高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第1章 数列1.3 等比数列同步练习题

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第1章 数列1.3 等比数列同步练习题，共6页。
1．在等比数列{an}中，首项a1an，则公比q应满足( )
A．q>1B．00，a2017>0，又{an}为等比数列，
所以an>0且a1·a2021＝a2·a2020＝…＝a5·a2017＝…＝(a1011)2＝2，有a1011＝，
所以lg2a1＋lg2a2＋…＋lg2a2021＝lg2(a1·a2·…·a2020·a2021)
＝lg2eq \f(（a1011）2×1011,a1011)＝＝1011－eq \f(1,2)＝eq \f(2021,2).
答案：C
11．解析：根据题意，分析选项．对于B，若K6＝K7，则a7＝eq \f(K7,K6)＝1，B正确；对于A，由K51，则q＝eq \f(a7,a6)∈(0，1)，故A正确；对于C，由{an}是各项为正数的等比数列且q∈(0，1)可得数列单调递减，则有K90，∴a8a15＝2.
答案：2
13．解析：由eq \f(1,an＋1)－eq \f(3,an)＝0可得an＋1＝eq \f(1,3)an，
故{an}是公比为eq \f(1,3)的等比数列，
由数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn＋1)))为“梦想数列”，得{bn＋1}是以b1＋1＝3为首项，3为公比的等比数列，
所以bn＋1＝3×3n－1＝3n，则bn＝3n－1.
答案：3n－1
14．解析：(1)由题设Sn＝λan＋1－1，λ≠0.
当n＝1时，S1＝λa2－1，由a1＝2，得a2＝eq \f(3,λ)，
当n＝2时，S2＝λa3－1，即a1＋a2＝λa3－1，得a3＝eq \f(3＋3λ,λ2).
(2)假设{an}为等比数列，则aeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))＝a1a3，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,λ)))eq \s\up12(2)＝2×eq \f(3＋3λ,λ2)，解得λ＝eq \f(1,2)；
下面证明λ＝eq \f(1,2)时，{an}为等比数列：
由Sn＝eq \f(1,2)an＋1－1知，当n≥2时，Sn－1＝eq \f(1,2)an－1，
两式相减得an＝eq \f(1,2)an＋1－eq \f(1,2)an，
即an＋1＝3an(n≥2)，
又由(1)知a2＝6，a1＝2，即a2＝3a1，
所以eq \f(an＋1,an)＝3(n∈N＋)
故当λ＝eq \f(1,2)时，{an}是以2为首项，3为公比的等比数列．
15．解析：(1)根据题意，有an＝eq \f(1,2)an－1，即数列{an}是首项为1，公比为eq \f(1,2)的等比数列，
则an＝eq \f(1,2n－1)；
(2)根据题意，cn＝n2an＝eq \f(n2,2n－1)，则cn>0，
则eq \f(cn,cn－1)＝eq \f(\f(n2,2n－1),\f(（n－1）2,2n－2))＝eq \f(n2,2（n－1）2)，
若eq \f(n2,2（n－1）2)≥1，即n2≥2(n－1)2，解可得2－eq \r(2)≤n≤2＋eq \r(2)，
又由n∈N＋，则有1≤n≤3，
即当1≤n≤3，eq \f(cn,cn－1)>1，数列{cn}递增，即c3>c2>c1，
当n≥4时，eq \f(cn,cn－1)c5>…>cn>…，
又c3＝eq \f(9,4)，c4＝2