高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.3 抛物线课后作业题

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册3.3 抛物线课后作业题，共6页。

1．若点(m，n)在抛物线y2＝－13x上，则下列点中一定在该抛物线上的是( )
A．(－m，－n) B．(m，－n)
C．(－m，n) D．(－n，－m)
2．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，点(－5，2eq \r(5))在抛物线上，则抛物线的方程为( )
A．y2＝－2xB．y2＝－4x
C．y2＝2xD．y2＝4x
3．垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A，B两点，且|AB|＝4eq \r(3)，求直线AB的方程( )
A．x＝3B．x＝eq \r(3)
C．y＝3D．y＝eq \r(3)
4．已知直线y＝kx－k及抛物线y2＝2px(p＞0)，则( )
A．直线与抛物线有一个公共点
B．直线与抛物线有两个公共点
C．直线与抛物线有一个或两个公共点
D．直线与抛物线可能没有公共点
5．已知抛物线y＝mx2(m＞0)的焦点为F，过点F且倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|＝6，则焦点F的坐标为( )
A．(0，eq \f(9,4)) B．(0，eq \f(9,8))
C．(0，eq \f(9,2)) D．(0，eq \f(3,2))
6．(多选)已知抛物线C：x2＝2py(p≠0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4eq \r(5)，则抛物线C的方程为( )
A．x2＝4yB．x2＝－4y
C．x2＝2yD．x2＝－2y
7．[2022·湖南师大附中高二期中]已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，且|FA|＝4，则|AB|＝________．
8．抛物线y2＝2x上两点A，B与坐标原点O构成等边三角形，则该三角形的边长为________．
9．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A、B，线段AB中点M的横坐标为2，且|AF|＋|BF|＝6.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线l(斜率存在)经过焦点F，求直线l的方程．
[提能力]
10．若正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点恰为坐标原点，则这个三角形的面积是( )
A．48eq \r(3)B．24eq \r(3)
C．eq \f(16\r(3),9)D．46eq \r(3)
11．[2022·湖南长郡中学高二期中](多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，斜率为eq \r(3)且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是( )
A．p＝2B．F为AD中点
C．|BD|＝2|BF|D．|BF|＝2
12．过点Q(4，1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，则AB所在直线的方程为________．
13．已知抛物线C1：y2＝8x的焦点为F，圆C2：(x－2)2＋y2＝16与抛物线C1在第一象限的交点为A(x0，y0)，直线l：y＝t(0＜t＜y0)与抛物线C1的交点为B，直线l与圆C2在第一象限的交点为D，则y0＝________；△C2DB周长的取值范围为________．
14．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－1，过其焦点F的直线l交抛物线C于A、B两点，线段AB的中点为M，坐标原点为O，且直线OM的斜率为eq \f(\r(2),2).
(1)求实数p的值；
(2)求△OAB的面积．
[培优生]
15．已知抛物线y＝eq \f(1,4)x2和y＝－eq \f(1,16)x2＋5所围成的封闭曲线如图所示，给定点A(0，a)，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A对称，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(2，4)
C．(eq \f(3,2)，3) D．(eq \f(5,2)，4)
课时作业(三十) 抛物线的简单几何性质
1．解析：由抛物线关于x轴对称易知，点(m，－n)一定在该抛物线上．
答案：B
2．解析：根据题意设出抛物线的方程y2＝mx(m≠0)，
因为点(－5，2eq \r(5))在抛物线上，所以有20＝－5m，解得m＝－4，
所以抛物线的方程是：y2＝－4x.
答案：B
3．解析：由垂直于x轴的直线交抛物线y2＝4x于A，B两点，且|AB|＝4eq \r(3)，根据抛物线y2＝4x关于x轴对称，则A(x，2eq \r(3))，B(x，－2eq \r(3))，将点A坐标代入抛物线方程可得：12＝4x，解得x＝3.
答案：A
4．解析：∵直线y＝kx－k＝k(x－1)，∴直线过定点(1，0).
∴当k＝0时，直线y＝0与抛物线有一个公共点，即顶点；
当k≠0时，点(1，0)在抛物线的内部，所以直线与抛物线有两个公共点，
综上所述，直线与抛物线有一个或两个公共点．
答案：C
5．解析：y＝mx2(m＞0)的方程的标准形式为x2＝eq \f(1,m)y，则F(0，eq \f(1,4m))，所以直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(1,4m)，与y＝mx2(m＞0)联立，消去x，得3y2－eq \f(5,2m)y＋eq \f(3,16m2)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝eq \f(5,6m)，由y1＋y2＋eq \f(1,2m)＝6，解得eq \f(1,m)＝eq \f(9,2)，所以焦点F的坐标为(0，eq \f(9,8)).
答案：B
6．解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝2py,y＝2x))，解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝0))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4p,y＝8p))，则交点坐标为(0，0)，(4p，8p)，则eq \r(（4p）2＋（8p）2)＝4eq \r(5)，解得：p＝±1，则抛物线C的方程x2＝±2y.
答案：CD
7．解析：设过F(1，0)的直线方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立直线与抛物线方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋1,y2＝4x))，可得y2－4my－4＝0，
由韦达定理，可得y1y2＝－4，则x1x2＝eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)·eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ,4)＝1，
∵由抛物线的定理，可得|FA|＝x1＋1＝4，
∴x1＝3，x2＝eq \f(1,3)，
∴|FB|＝x2＋1＝eq \f(4,3)，|AB|＝4＋eq \f(4,3)＝eq \f(16,3).
