2024届江苏省南通市海安市高三上学期期中学业质量监测数学试题含答案

这是一份2024届江苏省南通市海安市高三上学期期中学业质量监测数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据补集的定义和运算即可求解.
【详解】由题意知，，
又，
所以.
故选：B.
2．已知终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义及余弦的二倍角公式计算即可.
【详解】由题意可知，则，
故选：B.
3．在中，为的中点，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意作图，结合向量的运算，可得答案.
【详解】
，
故选：A.
4．已知复数满足，当的虚部取最大值时，（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，令，由条件可得，代入计算，即可得到结果.
【详解】令，，则，，∴，∴，，∴，
故选：B.
5．已知函数的图象关于点对称，方程在上有两个不同的实根，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的对称性，求出，确定函数解析式，再由的范围，得到的范围，在上有两个不同的实根，，可得的范围及的最大值.
【详解】因为关于对称，
所以，，
则，
又因为，所以，
所以，
当时，，
要使方程在上有两个不同的实根，，
则，且，
所即.
故选：D
6．在四边形中，，，则的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】设结合图象，运用数量积运算将转化为，再利用倍角公式，辅助角公式转化为，根据正弦函数的性质求最大值即可.
【详解】
设，则,，
因为，所以，
故，所以，
即的最大值为.
故选：C
7．已知数列的通项公式为，若，当数列的前项和取最大值时，（ ）
A．29B．32C．33D．34
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得，，即可得到结果.
【详解】因为，令，则，
所以当时，，当时，，
则，，
，，
，，
则当时，，当时，，
所以只需要考虑的大小即可；
，则，
，则，
，则，
所以当时，取最大值.
故选：C
8．设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数利用导数研究其单调性比大小即可.
【详解】令，，
∴，
∴在上单调递增，，∴；
令，，，
设，，则，即单调递减，
∴
∴，即在单调递减，故，
∴，∴.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是观察各式子的形式，构造函数与，从而利用导数即可得解.
二、多选题
9．若，则下列结论正确的是（ ）
A．B．若，则或
C．D．若，则或
【答案】ACD
【分析】根据复数的几何意义和共轭复数的定义，结合复数的乘法运算依次判断选项即可.
【详解】A：设，
则，
所以，
又，所以，故A对；
B：设，满足，此时且，故B错；
C：设，，，
，，
，所以，故C对；
D：若，则或，故D对.
故选：ACD.
10．已知，，，，下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，且，均为锐角，则
【答案】ABD
【分析】利用平面向量的坐标表示及诱导公式、同角三角函数的关系、余弦的和角公式计算即可.
【详解】由题意可知：，，，
对于A项，若，则，，故A对；
对于B项，若，则，故B对；
对于C项，易知：，，
若，则，
故C错；
对于D项，，则，
则，平方相加得，∴，故D对，
故选：ABD.
11．设奇函数与偶函数的定义域均为，且在区间上都是单调增函数，则（ ）
A．不具有奇偶性，且在区间上是单调增函数
B．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不能确定
C．是奇函数，且在区间上是单调增函数
D．是偶函数，且在区间上的单调性不能确定
【答案】ABD
【分析】根据，的单调性和奇偶性逐项判断即可.
【详解】，在区间上都是单调增函数，单调增，单调性没有办法确定，C错.
因为为奇函数，为偶函数，所以不具有奇偶性，A，B正确.
，所以为偶函数，
令，设任意，则，而所在区间无法确定，
故的正负无法判断，所以单调性不能确定，D正确.
故选：ABD.
12．已知数列满足，且，则（ ）
A．为递增数列
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】作差比较大小判断单调性判断A；推导得，计算判断B；利用裂项相消法求和判断C；借助基本不等式及等比数列前n项和公式计算判断D.
【详解】显然，而，则，，
又，即有与同号，而，则，
对于A，，即，为递增数列，A正确；
对于B，，则，
因此，B正确；
对于C，由，得，即，
因此，C正确；
对于D，，因此（当且仅当时取等号），
所以，D错误.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.
三、填空题
13．设为实数，若向量，，且与共线，则 .
【答案】/
【分析】根据共线向量的坐标公式，可得答案.
【详解】，，与共线，
则，则.
故答案为：.
14．已知函数的减区间为，则 .
【答案】3
【分析】根据题意，转化为的解集为，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，解集为，则.
故答案为：3
15．设等差数列的前项和为，且，是等比数列，满足，则 .
【答案】
【分析】根据已知条件，先求得，进而求得，从而求得.
【详解】设等比数列的公比为，
为等比数列，为等差数列，，则的等比数列，
，∴，则，∴，，
，∴，.
故答案为：
16．已知函数在，处分别取得极大值和极小值，记点，，的图象与轴正半轴的交点为.若的外接圆的圆心在以为直径的圆上，则 .
