2024届山东省淄博市高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届山东省淄博市高三上学期期中数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】，所以.
故选：A
2．已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由，可得，
所以复数的虚部为.
故选：B.
3．命题“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解绝对值不等式求的解，根据充分、必要性定义判断的充分不必要条件.
【详解】由，解得或，
、、均不是的充分不必要条件，
是的一个充分不必要条件.
故选：D
4．数列满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，列出数列的前几项，得到数列为周期数列，然后根据周期性求.
【详解】因为数列满足，
所以，，，，
则是以4为周期的周期函数，
所以，
故选：C.
5．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】D
【分析】先通过条件得到三点共线，进而根据O为的外心得到，且O为斜边的中点，再利用投影向量的定义结合已知可得.
【详解】，
，即，
又O为的外心，则,
,
则
即，且O为斜边的中点，过作的垂线，垂足为，
向量在向量上的投影向量为，
，
.
故选：D.
6．杭州亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目，共设杭州赛区、宁波赛区、温州赛区、金华赛区、绍兴赛区、湖州赛区，现需从6名管理者中选取4人分别到温州，金华、绍兴、湖州四个赛区负责志愿者工作，要求四个赛区各有一名管理者，且6人中甲不去温州赛区，乙不去金华赛区，则不同的选择方案共有（ ）
A．108种B．216种C．240种D．252种
【答案】D
【分析】根据题意，分为：甲乙都未选中、甲选中且乙未选中、甲未选中且乙选中和甲乙都选中，四类情况讨论，结合分类计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，可分为四类：
①当甲乙都未选中，则不同的选择方案有种；
②当甲选中，乙未选中，则不同的选择方案有种；
③当甲未选中，乙选中，则不同的选择方案有种；
④当甲乙都选中，则由中选法，先安排甲，再安排乙，
若甲去了金华赛区，则有；若甲未去金华赛区，则有，
则不同的安排方案有种，
由分类计数原理，可得共有种不同的安排方案.
故选：D.
7．已知函数是R上的偶函数，，当时，，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．4是的一个周期
C．D．
【答案】A
【分析】易得为奇函数，利用函数的周期性与奇偶性结合选项逐个判断即可.
【详解】函数是R上的偶函数,，
当时，有，当时，，
故为奇函数，
对于A：，，
从而，
，
即的图象关于直线对称，A正确；
对于B：，
即，，
， 是以为周期的函数，
若周期为4，则，但，故B错误；
对于C：，C错误；
对于D：当时，均为单调递增函数，在上单调递增，
又为奇函数，在上单调递增，
又，
，D错误.
故选：A.
8．设函数有7个不同的零点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分段函数分段处理，在，各有1个零点，所以有5个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证之间有5个零点即可.
【详解】由题，当时，，显然在上单调递增，且，，此时在在有一个零点；
当时，，，所以在上单调递减，
，此时在上只有一个零点；
所有当时，有5个零点，令，则，即，或，Z，
解得，或，Z，
当时，；当时，；
当时，；
由题可得区间内的5个零点，即，
解得，即.
故选：C.
【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.
二、多选题
9．教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动，家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素．了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养，增强体质健康管理的意识和能力，某学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100名男生的体重情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则（ ）
A．样本的众数为B．样本的80%分位数为72
C．样本的平均值为66D．该校男生中低于60公斤的学生大约为300人
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，利用频率分布直方图计算众数，判断A，求出样本的80%分位数，判断B;求出平均值，判断C;再计算出该校男生中低于60公斤的学生人数，判断D．
【详解】对于，样本的众数为，故正确;
对于，由频率分布直方图可知样本的80%分位数为 ，故正确，
对于，由直方图估计样本平均值为：
，故错误，
对于，2000名男生中体重低于的人数大约为，故正确，
故选：．
10．正数，满足，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由题意可得，即可判断A；结合指数函数的性质即可判断B；根据基本不等式即可判断C；根据基本不等式中“1”的整体代换即可判断D.
【详解】对于A，因为，，
所以，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
又因为，所以，故C正确；
对于D，，
当且仅当，即时取等号，
所以，
又因为，故D错误.
故选：AC.
