2022-2023学年四川省绵阳市南山中学实验学校高三下学期3月月考数学（文）试题含答案

绵阳南山中学实验学校高2020级高三下3月月考文科数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据自然数定义可得集合，根据交集定义可得结果.【详解】，.故选：C.2. 已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】根据题意求出复数，即可确定点的位置.【详解】由可知，，所以复数在复平面内对应的点的坐标为，故点位于第四象限，故选：D.3. “关于的不等式的解集为R”的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解集为R求得，于是可得其成立的必要不充分条件.【详解】解：关于的不等式的解集为R，则，解得，所以“关于的不等式的解集为R”的一个必要不充一个分条件“”.故选：B.4. 下列函数，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性与奇偶性逐项分析判断.【详解】对于A：，即，则的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，A不符合题意；对于B：的定义域为，由，可知为偶函数，B不符合题意；对于C：的定义域为，由，可知为奇函数，在上单调递增，但在定义域内不是单调函数, C不符合题意；对于D：的定义域为，由，可知为奇函数, 在定义域内单调递增，D符合题意. 故选：D.5. 已知实数，满足，则的最大值为（ ）.A. 2 B. 3 C. 12 D. 15【答案】C【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最大值作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影四边形，其中点，目标函数，即，表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画直线，平移直线到直线，当直线过点A时，直线的纵截距最大，z最大，所以故选：C6. 已知甲，乙两名运动员进行射击比赛，每名运动员射击10次，得分情况如下图所示．则根据本次比赛结果，以下说法正确的是（ ）A. 甲比乙的射击水平更高B. 甲的射击水平更稳定C. 甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数D. 甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数【答案】B【解析】【分析】计算甲，乙的平均数并比较即可判断A；计算甲，乙的方差并比较即可判断B；求出甲，乙的中位数即可判断C；求出甲，乙的众数即可判断D．【详解】甲的平均数乙的平均数∵，∴乙的射击水平更高，故A错误；甲的方差乙的方差∵，∴甲的射击水平更稳定，故B正确；甲的射击成绩由小到大排列为：，位于第5、第6位的数分别是，所以甲的中位数是；乙的射击成绩由小到大排列为：，位于第5、第6位的数分别是，所以乙的中位数是，故甲射击成绩的中位数与乙射击成绩的中位数相等，故C错误；甲的众数为9，乙的众数为10，故D错误.故选：B.7. 要得到函数图象，只需把函数的图象（ ）A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的正弦公式化简目标函数解析式，利用三角函数图象变换可得出结论.【详解】因，为了得到函数图象，只需把函数的图象向右平移个单位，故选：A.8. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（ ）A. 26 B. 36 C. 48 D. 35【答案】C【解析】【分析】由三视图可得，该几何体是由一个长方体中间挖掉一个圆柱得到的，再根据长方体和圆柱的表面积公式即可得解.【详解】由三视图可得，该几何体是由一个长方体中间挖掉一个圆柱得到的，其中长方体的长为，宽为，高为，圆柱的高为，底面圆的半径为，则.故选：C.9. 某企业为了响应落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备．在过滤过程中，污染物含量M（单位：mg/L）与时间t（单位：h）之间的关系为（其中，k是正常数）．已知经过1h，设备可以过滤掉的污染物，则过滤掉的污染物需要的时间约为（结果精确到0.1h，参考数据：）（ ）A. 3.0h B. 3.3h C. 6.0h D. 6.6h【答案】B【解析】【分析】由题意可得，进而得，利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可.【详解】由题意可知，所以，设过滤的污染物需要的时间为，则，所以，所以.故选：B.10. 已知抛物线的焦点为，准线为，过上的一点作的垂线，垂足为，点，与相交于点．若，且的面积为，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设点，根据给定条件，结合抛物线定义用p表示点A的坐标，再利用三角形面积求出p值作答.【详解】设点，抛物线的焦点，准线，由得：，解得，不妨令点A在第一象限，则，，如图，因为，则，即有点D到x轴距离，，解得，所以的方程为.故选：C11. 已知函数，.若有个零点，则实数的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数零点的定义，利用数形结合思想进行求解即可,【详解】令可得，当时，，当时，的图象与关于轴对称，所以作出函数与函数的图象如图所示： 由图可知，当时，函数与函数的图象有2个交点，此时，函数有2个零点.