高中第3章 圆锥曲线与方程本章综合与测试课后测评

这是一份高中第3章 圆锥曲线与方程本章综合与测试课后测评，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y2＝－2x的准线方程为( )
A．x＝eq \f(1,2)B．x＝－eq \f(1,2)C．y＝eq \f(1,2)D．y＝－eq \f(1,2)
2．[2022·湖南望城高二期末]若双曲线eq \f(x2,a)－y2＝1(a>0)的实轴长为2，则其渐近线方程为( )
A．y＝±eq \r(2)xB．y＝±eq \f(\r(2),2)xC．y＝±eq \f(1,2)xD．y＝±x
3.
中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的．它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美，现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为( )
A．8eq \r(3)B．2eq \r(3)C．4eq \r(3)D．4
4．已知双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,27)＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线C上有一点P，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF1))＝7，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF2))＝( )
A．25B．13C．1或13D．11或25
5．[2022·湖南嘉禾一中高二期末]已知椭圆C的长轴的顶点分别为A、B，点F为椭圆C的一个焦点，若|AF|＝3|BF|，则椭圆C的离心率为( )
A．eq \f(1,3)B．eq \f(\r(2),2)C．eq \f(1,2)D．eq \f(\r(3),2)
6．曲线eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1与曲线eq \f(x2,16－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(k<16)的( )
A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等
7．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的渐近线相交于A、B两点，若△ABF的周长为4eq \r(2)，则p＝( )
A．2B．2eq \r(2)C．8D．4
8．[2022·湖南雅礼中学高二月考]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1有公共焦点．则C的方程为( )
A．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,10)＝1B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
C．eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
9．[2022·湖南石门高二期末]已知方程eq \f(x2,4－t)＋eq \f(y2,t－1)＝1表示的曲线为C.给出下列四个判断正确的是( )
A．当1B．当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线
C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1D．若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则t>4
10．已知双曲线C：eq \f(x2,4)－y2＝1的左右焦点分别为F1，F2则以下说法正确的是( )
A．双曲线C的离心率为eq \f(\r(5),2)
B．过点F2的直线与双曲线C交于A，B两点，则△ABF1的周长为4
C．双曲线C上存在点P，使得PF1·PF2＝0
D．P为双曲线C上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，则点P，Q的最小距离为1
11．已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M(1，1)，则下列结论正确的有( )
A．△PF1F2的周长为8B．△PF1F2的最大面积为2eq \r(2)
C．存在点P使得PF1·PF2＝0D．|PM|＋|PF1|的最大值为5
12．已知斜率为eq \r(3)的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是( )
A．eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1B．|AF|＝6
C．|BD|＝2|BF|D．F为AD中点
三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．焦点坐标为(0，1)的抛物线的标准方程是________．
14．已知双曲线eq \f(y2,4)－eq \f(x2,m)＝1的一条渐近线方程为y＝2x，则双曲线的离心率为________．
15．已知△ABC的底边长为12，其中点B(－6，0)，C(6，0)，其他两边AB，AC上的中线之和为30，则三角形重心G的轨迹方程为________．
16．如图，过抛物线y2＝4x的焦点F作直线，与抛物线及其准线分别交于A，B，C三点，若eq \(FC,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，则直线AB的方程为________，|AB|＝________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知椭圆C的两焦点分别为F1(－2eq \r(2)，0)、F2(2eq \r(2)，0)，长轴长为6.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．
18．(本小题满分12分)[2022·湖南长沙明德中学高二月考]已知双曲线C的右焦点与抛物线E：y2＝8x的焦点F重合，且双曲线的一条渐近线为l：y＝eq \f(\r(3),3)x.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若过点F且与l平行的直线m交抛物线E于A，B两点，求线段AB的长．
19．(本小题满分12分)[2022·河北张家口高二期末]已知双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4，双曲线C的一个焦点到渐近线的距离为1.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)P是双曲线C上一点，O是坐标原点，且|eq \(OP,\s\up6(→))|＝2，求△PF1F2的面积．
20．(本小题满分12分)已知椭圆C：x2＋4y2＝4，斜率为－1的直线l与椭圆C交于A、B两点且|AB|＝eq \f(8\r(2),5).