【答案】/
【分析】方法一：由题意求得点的坐标，利用待定系数法求得圆的方程，结合向量的运算，建立方程，可得答案；
方法二：由题意求得点的坐标，利用几何法求得圆的方程，结合向量的运算，建立方程，可得答案.
【详解】方法一：
，或；，或.
的图象与轴正半轴交点为，则，.
在和单调递增，单调递减，且，，
外接圆：，，
∴，圆心，在以为直径的圆上.
∴，∴，
∴，∴.
方法二：∵的图象与轴正半轴交于，∴，大致图象如下图：
∴，，令，解得或，
∴，，∴，，
故中垂线方程：，中垂线方程，
∴，则，，
∴，
∴.
故答案为：.
四、解答题
17．在中，角，，的对边分别为，，，.
(1)证明：；
(2)求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式、余弦定理化简已知条件，从而证得成立.
（2）利用余弦定理以及基本不等式来求得的最小值.
【详解】（1）∵，
∴，
，
.
（2），
当且仅当即，时取“=”，
所以的最小值为.
18．如图，是边长为2的正三角形的中位线，将沿折起，使得平面平面.
(1)求四棱锥的体积；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，求出底面积，求出四棱锥的体积；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出两平面的夹角余弦值.
【详解】（1）取中点，连接，
∵是边长为2的正三角形的中位线，
∵为等边三角形，，，
∴，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴⊥平面，
其中四边形为梯形，梯形的高为，
故面积为，
∴.
（2）取的中点，连接，则⊥，
因为⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，故，，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
∴，，，，，
∴，，，，
设平面与平面的一个法向量分别为，，
，
令，则，，则，
，
令，则，则，
设平面与平面夹角为，
∴.
19．设等比数列的首项为2，公比为，前项的和为，等差数列满足.
(1)求；
(2)若，，求数列前项的和.
【答案】(1)或1
(2)
【分析】（1）由题意，根据等比数列的通项公式表示出，结合等差中项的应用建立方程，解之即可求解；
（2）由（1）得，求出，进而求出，则，结合分组求和法即可求解.
【详解】（1）∵为等差数列，
∴，而，
，
，
∴，解得或1.
（2）由（1），∵，∴，
∴，，
∴，
当为奇数时，，，，
当为偶数时，，，，
∴，
∴
.
20．环境监测部门为调研汽车流量对空气质量的影响，在某监测点统计每日过往的汽车流量（单位：辆）和空气中的PM2.5的平均浓度（单位：）.调研人员收集了50天的数据，汽车日流量与PM2.5的平均浓度的标准差分别为252，36，制作关于的散点图，并用直线与将散点图分成如图所示的四个区域I、II、III、IV，落入对应区域的样本点的个数依次为6，20，16，8.
(1)请完成下面的2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为PM2.5平均浓度不小于与汽车日流量不小于1500辆有关；
(2)经计算得回归方程为，求相关系数，并判断该回归方程是否有价值.
参考公式：①，其中.
②回归方程，其中.
③.若，则与有较强的相关性.
【答案】(1)表格见解析，有
(2)0.84，该回归方程有价值.
【分析】（1）根据题意，完善2×2列联表，再由的计算公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由的计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）2×2列联表如下：
∴
∴有99%的把握认为PM2.5平均浓度不小于与汽车日流量不小于1500辆有关.
（2），
而，，
∴.
∵，∴与有较强的相关性，∴该回归方程有价值.
21．已知双曲线的右顶点为A，过点且斜率为的直线与的左、右支分别交于点，.
(1)若，求；
(2)若直线，与轴分别交于点，，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线方程与双曲线方程求出的横坐标，然后由直线的线段长公式（弦长公式）求得结论；
（2）设直线方程为，，，直线方程与双曲线方程联立方程组后，消元，由交点在左右两支求得的范围，应用韦达定理得，求出的纵坐标，计算，由已知可求得值．
【详解】（1）直线方程为，即
，∴，，∴.
（2）设直线方程为，，，.
∴，，
，
，，
直线方程：，令，同理，
∴
.
22．已知函数.
(1)若是函数的极小值点，求证：；
(2)若，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）根据极值点得到，构造，求导计算最值得到在上单调递增，在上单调递减，得证证明；
（2）确定故，得到，根据（1）的结论得到答案.
【详解】（1），是的极小值点，则，解得，
，
设，，
设，则，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；
故，，
设，，则，函数单调递增，故，
即时，，
当时，，在上单调递增，，
即在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
故在上单调递增，在上单调递减，
是函数的极小值点，且.
（2）恒成立，故0为的一个最小值点，函数连续，故也为极小值点，
故，，
当时，根据（1）恒成立，
综上所述：.
汽车日流量
汽车日流量
合计
PM2.5的平均浓度
PM2.5的平均浓度
合计
0.100
0.050
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
汽车日流量
汽车日流量
合计
PM2.5的平均浓度
16
8
24
PM2.5的平均浓度
6
20
26
合计
22
28
50