数学选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆练习题

这是一份数学选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆练习题，共7页。

1．[2022·湖南长郡中学高二月考]椭圆eq \f(x2,25)＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为( )
A．5B．6
C．7D．8
2．椭圆C：x2＋eq \f(y2,k)＝1的一个焦点是(0，2)，则k的值是( )
A．5B．3
C．9D．25
3．[2022·湖南邵东一中高二期中]2＜m＜6是方程eq \f(x2,m－2)＋eq \f(y2,6－m)＝1表示椭圆的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．[2022·湖南长沙一中高二期中]过点A(3，－2)且与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )
A．eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1B．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1
C．eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,15)＝1D．eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,15)＝1
5．[2022·湖南衡阳高二期末]P为椭圆C：eq \f(x2,17)＋eq \f(y2,13)＝1上一动点，F1，F2分别为左、右焦点，延长F1P至点Q，使得|PQ|＝|PF2|，则动点Q的轨迹方程为( )
A．(x＋2)2＋y2＝34
B．(x＋2)2＋y2＝68
C．(x－2)2＋y2＝34
D．(x－2)2＋y2＝68
6．(多选)将一个椭圆绕其对称中心旋转90°，若所得椭圆的两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点，则称该椭圆为“对偶椭圆”．下列椭圆的方程中，是“对偶椭圆”的方程的是( )
A．eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,5)＝1
C．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,3)＝1D．eq \f(x2,6)＋eq \f(y2,9)＝1
7．在△ABC中，点A(－3，0)，B(3，0)，点C在椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上，则△ABC的周长为________．
8．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________，其焦点坐标为________．
9．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两个焦点的坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，并且椭圆经过点(eq \f(5,2)，－eq \f(3,2)).
(2)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，四点P1(1，1)，P2(0，1)，P3(－1，eq \f(\r(3),2))，P4(1，eq \f(\r(3),2))中恰有三点在椭圆C上，求C的方程．
[提能力]
10．[2022·湖南临澧一中高二期中]已知点A(4，0)和B(2，2)，M是椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上动点，则|MA|＋|MB|最大值是( )
A．10＋2eq \r(10)B．10＋4eq \r(2)
C．10＋4eq \r(3)D．10＋2eq \r(11)
11．[2022·山东师范大学附中高二期中](多选)设椭圆C：eq \f(x2,7)＋eq \f(y2,16)＝1的焦点为F1、F2，M在椭圆上，则( )
A．|MF1|＋|MF2|＝8
B．|MF1|的最大值为7，最小值为1
C．|MF1||MF2|的最大值为16
D．△MF1F2面积的最大值为10
12．已知椭圆x2sinα－y2csα＝1(0≤α＜2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是________．
13．已知椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,6)＝1的左、右焦点为F1、F2，P在椭圆上，且△PF1F2是直角三角形，这样的P点有________个．
14．已知圆M：(x＋3)2＋y2＝64圆心为M，定点N(3，0)，动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)若点Q是曲线C上一点，且∠QMN＝60°，求△QMN的面积．
[培优生]
15．设AB是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的长轴，若把AB一百等分，过每个分点作AB的垂线，交椭圆的上半部分于P1、P2、…、P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|＋|F1P1|＋|F1P2|＋…＋|F1P99|＋|F1B|的值是( )
A．98aB．99a
C．100aD．101a
课时作业(二十五) 椭圆的标准方程
1．解析：由椭圆eq \f(x2,25)＋y2＝1，可得a＝5、b＝1，设它的两个焦点分别为F、F′，
再由椭圆的定义可得|PF|＋|PF′|＝2a＝10，由于点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为8.
答案：D
2．解析：∵椭圆C：x2＋eq \f(y2,k)＝1的一个焦点是(0，2)，
∴c2＝4，a2＝k，b2＝1，
∴k＝4＋1＝5.
答案：A
3．解析：2＜m＜6时，m－2＞0，6－m＞0，但当m＝4时，m－2＝6－m＝2，方程表示圆，不充分，
方程表示椭圆时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2＞0,6－m＞0,m－2≠6－m))，即2＜m＜6且m≠4，是必要的．
应为必要不充分条件．
答案：B
4．解析：由题意得：
∵eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1，∴该椭圆的焦点为(－eq \r(5)，0)，(eq \r(5)，0)，即c＝eq \r(5)，
∵要求椭圆经过点A(3，－2)，将点代入eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,a2－5)＝1，
∴eq \f(9,a2)＋eq \f(4,a2－5)＝1，即a2＝3(舍去)或a2＝15，
∴eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.
答案：A
5．解析：由eq \f(x2,17)＋eq \f(y2,13)＝1可得：a＝eq \r(17)，
因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2eq \r(17)，|PQ|＝|PF2|，
所以|PF1|＋|PQ|＝|F1Q|＝2a＝2eq \r(17)，
所以动点Q的轨迹为以F1(－2，0)为圆心，2eq \r(17)为半径的圆，
故动点Q的轨迹方程为(x＋2)2＋y2＝68.
答案：B
6．解析：由题意，得当b＝c时，该椭圆为“对偶椭圆”．由c＝eq \r(a2－b2)得，
选项A中，b＝c＝2；选项B中，b＝eq \r(3)，c＝eq \r(2)，b≠c；
选项C中，b＝c＝eq \r(3)；选项D中，b＝eq \r(6)，c＝eq \r(3)，b≠c.