11．甲罐中有3个红球，4个黑球，乙罐中有2个红球，3个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，以表示事件“由甲罐取出的球是红球”再从乙罐中随机取出一球，以表示事件“由乙罐取出的球是红球”，则（ ）
A．B．C．事件与事件相互独立D．
【答案】ABD
【分析】根据古典概型的计算公式，相互独立事件的定义，结合条件概率的计算公式逐一判断即可.
【详解】由题意，故A正确；
，故B正确；
，
因为，所以事件与事件不相互独立，故C错误；
，故D正确.
故选：ABD.
12．已知偶函数的周期为，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，下列结论正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于直线对称
C．不等式的解集为
D．在上有两个相异实根
【答案】BCD
【分析】先通过整理化简，利用三角函数的性质求得，再平移可得函数，进而利用三角函数的性质逐一判断选项.
【详解】,
则，解得，，
又为偶函数
所以，即，
又，所以，
所以，其向右平移个单位长度得
，A错误；
，所以函数的图象关于直线对称，B正确；
令解得，C正确；
即，
整理得，根据的图像明显可得方程在有两个相异实根，D正确.
故选：BCD.
三、填空题
13．二项式的展开式中的系数是 .
【答案】40
【分析】先求得二项式的通项公式，再令x的次数为2求解.
【详解】二项式的通项公式为： ，
令，解得，
所以，
所以展开式中的系数是40，
故答案为：40
14．已知向量，，且，则 ．
【答案】
【分析】由，可得，进而可求出，再根据二倍角的正弦公式及商数关系化弦为切即可得解.
【详解】因为向量，，且，
所以，所以，
则.
故答案为：.
15．若项数为n的数列，满足：，我们称其为n项的“对称数列”．例如：数列1，2，2，1为4项的“对称数列”；数列1，2，3，2，1为5项的“对称数列”．设数列为项的“对称数列”，其中，，，是公差为的等差数列，数列的最小项等于，记数列的前项和为，若，则的值为 ．
【答案】5或4
【分析】根据公差可得数列单调性进而可得，进而可得等差数列的通项公式，再结合对称数列的定义列方程求解即可．
【详解】由于，是公差为的等差数列，故，单调递减，所以，
故，则，．
又，故，即，
由等差数列前项和公式有，化简得，
解得或．
故答案为：5或4．
16．若对任意的，，恒成立，则实数的最大值为 ．
【答案】
【分析】将条件变形为，构造函数，问题转化为在上为单调递增函数，求导，利用导函数恒不小于零列式求解即可.
【详解】，，对任意的恒成立
对任意的恒成立
令，
即对任意的，当时，，
则，为单调递增函数，
即在上恒成立，
令，
，
即在上单调递减，
，
.
即实数的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.
①；②；③.
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】答案见解析.
【分析】根据题意，分别选择其中两个作条件，另外一个做结论，利用正余弦定理化简证明即可.
【详解】选①②作条件，③做结论
由②，得：，而sin B > 0，
所以，即，
根据辅助角公式可得，，0 < A < π，
所以，，则，
由①知，，代入可得，，所以，
即：.
选①③作条件，②做结论
由③，得：，，
所以，则，
所以，0 < A < π，所以，
由③知，，
所以，所以，所以，
所以，.
选②③作条件，①做结论
由②，得：，而sin B > 0，
所以，即，
根据辅助角公式可得，，所以，，
由③，，
所以，得：，所以，
所以,，则，，
即：.
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调增区间．
【答案】(1)
(2)和
【分析】（1）求导得到导函数，计算，，得到切线方程.
（2）求导得到导函数，构造，求导确定单调区间，计算最值得到在和上恒成立，得到答案.
【详解】（1），定义域为，
，
，，
故切线方程为，即；
（2）函数定义域为，，
设，，，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递减；
故，恒成立，
即在上恒成立，
函数在和上单调递增.
则函数单调增区间为和.
19．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为弘扬奥林匹克和亚运精神，增强锻炼身体意识，某学校举办一场羽毛球比赛．已知羽毛球比赛的单打规则是：若发球方胜，则发球方得1分，且继续在下一回合发球；若接球方胜，则接球方得1分，且成为下一回合发球方．现甲、乙二人进行羽毛球单打比赛，若甲发球，甲得分的概率为，乙得分的概率为；若乙发球，乙得分的概率为，甲得分的概率为．每回合比赛的结果相互独立．经抽签决定，第一回合由甲发球．
(1)求第三回合甲发球的概率；
(2)设前三个回合中，甲的总得分为，求的分布列及期望．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，期望为
【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式即可求解，
（2）分别求解前三个回合中甲得分的情况，结合独立事件概率乘法公式即可分类求解概率，进而由期望公式即可求解.