因此，实数的取值范围是.即实数的最小值为1.故选：D【点睛】关键点睛：利用转化法，把函数零点问题转化为两个函数图象交点问题，再利用数形结合思想进行求解是解题的关键.12. 四面体ABCD的四个顶点都在球的球面上，，，点E，F，G分别为棱BC，CD，AD的中点，现有如下结论：①过点E，F，G作四面体ABCD的截面，则该截面的面积为2；②四面体ABCD的体积为；③过作球的截面，则截面面积的最大值与最小值的比为5：4.则上述说法正确的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理，结合长方体模型、球的几何性质逐一判断即可.【详解】选项①中，如图（1）所示，找的中点，过点E，F，G做四面体ABCD的截面即为面，则 , ，所以四边形为平行四边形，找的中点,连接，因为，所以平面，所以平面， 平面，所以，所以，所以四边形为矩形，，，所以截面的面积，故①正确；选项②中，中，由勾股定理得：，同理，过点 作则，所以由勾股定理得：，所以 ，由选项①可得：平面,所以，，故②错误；选项③中，可以将四面体放入如图（2）所示的长方体中，由题可求得， ，所以外接球的半径 ，截面面积的最大值为；平面截得的面积为最小面积，截面圆的半径，截面积最小为，所以截面面积的最大值与最小值的比为5：4，故③正确. 图（1） 图（2）【点睛】关键点睛：利用长方体模型、结合球的几何性质是解题的关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，满足，，，则_________.【答案】【解析】【分析】根据模长公式及向量的数量积公式求解即可.【详解】由可得，，即，解得：，所以．故答案为：．14. 已知，则_________.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式变形，再借助二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为，则.故答案为：.15. 直线始终平分圆的周长，则的最小值为______．【答案】##【解析】【分析】由题意可得直线过圆心，再将用表示，结合二次函数即可得解.【详解】解：圆化为标准方程：，圆心为，因为直线始终平分圆的周长，所以直线过圆心，则，所以，则，当时，取得最小值.故答案为：.16. 如图，是椭圆与双曲线公共焦点， 分别是、在第二、 四象限的交点，若， 则与的离心率之积的最小值为________．【答案】【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义和对称性，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可.【详解】设椭圆方程为，双曲线方程为，如下图，连接，所以为平行四边形，由得，设，在椭圆中，由定义可知：，由余弦定理可知：，，在双曲线中，由定义可知中：：，由余弦定理可知：，，所以，，当且仅当时取等号，所以， 所以与的离心率之积的最小值为．故答案为：【点睛】关键点睛：在椭圆和双曲线中利用焦点三角形的面积建立等式是解题的关键.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17. 某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（I）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（II）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？ 25周岁以上组 25周岁以下组【答案】（I）（II）没有把握【解析】【详解】 （Ⅰ）由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），记为，，；周岁以下组工人有（人），记为，从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，他们是：，，，，，，，，，其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，它们是：，，，，，，.故所求的概率：（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：所以得：因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”对于独立性检验的考查要求学生会用公式，并且懂得算法过程并懂得结论的给出，应该算容易题，可往往学生会被这么长的题目所吓倒，再加上统计与概率的结合就会变为难点.此题比较容易出现计算和结论上的失误，而造成不必要的失分.【考点定位】 本题主要考查古典概型、抽样方法、独立性检验等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、化归与转化思想等．属于中等难度.18. 已知等差数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，数列的前项和为，若对一切实数，都有，求实数的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式即可求解；(2)结合（1）的结论可得：，利用裂项相消求出，进而得到不等式，解之即可求解.【小问1详解】因为，所以，解得，则，所以．【小问2详解】由（1）知，，则，，所以，解得或，所以的取值范围为．19. 在四棱锥中，，．（1）若，证明：平面平面ABCD；（2）若直线PB与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析； （2）．