答案：AC
7．解析：由椭圆方程可知，a＝5，b＝4，则c＝eq \r(a2－b2)＝3，即A、B为椭圆的两个焦点，所以△ABC的周长为l＝CA＋CB＋AB＝2a＋2c＝16.
答案：16
8．解析：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＋c＝3,a－c＝1))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2,c＝1))，则b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1，焦点坐标为(±1，0).
答案：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 (±1，0)
9．解析：(1)根据题意，两个焦点的坐标分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，即c＝2，
又由椭圆经过点(eq \f(5,2)，－eq \f(3,2))，
则2a＝eq \r(（\f(5,2)＋2）2＋（－\f(3,2)）2)＋eq \r(（\f(5,2)－2）2＋（－\f(3,2)）2)＝2eq \r(10)，故a＝eq \r(10)，
则b2＝a2－c2＝10－4＝6，故要求椭圆的方程为eq \f(x2,10)＋eq \f(y2,6)＝1；
(2)由题意，因为P3，P4两点关于y轴对称，所以椭圆C经过P3，P4两点，
又由P1(1，1)，P4(1，eq \f(\r(3),2))知，椭圆C不经过点P1，所以点P2在椭圆C上，
因此eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,b2)＝1,\f(1,a2)＋\f(3,4b2)＝1))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4,b2＝1))，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
10．解析：椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1，所以A为椭圆右焦点，设左焦点为F(－4，0)，
则由椭圆定义|MA|＋|MF|＝2a＝10，
于是|MA|＋|MB|＝10＋|MB|－|MF|.
当M不在直线BF与椭圆交点上时，M、F、B三点构成三角形，于是|MB|－|MF|＜|BF|，
而当M在直线BF与椭圆交点上时，在第一象限交点时，有|MB|－|MF|＝－|BF|，
在第三象限交点时有|MB|－|MF|＝|BF|.
显然当M在直线BF与椭圆第三象限交点时|MA|＋|MB|有最大值，其最大值为
|MA|＋|MB|＝10＋|MB|－|MF|＝10＋|BF|＝10＋eq \r(（2＋4）2＋（2－0）2)＝10＋2eq \r(10).
答案：A
11．解析：由椭圆方程知：a＝4，b＝eq \r(7)，c＝3，
∴|MF1|＋|MF2|＝2a＝8，故A正确．
|MF1|max＝a＋c＝7，|MF1|min＝a－c＝1，故B正确．
|MF1||MF2|≤eq \f(（|MF1|＋|MF2|）2,4)＝16，此时M在椭圆左右顶点上，同时△MF1F2面积也最大，为3eq \r(7)，故C正确，D错误．
答案：ABC
12．解析：椭圆x2sinα－y2csα＝1(0≤α＜2π)化为标准方程，
得eq \f(x2,\f(1,sinα))＋eq \f(y2,\f(1,－csα))＝1，
它的焦点在y轴上，
∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(1,sinα)＞0,\f(1,－csα)＞0,\f(1,sinα)＜\f(1,－csα)))，
∴0＜－csα＜sinα，
∵0≤α＜2π，
∴eq \f(π,2)＜α＜eq \f(3π,4).
答案：(eq \f(π,2)，eq \f(3π,4))
13．解析：当P不是直角顶点时，P为过焦点与x轴垂直的直线与椭圆的交点，易知这样的点有4个；
当P是直角顶点时，P在以F1F2为直径的圆上，c＝eq \r(12－6)＝eq \r(6)，
故圆方程为x2＋y2＝6，联立方程：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,12)＋\f(y2,6)＝1,x2＋y2＝6))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝\r(6)))和eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝－\r(6)))，两个点满足．
综上所述：共有6个点满足条件．
答案：6
14．解析：(1)由已知|PN|＝|PA|，故|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝8＞|MN|，
所以P点轨迹是以M、N为焦点的椭圆，
设P点轨迹方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，则2a＝8，c＝3，b2＝7，
所以P点轨迹方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1.
(2)不妨设|MQ|＝m，由椭圆定义可得|QN|＝2a－m＝8－m，又|MN|＝2c＝6，
则在△MNQ中，由余弦定理可得：cs∠QMN＝eq \f(1,2)＝eq \f(m2＋62－（8－m）2,12m)，
解得m＝eq \f(14,5).
故△QMN的面积S＝eq \f(1,2)×sin∠QMN×m×2c＝eq \f(\r(3),2)c×m＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(14,5)×3＝eq \f(21\r(3),5).
15．解析：设椭圆右焦点为F2，由椭圆的定义知|F1Pi|＋|F2Pi|＝2a(i＝1，2，…，99)，
∴eq \i\su(i＝1,99,)(|F1Pi|＋|F2Pi|)＝2a×99＝198a.
由题意知P1，P2，…，P99关于y轴成对称分布，
eq \i\su(i＝1,99,)(|F1Pi|)＝eq \f(1,2)eq \i\su(i＝1,99,)(|F1Pi|＋|F2Pi|)＝99a.
又∵|F1A|＋|F1B|＝2a，
故所求的值为101a.
答案：D