【详解】（1）若第三回合甲发球，则前三回合发球的顺序分别为甲甲甲，或者甲乙甲，
故第三回合甲发球的概率为
（2）设甲在第回合得分记为事件乙在第回合得分记为事件 ，
则,此时甲得3分，
，此时甲得2分，
，此时甲得2分，
，此时甲得1分，
，此时甲得2分，
，此时甲得1分，
，此时甲得1分，
，此时甲得0分，
故的分布列为：
故
20．已知公差为d的等差数列和公比的等比数列中，，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)删去数列中的第项（其中，2，3，）将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据等差等比的通项公式列方程组求解；
（2）先确定数列由数列中哪些项构成，然后分奇偶讨论分别求和.
【详解】（1）由已知得，解得，
；
（2）由已知得数列为：，
当为偶数时，
，
当，且为奇数时，
当时，，符合上式.
故
21．为传承和发扬淄博陶瓷，某陶瓷公司计划加大研发力度．为确定下一年度投资计划，需了解年研发资金（亿元）与年销售额（亿元）的关系．该公司对历史数据进行对比分析，建立了两个函数模型：①，②，其中，，，均为常数，为自然对数的底数．
现该公司收集了近12年的年研发资金和年销售额的数据，，2，，12，并对这些数据作了初步处理，得到了散点图及一些统计量的值．令，，经计算得如下数据：
(1)设和的相关系数为，和的相关系数为，请从相关系数的角度，选择一个拟合程度更好的模型；
(2)根据（1）的选择及表中数据，建立关于的回归方程（计算过程中保留到0.001，最后结果精确到0.01）；
(3)为进一步了解人们对新款式瓷器喜爱程度（分为“比较喜欢”和“不太喜欢”）是否跟年龄（分为“小于30岁”和“不小于30岁”）有关，公司从该地区随机抽取600人进行调查，调查数据如下表：
根据小概率的独立性检验，分析该地区对新款式瓷器喜爱程度是否与年龄有关．
附：①相关系数，回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
②，；
③参考数据：．
【答案】(1)模型的拟合程度更好
(2)
(3)该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄有关
【分析】（1）由相关系数求出两个系数，比较大小可得；
（2）先建立关于的线性回归方程，从而得出关于的回归方程；
（3）计算出的值即可得到判断.
【详解】（1），
，
则，因此从相关系数的角度，模型的拟合程度更好
（2）先建立关于的线性回归方程.
由，得，即．
由于，
所以关于的线性回归方程为，
所以，则
（3）零假设为：对新款式瓷器喜爱程度与年龄无关
，
根据小概率独立性检验，可推断不成立，
即该地区对新款式瓷器喜爱程度与年龄有关.
22．已知函数，为实数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：．
【答案】(1)递减区间为，递增区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）求导得到导函数，取得到，在判断导数的正负得到单调区间；
（2）根据极值点确定，令，计算函数的单调区间，将证明转化为，构造新函数，求导得到单调区间，计算最值即可，构造，确定函数的单调区间，计算最值得到证明.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
令，所以，得 ，
当，，当，，
故函数递减区间为，递增区间为.
（2）函数在处取得极值，所以，得，
，，
令，，当时，，
当，，当，，
函数在单调递减，在单调递增，
且当时，，
当时，，故.
①先证，需证.因为，，下面证明.
设，，
则，，
故在上为增函数，故，
所以，则，
由在单调递增，所以，即得.
②下面证明：.，；
当时，记，
，所以单调递减，
，故，，
由，所以，即.
【点睛】关键点睛：本题考查了求函数的单调区间，利用导数证明不等式，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用对称变换解决极值偏移问题是解题的关键，此方法是常用的方法，需要熟练掌握.
0
1
2
3
20
66
770
200
460
4.20
3125000
21500
0.308
14
比较喜欢
不太喜欢
合计
年龄小于30岁
200
100
300
年龄不小于30岁
150
150
300
合计
350
250
600
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828