【解析】【分析】(1)取AD中点为O，连接PO，OC，证明OP⊥AD及OP⊥OC得OP⊥平面ABCD即可；(2)取AD中点为O，连接OP，OB，BD，证明AD⊥平面POB，得到∠PBO为PB与平面ABCD的夹角，解△PBO，求出OB边上高，从而得到P到平面ABCD的距离，从而可求四棱锥的体积．【小问1详解】取AD中点为O，连接PO，OC．∵PA=PD，∴OP⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，，∴∠ODC=120°，在△ODC中，根据余弦定理得，，又，∴，∴，又AD∩OC=O，AD，OC平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，又∵OP平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；【小问2详解】取AD中点为O，连接OP，OB，BD，∵PA=PD，∴OP⊥AD，∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，则OB⊥AD，又∵OB∩OP=O，OB，OP平面POB，∴AD⊥平面POB，则∠BOP为二面角P-AD-B平面角，则∠PBO为PB和平面ABCD的夹角，故∠PBO=30°，且△PBO的OB边上的高h即为P到平面ABCD的距离．又，则在△PBO中，，，又，∴．20. 已知椭圆：的左顶点、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点，直线，斜率分别为，，证明：为定值.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将点代入椭圆方程，且，结合即可求解. （2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，设，，可得，，再由，化简整理即可证明.【详解】（1）由题意可得，解得，.所以椭圆的方程为.（2）证明：由（1）可知，则直线的方程为.联立，得.设，，则，，所以，所以（定值）.【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用韦达定理求出，考查了运算求解能力、推理能力.21. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数存在两个极值点，且恒成立，求实数k的最小值．【答案】（1）答案见解析 （2）【解析】【分析】（1）首先判断函数的定义域为，对参数进行分类讨论利用导函数的正负即可得函数的单调性；（2）根据（1）中的结论可确定有两个极值点时，根据极值点与导函数之间的关系可得，将不等式转化成，整体代换后再进行构造函数并利用导函数判断其单调性求出最值即可求得实数k的最小值为.【小问1详解】又可得定义域为，则，；令，则．①当，即时，恒成立，则，∴在上单调递增；②当，即或时，（ⅰ）当时，是开口向上且过的抛物线，对称轴方程为，则函数有两个零点和（显然），列表如下：（ⅱ）当时，是开口向上且过的抛物线，对称轴方程为，则在上恒成立，从而，在上单调递增．综上所述，当时，函数在区间上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，【小问2详解】由（1）可知，当时，有两个极值点，则是方程的两根，∴，，∴．∴恒成立转化为恒成立．令，不等式转化为，∴，，即．令，则不等式化为．∵，当时，，在上单词递增，∴，即．令，则，当时，，即在单调递增，当时，，即在单调递减；所以，∴，即时，实数k取得最小值为．即实数k的最小值为.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于根据极值点与导函数零点之间关系，将函数的两个极值点看成方程的两根，利用韦达定理将不等式化简后再通过函数同构问题进行构造函数即可实现问题求解.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若曲线上有且只有一个点到直线的距离为，求实数的值.【答案】（1）， （2）或.【解析】【分析】（1）对于直线的参数方程，利用加减消元法可消掉参数，得到普通方程；对于曲线的极坐标方程，两边乘以即可求得其直角坐标方程.（2）求出圆心到直线的距离，然后利用圆的特征可得，即可求出答案【小问1详解】由（为参数，）消去，得，所以直线的普通方程为.由，得.将代入，得，即，所以曲线的直角坐标方程为.【小问2详解】由（1）知曲线是圆，其圆心为点，半径为1，所以圆心到直线的距离为，所以，则，所以或，解得或.故实数的值为或. [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，正实数，，满足，求证： ．【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将的解析式写出分段函数的形式，解不等式即可.（2）先求的最小值，方法1：运用多个绝对值之和最小值求法，方法2：运用函数单调性；再运用“1”的代换与基本不等式可证得结果.【小问1详解】即：①当时，，解得；②当时，，解得；③当时，，无解，综上：不等式的解集为．【小问2详解】方法1：，当且仅当时等号成立．所以，所以，即.方法2：由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，所以,所以，即.∴，乙射击环数678910频数122230.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828生产能手非生产能手合计周岁以上组周岁以下组合计x＋0－0＋↗极大值↘极小值↗