(1)求椭圆C的离心率；
(2)求直线l的方程．
21．(本小题满分12分)[2022·湖南永州高二期末]已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点P(1，y0)在抛物线C上，|PF|＝eq \f(5y0,4).
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)已知直线l交抛物线C于点A，B，且PA⊥PB，证明：直线l过定点．
22．(本小题满分12分)已知椭圆W：eq \f(x2,4m)＋eq \f(y2,m)＝1的长轴长为4，左、右顶点分别为A，B，经过点P(1，0)的动直线与椭圆W相交于不同的两点C，D(不与点A，B重合).
(1)求椭圆W的方程及离心率；
(2)求四边形ACBD面积的最大值．
章末质量检测(三) 圆锥曲线与方程
1．解析：由抛物线y2＝－2x，
则其准线方程为x＝－eq \f(p,2)＝eq \f(1,2).
答案：A
2．解析：因为实轴长为2，所以a＝1，所以双曲线为x2－y2＝1，
所以渐近线方程为y＝±x.
答案：D
3．解析：因为椭圆的2a＝8，2b＝4，所以a＝4，b＝2，
因为a2＝b2＋c2，所以c2＝12⇒c＝2eq \r(3)，则2c＝4eq \r(3).
答案：C
4．解析：根据双曲线定义可得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(|PF1|－|PF2|))＝2a＝6，又|PF1|＝7，
所以|PF2|＝1或|PF2|＝13，
又c2＝a2＋b2＝36，
解得c＝6，即|F1F2|＝2c＝12，
又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝12，
所以|PF2|＝13.
答案：B
5．解析：设长轴为2a，焦距为2c，
由题意有a＋c＝3(a－c)，得e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).
答案：C
6．解析：由曲线eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1，可得曲线表示焦点在y轴上的椭圆，且c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(25－16)＝3，所以焦距为2c＝6，
由曲线eq \f(x2,16－k)＋eq \f(y2,25－k)＝1(k<16)，可得曲线表示焦点在y轴上的椭圆，
且c＝eq \r(a2－b2)＝eq \r(（25－k）－（16－k）)＝3，所以焦距为2c＝6，所以两曲线的焦距是相等的．
答案：D
7．解析：双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，
抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，
则A(－eq \f(p,2)，eq \f(\r(2),4)p)，B(－eq \f(p,2)，－eq \f(\r(2),4)p)，
∴|AB|＝eq \f(\r(2),2)p，
|FA|＝|FB|＝eq \r(p2＋（\f(\r(2),4)p）2)＝eq \f(3\r(2),4)p，
又∵△ABF的周长为4eq \r(2)，
∴|FA|＋|FB|＋|AB|＝eq \f(3\r(2),4)p＋eq \f(3\r(2),4)p＋eq \f(\r(2),2)p＝4eq \r(2)，
∴p＝2.
答案：A
8．解析：因为双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，则eq \f(b,a)＝eq \f(\r(5),2).①
又因为椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1与双曲线有公共焦点，
双曲线的焦距2c＝6，即c＝3，
则a2＋b2＝c2＝9.②
由①②解得a＝2，b＝eq \r(5)，
则双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
答案：B
9．解析：对于A项，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－t>0,t－1>0,4－t≠t－1))解得1对于B项，由(4－t)(t－1)<0，解得t>4或t<1，即当t>4或t<1时，曲线C表示双曲线，故B正确；
对于C项，若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－t>0,t－1>0,4－t>t－1))解得1对于D项，若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4－t>0,t－1>0,4－t答案：BC
10．解析：对A，由双曲线的标准方程eq \f(x2,4)－y2＝1知，a2＝4，c2＝a2＋b2＝5，
即a＝2，c＝eq \r(5)，
所以e＝eq \f(\r(5),2)，故A正确；
对B，当交点都在右支上时，|AF1|－|AF2|＝4，|BF1|－|BF2|＝4，
所以|AF1|＋|BF1|＝8＋|AB|>8，
所以△ABF1的周长大于8，故B错误；
对C，当以|F1F2|为直径的圆与双曲线交于点P，
则PF1·PF2＝0，故C正确；
对D，当P为双曲线实轴的顶点时，|PQ|min＝2－1＝1，故D正确．
答案：ACD
11．解析：对A，由椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1，可得△PF1F2的周长为：|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2×3＋2eq \r(9－8)＝8，故A正确；
对B，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积最大，且最大面积为：S＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(2)＝2eq \r(2)，故B正确；
对C，当P为椭圆短轴顶点时，∠F1PF2为最大，此时cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq \f(9＋9－4,2×3×3)＝eq \f(7,9)>0，即∠F1PF2为锐角，所以不存在点P使得PF1·PF2＝0，故C错误；
对D，由椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1，所以F2(1，0)，又M(1，1)，所以|MF2|＝eq \r(（1－1）2＋（0－1）2)＝1，所以|PM|＋|PF1|＝|PM|＋6－|PF2|＝6＋|PM|－|PF2|≤6＋|MF2|＝7，故D错误．
答案：AB
12.
