn＋m＋dn＋m－d)d＝2d2n＋(2m－d)d是常数，
故2d2＝0，故d＝0，所以(2m－d)d＝0，a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)) 是常数，故D正确．
答案：BCD