天津市南开区2023-2024学年高三上学期质量检测（二）数学试题

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2024.01
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.
祝各位考生考试顺利!
第I卷
注意事项：
1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考试科目涂在答题卡上；
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.
参考公式：
●锥体的体积公式，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高.
●对于事件，那么.
一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集，则（ ）
A. B. C. D.
2. 函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示，则的值为（ ）
A. 0.02B. 0.2C. 0.04D. 0.4
5. 设，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 数列满足，，其前项积，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆柱的底面半径为1，高为2，AB，CD分别为上、下底面圆的直径，，则四面体ABCD的体积为（ ）
A. B. C. 1D.
8. 设函数.若，且的最小正周期大于，则（ ）
A. .B.
C. D.
9. 已知，分别是双曲线的左､右焦点，点P是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
注意事项：
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题：
2.本卷共11小题，共105分.
二､填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.
10. 已知复数，若是实数，则实数的值为__________.
11. 展开式中，的系数等于________．
12. 直线与圆C：相交于M，N两点，则______．
13. 设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为__________.
14. 在中，，则__________；若为所在平面内的动点，且，则的取值范围是__________.
15. 已知函数若方程有三个不等的实根，则实数的取值范围是__________；函数的零点个数是__________.
三､解答题：本大题共5题，共5分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 在中，角所对的边分别为，且，.
（1）求角大小；
（2）求角的大小；
（3）求的值.
17. 如图，在正方体中，为棱上一点（不含端点），为棱的中点.
（1）若为棱的中点，
（i）求直线与平面所成角的正弦值；
（ii）求平面和平面的夹角的余弦值；
（2）求直线与所成角余弦值的取值范围.
18. 设椭圆经过点，且其左焦点坐标为.
（1）求椭圆方程；
（2）对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值.
19. 已知正项等比数列满足，数列前项和为，当时，.
（1）求的通项公式：
（2）证明等差数列，并求；
（3）设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围.
20. 已知函数，且函数与有相同的极值点.
（1）求实数的值；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求证：.