2024届北京市西城区北师大二附中高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届北京市西城区北师大二附中高三上学期期中数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用并集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，因此，.
故选：D.
2．复数的共轭复数（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先利用复数的除法得到复数z，再求共轭复数.
【详解】解：因为复数，
所以，
所以，
故选：B
3．已知向量．若∥，则（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】由两向量共线直接列方程求解即可
【详解】因为，且 ∥，
所以，解得，
故选：D
4．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性，基本初等函数的单调性，逐项判断即可.
【详解】对于A，函数为奇函数，但在定义域上函数不单调，故A不符合；
对于B，的定义域为，，则为偶函数，故B不符合；
对于C，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上均为增函数，故在上为增函数，故C不符合；
对于D，的定义域为，，则为奇函数，又函数在上为减函数，在上为增函数，故在上为减函数，故D符合.
故选：D.
5．记，那么
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】,
,从而，
，
那么，
故选B．
6．已知两点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值是（ ）
A．8B．6C．D．4
【答案】D
【分析】求出圆心坐标和半径，可得圆心到直线的距离，求得圆上的点到直线距离的最小值，从而得三角形面积最小值．
【详解】解：圆 即，
圆心，半径是．
直线的方程为，
圆心到直线的距离为，
直线和圆相离，
点到直线距离的最小值是 3 ，
的面积的最小值为
故选：D．
7．函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由五点作图知，，解得，，所以，令，解得＜＜，，故单调减区间为（，），，故选D.
【解析】三角函数图像与性质
8．若，则“”的一个充分不必要条件是
A．B．
C．且D．或
【答案】C
【详解】，
∴，当且仅当 时取等号.
故“且 ”是“”的充分不必要条件.选C．
9．已知函数，是的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性概念判断A，根据导函数值域判断B，利用特例法排除选项C，利用指数运算及指数函数的单调性结合不等式的性质即可判断D.
【详解】对于A，易知，，
所以，所以，错误；
对于B，因为，所以，
由知，错误；
对于C，，，
虽然，但是，
故对，不恒成立，错误；
对于D，函数，
则，，
因为，所以，所以，
所以，所以，
即，所以，
所以，
又，
所以，
所以，
即，
所以，正确.
故选：D
10．设数列的前n项和为，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得，下列正确命题的个数是（ ）
①可能为等差数列；
②可能为等比数列；
③均能写成的两项之差；
④对任意，．总存在，．使得．
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】对于①,取,可知①正确;对于②,当的公比时,不存在正整数,当时,即无有理数根,可知②错误;对于③,根据,可知③正确;对于④取数列,显然不存在,使得,故④不正确.
【详解】对于①，取等差数列,易验证其满足要求,①正确.
对于②,若为等比数列,设公比为,显然不满足要求,
考虑的情况,依题意,应有,
即
,
两式相除,得.
若,则取为奇数,那么,所以,
所以.
当足够大时,显然不成立;
若,则,
因为,所以当足够大时,
可以使,故也不成立.从而知②错误;
对于选项③,取,则 ,所以,
当时,,故③正确.
对于选项④, 取数列, 显然不存在,使得,故④错误.
故选：C
二、填空题
11．函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：，
所以该函数的定义域为，
故答案为：
12．已知，，，，，则 .
【答案】13
【分析】根据向量减法几何意义，向量模的定义，结合勾股定理计算．
【详解】由题意是直角三角形，，
故答案为：13.
13．能够说明“恒成立”是假命题的一个的值为 .
【答案】0
【分析】不等式恒成立等价于恒成立，因此可构造函数，求其最值，从而找到命题不成立的具体值．
【详解】设函数，则有
，
当时，有，单调递减；
当时，有，单调递增；
故为最小值点，有．
因此，当时，命题不能成立．故能够说明“恒成立”是假命题的一个x的值为0
【点睛】说明一个命题为假命题，只需举出一个反例即可，怎样找到符合条件的反例是关键．在处理时常要假设命题为真，进行推理，找出命题必备条件．
14．《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，被誉为人类科学史上应用数学的最早巅峰.全书分为九章，卷第六“均输”有一问题：“今有竹九节下三节容量四升，上四节容量三升问中间二节欲均容各多少?”其意思为：“今有竹节，下节容量升，上节容量升使中间两节也均匀变化，每节容量是多少?”这一问题中从下部算起第节容量是 升.(结果保留分数)
【答案】
【分析】记从下部算起第节的容量为，可知数列为等差数列，利用等差数列通项公式可构造关于的方程组，解方程组求得后，利用通项公式可求得.
【详解】记从下部算起第节的容量为，
由题意可知：数列为等差数列，设其公差为，
则，解得：，
，即从下部算起第节容量是升.
故答案为：.
15．设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
三、解答题
16．在中，．
(1)求A；
(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)或；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由正弦定理边化角可得，即可求出结果；
（2）若选①：根据已知可得为钝角，则为锐角，，三角形唯一，根据两角和的正弦公式可求出，根据正弦定理求出的值，根据即可求出面积；若选②：根据正弦定理可求出，为直角，三角形唯一确定，可求出，即可求出；若选③：由，可知或，有两解.
