湘教版（2019）选择性必修 第一册4.4 二项式定理课堂检测

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1．二项式(2x－y)8的展开式中第3项的二项式系数为( )
A．－56B．56
C．－28D．28
2．(x2－eq \f(3,x))7展开式的第3项为( )
A．189B．189x8
C．－945D．－945x5
3．在(x－eq \f(1,x))5的展开式中，x3的系数为( )
A．－5B．5
C．－10D．10
4．若二项式(x＋eq \f(1,\r(3,x)))n展开式中第4项为常数项，则n＝( )
A．6B．5
C．4D．3
5．(2x－1)(x－1)3展开式中含x2项的系数为( )
A．－3B．－9
C．3D．9
6．[2022·湖南长郡中学高二月考](多选)对于二项式(eq \f(1,x)＋x3)n(n∈N＋，n≥2)，以下判断正确的有( )
A．存在n∈N＋，n≥2，展开式中有常数项
B．对任意n∈N＋，n≥2，展开式中没有常数项
C．对任意n∈N＋，n≥2，展开式中没有x的一次项
D．存在n∈N＋，n≥2，展开式中有x的一次项
7．二项式(x－eq \f(2,\r(3,x)))7的展开式中，第4项的二项式系数是________，x3的系数是________．
8．[2022·湖南长沙一中月考]在(2eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x)))6的展开式中，常数项等于________．
9．[2022·江苏泰州高二期末]已知(eq \r(x)－eq \f(2,x2))n的展开式中，第2项与第4项的二项式系数之比为1∶12.
(1)求正整数n的值；
(2)求展开式中的常数项．
[提能力]
10．[2022·福建龙岩高二期末](x2－2x－1)5展开式中x的系数为( )
A．－3B．3
C．－10D．15
11．(多选)(1＋x2)(2＋x)4的展开式中( )
A．x3的系数为40
B．x3的系数为32
C．常数项为16
D．常数项为8
12．[2022·江苏无锡高二期末](x2＋eq \f(c,x))6的展开式中常数项是240，则正实数c的值为________．
13．若(2x＋1)(x2＋eq \f(a,x))6(a>0)的展开式中含x7项的系数为90，则a＝________．
14．已知在(eq \r(3,x)－eq \f(3,\r(3,x)))n的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．
[培优生]
15．已知(xcsθ＋1)5的展开式中x2的系数与(x＋eq \f(5,4))4的展开式中x3的系数相等，则锐角θ＝________．
课时作业(三十六) 二项式定理(1)
1．解析：二项式展开式第三项的二项式系数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) ＝28.
答案：D
2．解析：因为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(7)) (x2)7－r(－eq \f(3,x))r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(7)) (－3)rx14－3r，
所以(x2－eq \f(3,x))7展开式的第3项为T3＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) (－3)2x14－3×2＝189x8.
答案：B
3．解析：(x－eq \f(1,x))5展开式的通项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) x5－r(－eq \f(1,x))r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) (－1)rx5－2r，取r＝1，
T2＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) (－1)1x3＝－5x3，系数为－5.
答案：A
4．解析：二项式(x＋eq \f(1,\r(3,x)))n展开式的通项公式为：Tr＋1＝Ceq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n))xn－r(eq \f(1,\r(3,x)))r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) xn－eq \f(4,3)r，
因为二项式(x＋eq \f(1,\r(3,x)))n展开式中第4项为常数项，
所以n－eq \f(4,3)×3＝0，
解得n＝4.
答案：C
5．解析：因(x－1)3＝x3－3x2＋3x－1，于是得(2x－1)(x－1)3展开式中的二次项为2x·3x＋(－1)·(－3x2)＝9x2，
所以(2x－1)(x－1)3展开式中含x2项的系数为9.
