2024届广东省广州市三校（铁一、广外、广大附中）高三上学期11月期中联考数学试题含答案

这是一份2024届广东省广州市三校（铁一、广外、广大附中）高三上学期11月期中联考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解出集合,按照集合的交运算法则进行运算即可.
【详解】因为，
集合，
所以，
故选：
2．设，则=（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】对复数进行运算化简得，再进行模的计算，即可得答案；
【详解】，
故选：B.
【点睛】本题考查复数模的计算，考考运算求解能力，属于基础题.
3．设某批电子手表正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行测试，设第X次首次测到正品，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品，列出算式求得结果.
【详解】表明前两次抽到的都是次品，第三次抽到的是正品.
故，
故选：C.
4．设为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
【详解】因为在方向上的投影向量为，
所以，
所以有，
故选：D
5．设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性、对数函数的单调性以及正切函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.
【详解】，又指数函数是单调递增函数，
，即，
函数在上单调递增，
，
所以，即.
对数函数是单调递增函数，
，即
，
故选：C．
【点睛】方法点睛：解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.
6．公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则（ ）
A．B．C．4D．8
【答案】C
【分析】根据给定的定义，利用锐角三角函数的定义转化为角的正余弦，再利用二倍角公式、辅助角公式求解作答.
【详解】依题意，角可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义及已知得，
所以.
故选：C
7．双曲线E：的一条渐近线与圆相交于若的面积为2，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】求出双曲线的渐近线方程，由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，进一步求得弦长，利用三角形面积公式列式求解．
【详解】双曲线的一条渐近线：，
与圆相交于两点，圆的圆心，半径为2，
圆心到直线的距离为：，弦长|
可得：，
整理得：，即，
解得双曲线的离心率为．
故选：C．
【点睛】此题考查求双曲线离心率，关键在于熟练掌握双曲线与圆的几何性质，构造齐次式求解离心率.
8．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】化简函数f（x），根据f（x）在区间上单调递减，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范围．
【详解】由函数，
且f(x)在区间上单调递减，
∴在区间上,f′(x)=−sin2x+3a(csx−sinx)+2a−1≤0恒成立，
∵设，
∴当x∈时,,t∈[−1,1]，即−1≤csx−sinx≤1，
令t∈[−1,1],sin2x=1−t2∈[0,1]，
原式等价于t2+3at+2a−2≤0，当t∈[−1,1]时恒成立，
令g(t)=t2+3at+2a−2，
只需满足或或，
解得或或，
综上，可得实数a的取值范围是，
故选：A.
【点睛】本题考查三角函数的公式及导数的应用，解题的关键是利用换元将不等式恒成立问题转化为一元二次不等式恒成立问题，属于较难题.
二、多选题
9．下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，则
B．命题的否定是：
C．若且，则
D．若，则实数
【答案】AB
【分析】对A，根据不等式的性质推导即可；对B，根据特称命题的否定为全称命题判断即可；对C，利用作差法判断即可；对D，举反例判断即可.
【详解】对A，，则，又，则，，故A正确；
对B，命题的否定是：，故B正确；
对C，，因为且，故，即，故C错误；
对D，当，时，不成立，故D错误；
故选：AB
10．已知某圆锥的母线长为，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中正确的有（ ）
A．圆锥的体积为
B．圆锥的表面积为
C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形
D．圆锥的内切球表面积为
【答案】ACD
【分析】根据勾股定理求出圆锥的底面半径，再由圆锥的体积公式以及表面积公式可判断A、B、C；根据球的表面积公式可判断D.
【详解】
由题意圆锥的底面半径，圆锥的高，
所以圆锥的体积，故A正确；
圆锥的表面积，故B错误；
圆锥的侧面展开图是圆心角，故C正确；
，
作出圆锥内切球的轴截面，设圆锥的内切球半径为，
四边形为正方形，
所以，解得，
圆锥的内切球表面积，故D正确.
故选：ACD
11．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），为线段的中点.若，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．过两点作抛物线的切线，两切线交于点，则点在以为直径的圆上
C．若为坐标原点，则
D．若过点且与直线垂直的直线交抛物线于，两点，则
【答案】BD
【分析】对于A：利用韦达定理以及焦半径公式解方程即可；对于B：利用导数的几何意义求出，然后将代入计算即可；对于C：利用韦达定理以及焦半径公式求出，
，，进而可求点的坐标；对于D：将中的斜率换成可求得，进而可得.
【详解】对于A：由已知设过点的直线方程为，，
联立方程，消去得，
可得，
又因为，所以，
则，解得,
所以抛物线方程为，准线方程为，A错误；
对于B：抛物线，即，，
易得，
所以，
故直线垂直，所以点在以为直径的圆上，B正确；
对于C：由A项知，抛物线，直线的方程为，
，
联立方程，消去得，
可得，，
，
解得，
所以，
所以，
所以，即，
所以，C错误；
对于D：由C选项知，，
因为直线垂直于直线，
所以
则，D正确.
故选：BD.
12．分形几何学是数学家伯努瓦·曼德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义.按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：
记图乙中第行白圈的个数为，黑圈的个数为，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．当时，均为等比数列D．
【答案】BCD
【分析】由图示可知，，，，即可联立方程组判断出当时，，也可解出的通项公式，代入通项公式即可求得剩下的选项.
【详解】由题意可知，，，，且有，故，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列，是以1为首项，1为公比的等比数列，故C选项正确；
由是以1为首项，3为公比的等比数列，是以1为首项，1为公比的等比数列，
则，，所以解得
，故B选项正确；
，故D选项正确；
，故A选项错误.
故选：BCD
三、填空题
13．今年3月23-24日东华港澳台高三年级与外校进行了一次联合联考模拟考试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀.若此次联考共有900名学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是 .
【答案】135
【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得 ，乘以总人数即可得出答案.
【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为，
因为，所以，
则数学成绩为优秀的人数是.
故答案为：135.
14．的展开式中的系数是 （用数字作答）
【答案】27
【分析】先求展开式中和项，然后与相乘、合并可得.
【详解】的第项为，
令，，得，，
代入通项可得展开式中的和项分别为：和，分别与和相乘，
得的展开式中项为，故的系数为27.
故答案为：27
15．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°的方向逃窜，缉私船要最快追上走私船，所需的时间约是 分钟．（注：）
【答案】15
【分析】由已知条件，先解，利用正余弦定理得及为东西走向，再解，利用利用正弦定理得，进而得到，利用路程与速度的比即可求时间.
【详解】设缉私艇最快在处追上走私船，追上走私船需t小时，
则，，
∴在中，已知,,
，
由余弦定理得，
，即，
由正弦定理得，
则，
，
∴为东西走向，，
在中，由正弦定理得，
则，且为锐角，
∴，
即，∴小时，即分钟.
故答案为：.
16．已知函数，若方程有3个不同的实根，，（），则的取值范围是 .
【答案】
【分析】运用导数研究函数单调性进而可画出其图象，即可得及范围，将问题转化为求在上的值域，结合导数即可求得结果.
【详解】因为，所以，
令得或，
或，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，当x趋近于负无穷时，趋近于零，
所以的图象如图所示，
所以若方程有3个不同的实根，则，
又因为，，
所以，
不妨令，，则，
，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，，
所以，
所以.
故答案为：.
四、解答题
17．如图，已知直线，是，之间的一定点，并且点到，，的距离分别为和2.，分别是直线，上的动点，且，设.