【详解】（1）由可得，.
因为，所以，又，所以或.
（2）若选①：.
因为，所以为钝角，为锐角，
又，
又，所以，即，所以存在且唯一确定.
则，由可得.
.
根据正弦定理可得，，
所以；
若选②：.
因为，所以，由正弦定理可得，，
因为，所以，所以存在且唯一确定.
则，所以，；
若选③：.
因为，所以，此时或，
所以，此时存在但不唯一.
17．已知以点为圆心的圆与直线：相切，过点的动直线l与圆A相交于、两点.
(1)求圆A的方程；
(2)当时，求直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意结合点到直线的距离公式求圆的半径，即可得圆的方程；
（2）先求圆心到直线l的距离，在结合点到直线的距离公式求直线l的斜率，注意讨论直线l的斜率是否存在.
【详解】（1）点到直线：的距离为，
即圆A的圆心，半径，故圆A的方程为.
（2）设圆心到直线l的距离为，则，解得，
当直线l的斜率不存在时，则，此时圆心到直线l的距离为，符合题意，成立；
当直线l的斜率存在时，设为，则，即，
∵，解得，
∴直线l：；
综上所述：直线l的方程为或.
18．某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成其中2题便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是，且每题正确完成与否互不影响，求：
(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
(2)试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.
【答案】(1)甲分布列见解析，；乙分布列见解析，；
(2)答案不唯一，见解析.
【分析】（1）由题意可知，甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数分别服从超几何和二项分布，分别列出分布列，计算均值即可；
（2）结合分布列中的数据，分别计算对应的均值、方差及至少正确完成2题的概率比较即可.
【详解】（1）设考生甲正确完成实验操作的题数为，则的取值范围是，
，，，
所以的分布列为
则.
设考生乙正确完成实验操作的题数为，易知，
所以，，
，.
所以的分布列为
所以.
（2）由（1），知，，
，，．
所以，，
故从正确完成实验操作的题数的均值方面分析，两人水平相当；
从正确完成实验操作的题数的方差方面分析，甲的水平更稳定；
从至少正确完成2题的概率方面分析，甲通过的可能性更大.因此甲的实验操作能力较强.
19．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x万件，需另投入流动成本为万元．在年产量不足8万件时，万元；在年产量不小于8万件时，万元，每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．
(1)写出年利润万元关于年产量x万件的函数解析式；(注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元
【分析】（1）根据已知，分以及，分别求解，即可得出函数解析式；
（2）分为以及两种情况，根据二次函数的性质以及基本不等式，即可得出答案.
【详解】（1）因为每件产品售价为5元，则x（万件）商品销售收入为5x万元，依题意得：
当时，，
当时，，
∴．
（2）当时，，
当时，取得最大值9；
当时，，
此时，当即时，取得最大值.
综上所述，年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元.
20．已知函数，
(1)若，求函数的极值；
(2)设函数，求函数的单调区间；
(3)若存在，使得成立，求a的取值范围．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)单调递增区间为，单调递减区间为.
(3)
【分析】（1）研究的单调区间，进而求出的极值；（2）先求，再解不等式与，求出单调区间，注意题干中的的条件；（3）先把题干中的问题转化为在上有，再结合第二问研究的的单调区间，对a进行分类讨论，求出不同范围下的，求出最后结果
【详解】（1）当时，，定义域为，
令得：，当时，，单调递增；当时，，单调递减，故是函数的极小值点，的极小值为，无极大值
（2），定义域为
因为，所以，令得：，令得：，所以在单调递增，在单调递减.
综上：单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）存在，使得成立，等价于存在，使得，即在上有
由（2）知，单调递增区间为，单调递减区间为，所以
当，即时，在上单调递减，故在处取得最小值，由得：，因为，故.
当，即时，由（2）知：在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为
令
因为，所以，则，即，不满足题意，舍去
综上所述：a的取值范围为
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
21．已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j，使得，其中．令为满足的所有i中的最大值，为满足的所有j中的最小值．
(1)若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值；
(2)若是无穷等比数列，，公比q是大于1的整数，，求q的值；
(3)若是无穷等差数列，，公差为，其中m为常数，且，求证：和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)证明见解析，，
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）由等比数列的通项公式写出的通项，由题意列式后解指数型方程可得结果；
（3）由等差数列的通项公式写出的通项，用定义法证明等差数列即可.
【详解】（1）∵，，，，
又∵，，
∴且，且，
∴，
（2）由题意知， ，∴，且，
∵，
∴，
∴
∴，且，
同理：，且，，且，
又∵，
∴，
即：，且，
∵，
∴，
∴，
∴当时，，当时，，
同理：当时，，当时，，
又∵，，且，
∴，，，
解得：或
（3）证明：由题意知，，m为常数，且且，
∴为单调递增数列，
又∵，，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，且且，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
又∵m为常数，且，
∴为等差数列， 为等差数列，
又∵，，
∴ ，
1
2
3
0
1
2
3