答案：D
6．解析：因为二项式(eq \f(1,x)＋x3)n(n∈N＋)展开式的通项Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) (eq \f(1,x))n－r(x3)r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) x4r－n，
不妨令n＝4，则r＝1时，展开式中有常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则r＝1时，展开式中有x的一次项，故C错误，D正确．
答案：AD
7．解析：由题意，第4项的二项式系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ＝35，通项公式为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(7)) x7－r(－eq \f(2,\r(3,x)))r＝(－2)rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(7)) x7－eq \f(4r,3)，令7－eq \f(4r,3)＝3，所以r＝3，所以T4＝(－2)3C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) x3＝－280x3，故x3的系数是－280.
答案：35 －280
8．解析：(2eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x)))6的展开项的形式是C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) (2eq \r(x))6－r(eq \f(1,\r(x)))r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) ·26－rx3－r，
若为常数项，可得r＝3，
故常数项为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ·23＝160.
答案：160
9．解析：(1)由eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(n)) ,C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) )＝eq \f(6,（n－1）（n－2）)＝eq \f(1,12)，得(n＋7)(n－10)＝0，所以正整数n＝10.
(2)第r＋1项Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(10)) (eq \r(x))10－r(－eq \f(2,x2))r＝(－2)rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(10)) xeq \s\up6(\f(10－5r,2))，由eq \f(10－5r,2)＝0得r＝2，
所以展开式中的常数项为T3＝(－2)2C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＝180.
10．解析：因为(x2－2x－1)5＝[x2－(2x＋1)]5，则展开式的通项公式为C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) (x2)5－r(－1)r(2x＋1)r，所以x的系数只存在于－(2x＋1)5中，而－(2x＋1)5的展开式的通项公式为－C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) (2x)5－r1r＝－C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(5)) (2)5－rx5－r，所以x的系数为－C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) ·2＝－10.
答案：C
11．解析：(1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是(2＋x)4中含x3的系数C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ·2＝8，另一部分是(2＋x)4中含x项的系数C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ·23＝32，所以含x3的系数是8＋32＝40，故A正确；展开式中常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16，故C正确．
答案：AC
12．解析：由题意，在该二项展开式中，只有当x2这一项为二次方，eq \f(c,x)为四次方时，展开项才是常数项，此时常数项为C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) ·c4＝240，即15c4＝240，由于c为正实数，所以c＝2.
答案：2
13．解析：对于二项式(x2＋eq \f(a,x))6的展开式而言，其通项Tr＋1＝arC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) x12－3r，
于是(2x＋1)(x2＋eq \f(a,x))6的展开式会出现两类，一类是2arC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) x13－3r，一类是arC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) x12－3r，
只有当r＝2时，才会出现x7项，此时系数是2a2C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝30a2＝90，解得a＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
14．解析：(1)通项公式为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) ·xeq \s\up6(\f(n－r,3))·(－3)r·x－eq \f(r,3)＝(－3)r·C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) ·xeq \s\up6(\f(n－2r,3)).
因为第6项为常数项，所以r＝5时，有eq \f(n－2r,3)＝0，解得n＝10.
(2)由(1)可知n＝10，令eq \f(n－2r,3)＝2，解得r＝2.
所以含x2项的系数为(－3)2·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＝405.
(3)由题意可知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(10－2r,3)∈Z,0≤r≤10,r∈N))，
则r可能的取值为2，5，8.
所以第3项，第6项，第9项为有理项，分别为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ·(－3)2·x2，C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(10)) ·(－3)5，C eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(10)) ·(－3)8·x－2.
15．解析：由二项式定理，知(xcsθ＋1)5的展开式中x2的系数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) cs2θ，(x＋eq \f(5,4))4的展开式中x3的系数为C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ×eq \f(5,4)＝5，
于是有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) cs2θ＝5，解得cs2θ＝eq \f(1,2)，
即csθ＝eq \f(\r(2),2)或csθ＝－eq \f(\r(2),2)(舍去)，
所以锐角θ＝eq \f(π,4).
答案：eq \f(π,4)