解析：根据题意作出其图象，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为A1，B1如图，
直线l的斜率为eq \r(3)，即∠xFA＝60°，则∠FDA1＝30°，设BD＝x，
则Rt△DBB1，Rt△DAA1中，
可得|BB1|＝eq \f(x,2)，|AA1|＝4＋eq \f(x,2)，
所以|BB1|＝|BF|＝eq \f(x,2)，|AA1|＝|AF|＝4＋eq \f(x,2)，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq \f(x,2)＋eq \f(x,2)＝4＋x＝8，解得x＝4，
所以|BF|＝2，|AF|＝6，所以B正确．
所以eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,6)＋eq \f(1,2)≠1，所以A不正确．
所以|BD|＝4，满足|BD|＝4＝2|BF|，所以C正确．
而|DF|＝|BD|＋|BF|＝4＋2＝6＝|AF|，所以D正确．
答案：BCD
13．解析：已知抛物线的焦点坐标为(0，1)，则抛物线开口向上，
则eq \f(p,2)＝1，所以p＝2，
所以抛物线的标准方程是x2＝2py＝4y.
答案：x2＝4y
14．解析：由已知可得m>0，且双曲线的焦点在y轴上，
a＝2，b＝eq \r(m)，
双曲线的渐近线为y＝±eq \f(a,b)x＝±eq \f(2,\r(m))x，
即eq \f(2,\r(m))＝2，m＝1，
b＝1，c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(5)，
所以离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2).
答案：eq \f(\r(5),2)
15．解析：设边AB，AC的中点分别为D，E，
故|CD|＋|BE|＝30，
所以|CG|＋|BG|＝20>12＝|BC|，
所以点G的轨迹为椭圆，且其两个焦点分别为点B和C，
所以轨迹方程为eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1且x≠±10.
答案：eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1(x≠±10)
16．解析：由题意得F(1，0)，准线方程为x＝－1，
过点B作准线的垂线，垂足为E，则|BE|＝|FB|，
∵eq \(FC,\s\up6(→))＝3eq \(FB,\s\up6(→))，
∴|BC|＝2|BE|，
由勾股定理得：|CE|＝eq \r(3)|BE|，
∴直线AB的斜率k＝eq \r(3)，
所以直线AB的方程为y＝eq \r(3)(x－1)，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x,y＝\r(3)（x－1）))及图象可得：
A(3，2eq \r(3))，B(eq \f(1,3)，－eq \f(2\r(3),3))，
∴|AB|＝eq \r(（3－\f(1,3)）2＋（\f(8,3)\r(3)）2)＝eq \f(16,3).
答案：y＝eq \r(3)(x－1) eq \f(16,3)
17．解析：(1)由F1(－2eq \r(2)，0)、F2(2eq \r(2)，0)，长轴长为6，
得：c＝2eq \r(2)，a＝3，所以b＝eq \r(a2－c2)＝1，
∴椭圆方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.
(2)由题意得，双曲线的a＝2eq \r(2)，c＝3，
所以b＝eq \r(c2－a2)＝1，
∴双曲线方程为eq \f(x2,8)－y2＝1.
18．解析：(1)根据题意，易知抛物线E的焦点为F(2，0)，
故可设双曲线C的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，且c＝2，
因为双曲线的一条渐近线为y＝eq \f(\r(3),3)x，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝4，,\f(b,a)＝\f(\r(3),3)，))解得a＝eq \r(3)，b＝1，
故双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)由已知，可得直线m的方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x－2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝8x,y＝\f(\r(3),3)（x－2）))，消去y，整理得x2－28x＋4＝0，故x1＋x2＝28，
因此线段AB的长为|AB|＝x1＋x2＋p＝32.