(1)写出面积关于的函数解析式；
(2)求函数的最小值及相对应的的值.
【答案】(1)，；
(2)当时，取得最小值．
【分析】（1）由直角三角形的锐角三角函数的定义和三角形的面积公式得函数解析式；
（2）由三角函数的和差公式化简函数解析式，结合正弦函数的性质，可得所求最小值．
【详解】（1），，
又，，，则，
中，，中，，
，；
（2）
，
，，
当，即时，取得最小值为．
18．如图，在三棱锥中，平面，，，，，分别是，，，的中点，，与交于点，与交于点，连接．
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【分析】（1）根据三角形中位线即可得，利用线面平行的性质定理，证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量解决即可；
（3）结合（2）中的建系，直接根据点到平面的向量公式计算即可.
【详解】（1），，，分别是，，，的中点，
所以，，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
又因为平面，平面平面，
所以，又因为，所以.
（2）因为，平面，所以两两垂直．
以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由，则，
所以，.
设平面的一个法向量为，则可取
设平面的一个法向量为，由，，
得，取，得．
所以，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
（3）由点到平面的距离公式可得，点到平面的距离为，
19． 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足求.
【答案】（I），；
（II）
【分析】（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；
（II）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.
【详解】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意，得，解得，
故，，
所以，的通项公式为，的通项公式为；
（II）
，
记 ①
则 ②
②①得，，
所以
.
【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.
20．根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
其中，.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子（），事件表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多.）
(1)为了调控未来人口结构，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等），是否存在的值使得，请说明理由；
(2)若，求，并根据全概率公式，求.
【答案】(1)不存在的值使得，理由见解析
(2)，
【分析】（1）由概率之和为1和期望公式得到方程组，联立得到，令，，求导得到其单调性和极值，最值情况，从而得到答案；
（2）由和求出，并用全概率公式求出.
【详解】（1）不存在的值使得，理由如下：
由题意得，①，
且②，
由②得到，将其代入①，整理得到，
令，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
又，
故无解，
所以不存在的值使得；
（2）若，则，解得，
，，，
由全概率公式可得，
因为，，所以.
21．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，证明：
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数的性质，结合导函数零点的大小关系分类讨论进行求解即可.
（2）利用分析法，结合构造法、换元法，利用导数的性质进行证明即可.
【详解】（1）
令，
当时，，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，一元二次方程的判别式为，
当时，方程有一个正根，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增；
当时，方程有两个正根，分别为，
当，或时，，
当时，，
所以在，上单调递减，在上单调递增；
当时，恒成立，所以在上单调递减；
（2）要证
只需证
只需证
只需证
只需证
设，则需证
只需证，
由（1）知，，
所以只需，
即证，
令，，则恒成立，
所以当时，在上单调递增，所以，
所以，成立，因此，原不等式得证．
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用分析法、换元法、构造新函数法进行证明.
22．设动点M与定点的距离和M到定直线l：的距离的比是．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当时，记动点M的轨迹为，动直线m与抛物线：相切，且与曲线交于点A，B．求面积的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据题意得到方程，分，和三种情况，得到轨迹方程及轨迹的形状；
（2）直线斜率不存在，不合要求，设直线，联立，由得到，联立，由根的判别式大于0求出，设得到两根之和，两根之积，表达出，换元后构造，求导后得到极值和最值，求出答案.
【详解】（1）设，则，
化简得，，
当时，，轨迹为一条直线；
当时，，此时轨迹为焦点在轴上的椭圆；
当时，，此时轨迹为焦点在轴上的双曲线；
综上：当时，轨迹方程为，轨迹为一条直线，
当时，轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的椭圆；
当时，轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线；
（2）当时，，

当直线斜率不存在时，又与相切，故此时直线，此时三点共线，不合要求，舍去，
设直线，联立得，
由得，显然，
联立得，，
由，结合，解得，
设，
则，
设直线与轴交于点，则，
则
，
将代入得，
因为，令，则，
，
设，则设，则
，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
故最大值为.
圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
1
2
3
0
概率