答案：eq \f(16,3)
8．解析：由抛物线和等边三角形的对称性可设A(eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,2)，y1)，B(eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,2)，－y1)，所以由等边三角形的性质可得eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,2)＝eq \r(3)|y1|，所以|y1|＝2eq \r(3)，所以该三角形的边长为4eq \r(3).
答案：4eq \r(3)
9．解析：(1)由题意得：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则线段AB中点M点的横坐标x＝eq \f(x1＋x2,2)＝2，
∴x1＋x2＝4，
∴|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝4＋p＝6，解得p＝2.
∴抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2)由问题(1)可知抛物线的焦点坐标为F(1，0)，
故设直线方程为y＝k(x－1)，k≠0，
联立方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k（x－1）,y2＝4x))⇒k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∴x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)＝4，
解得k＝±eq \r(2)，
∴直线l的方程y＝±eq \r(2)(x－1).
10．解析：设三角形其中一个顶点为(x，2eq \r(x))，
因为三角形是正三角形，
所以eq \f(2\r(x),x)＝tan30°＝eq \f(\r(3),3)，即eq \f(4,x)＝eq \f(1,3)，
解得x＝12，
所以三角形的两个顶点为(12，4eq \r(3))，(12，－4eq \r(3))，
所以三角形的面积为S＝eq \f(1,2)×12×(4eq \r(3)＋4eq \r(3))＝48eq \r(3).
答案：A
11．解析：因为直线l的斜率为eq \r(3)，且|AF|＝4，所以A的纵坐标为2eq \r(3)，横坐标为2＋eq \f(p,2)，所以(2eq \r(3))2＝2p(2＋eq \f(p,2))，因为p＞0，解得p＝2，故A正确；因为F(1，0)，所以直线l：y＝eq \r(3)x－eq \r(3)，令x＝－1，所以y＝－2eq \r(3)，则D(－1，－2eq \r(3))，又因为A(3，2eq \r(3))，则AD的中点为(1，0)即为F(1，0)，故B正确；
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝4x,y＝\r(3)x－\r(3)))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝2\r(3)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3),y＝－\f(2\r(3),3)))，
即A(3，2eq \r(3))，B(eq \f(1,3)，－eq \f(2\r(3),3))，
则|BD|＝eq \r(（－1－\f(1,3)）2＋（－2\r(3)＋\f(2\r(3),3)）2)＝eq \f(8,3)，|BF|＝eq \f(1,3)＋1＝eq \f(4,3)，因此|BD|＝2|BF|，故C正确；D错误．
答案：ABC
12．解析：方法一 设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝8x1，y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝8x2，
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2).
又y1＋y2＝2，∴y1－y2＝4(x1－x2)，即4＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，
∴k＝4.
∴所求弦AB所在直线的方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
方法二 设弦AB所在直线的方程为y＝k(x－4)＋1.
联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y2＝8x，,y＝k（x－4）＋1，))消去x，得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标，由根与系数的关系得y1＋y2＝eq \f(8,k).
又y1＋y2＝2，∴k＝4.
∴所求弦AB所在直线的方程为4x－y－15＝0.
13．解析：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（x－2）2＋y2＝16,y2＝8x))⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝±4))，∵y0＞0，∴y0＝4，
设l：y＝t(0＜t＜y0)与抛物线的准线x＝－2交于点P，则|BP|＝|BC2|，
△C2DB周长为|BC2|＋|BD|＋|DC2|＝|DP|＋4.
又|DP|∈(4，8).∴周长∈(8，12).
答案：4 (8，12)
14．解析：(1)由准线方程为x＝－1知，eq \f(p,2)＝1，故p＝2.
(2)由(1)知，抛物线方程为y2＝4x，
设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)
与抛物线方程联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝my＋1,y2＝4x))，化简得y2－4my－4＝0.
则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.
由线段AB的中点为M，知xM＝eq \f(x1＋x2,2)，yM＝eq \f(y1＋y2,2)，
kOM＝eq \f(yM,xM)＝eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝eq \f(\r(2),2)，代入韦达定理知，
eq \f(4m,m×4m＋2)＝eq \f(\r(2),2)，解得m＝eq \f(\r(2),2)，
故直线l的方程为eq \r(2)x－y－eq \r(2)＝0.
所以|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(（y1＋y2）2－4y1·y2)＝
eq \r(1＋\f(1,（\r(2)）2))·eq \r(（2\r(2)）2－4×（－4）)＝6，
d＝eq \f(\r(2),\r(（\r(2)）2＋（－1）2))＝eq \f(\r(6),3).
因此△OAB的面积S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|d＝eq \f(1,2)×6×eq \f(\r(6),3)＝eq \r(6).
15．解析：显然，过点A与x轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点A对称，且这两个点在同一曲线上．
当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为(x1，y1)，其中y1＝eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)，且－4≤x1≤4，
则其关于点A的对称点为(－x1，2a－y1)，
所以这个点在曲线y＝－eq \f(1,16)x2＋5上，
所以2a－y1＝－eq \f(1,16)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋5，即2a－eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,4)＝－eq \f(1,16)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋5，
所以2a＝eq \f(3,16)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋5，即eq \f(3,16)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋5－2a＝0，此方程的x1的解必须刚好有且只有两个，
当x1＝4时，其对称点的横坐标刚好为－4，故x1≠±4，
于是－4＜x1＜4，且x1≠0，
∴2a＝eq \f(3,16)x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋5∈(5，8)，即eq \f(5,2)＜a＜4.
答案：D