19．解析：(1)依题意，知2c＝4，c＝2.
不妨设双曲线的右焦点F2(2，0)到渐近线y＝eq \f(b,a)x的距离为1，渐近线方程即bx－ay＝0，
则eq \f(2b,\r(a2＋b2))＝eq \f(2b,c)＝1，
∴b＝1，∴a2＝c2－b2＝3，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,3)－y2＝1.
(2)在△PF1F2中，∵OP是边F1F2上的中线且|OP|＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2，
∴△PF1F2为直角三角形且∠F1PF2＝90°.
∵P是双曲线C上一点，∴||PF1|－|PF2||＝2eq \r(3)，
平方，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝12，
其中|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16，
∴|PF1||PF2|＝2，
∴S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝1.
20．解析：(1)由题知，椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1，
则a＝2，b＝1，c＝eq \r(3)，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
(2)设直线l：y＝－x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x＋t,x2＋4y2＝4))，
化简得5x2－8tx＋4t2－4＝0，
则Δ＝(－8t)2－4×5×(4t2－4)>0，解得－eq \r(5)x1＋x2＝eq \f(8t,5)，x1x2＝eq \f(4t2－4,5)，
由弦长公式知，
AB＝eq \r(1＋k2)eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)
＝eq \r(2)×eq \r(（\f(8t,5)）2－4×\f(4t2－4,5))＝eq \f(8\r(2),5)，
解得t＝±1，
故直线l：x＋y＋1＝0或x＋y－1＝0.
21．解析：(1)由抛物线的定义知，|PF|＝y0＋eq \f(p,2)＝eq \f(5y0,4)，故y0＝2p.
又P(1，y0)在拋物线上，所以y0＝eq \f(1,2p)，
则2p＝eq \f(1,2p)，解得p＝eq \f(1,2)，y0＝1.
故抛物线C的标准方程为x2＝y.
(2)证明：设A(x1，x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )，B(x2，x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) )，直线l的方程为y＝kx＋m，
则kPA＝eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －1,x1－1)＝x1＋1，kPB＝eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －1,x2－1)＝x2＋1.
因为PA⊥PB，所以(x1＋1)(x2＋1)＝－1，即x1＋x2＋x1x2＋2＝0，
将直线l的方程与抛物线方程联立可得，x2－kx－m＝0，
则x1＋x2＝k，x1x2＝－m，
所以k－m＋2＝0，
直线l的方程为y＝kx＋k＋2＝k(x＋1)＋2，则直线l过定点(－1，2).
22．解析：(1)由题意，得a2＝4m＝4，解得m＝1，
所以椭圆W方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，
∴a＝2，b＝1，c＝eq \r(3)，
则离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2).
(2)当直线CD的斜率k不存在时，由题意，得CD的方程为x＝1，
代入椭圆W的方程，得Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),2)))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(\r(3),2)))，
又因为|AB|＝2a＝4，AB⊥CD，
所以四边形ACBD的面积S＝eq \f(1,2)|AB|·|CD|＝2eq \r(3)，
当直线CD的斜率k存在时，设CD的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，
联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1）,\f(x2,4)＋y2＝1))，消去y，得(4k2＋1)x2－8k2x＋4k2－4＝0，
由题意，可知Δ>0恒成立，
则x1＋x2＝eq \f(8k2,4k2＋1)，x1x2＝eq \f(4k2－4,4k2＋1)，
四边形ACBD的面积S＝S△ABC＋S△ABD＝eq \f(1,2)|AB|×|y1|＋eq \f(1,2)|AB|×|y2|＝eq \f(1,2)|AB|×|y1－y2|
＝2|k(x1－x2)|
＝2eq \r(k2（x1＋x2）2－4k2x1x2)
＝8eq \r(\f(k2（3k2＋1）,（4k2＋1）2))
令4k2＋1＝t，则四边形ACBD的面积
S＝2eq \r(－\f(1,t2)－\f(2,t)＋3)，eq \f(1,t)∈(0，1)，
所以S＝2eq \r(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)＋1))\s\up12(2)＋4)<2eq \r(3)，
综上所述，四边形ACBD面积的最大值为2eq \r(3).