2024届山东省烟台市高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届山东省烟台市高三上学期期中数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求解一元二次方程得到集合，根据指数函数单调性求出集合，再根据交集含义即可得到答案.
【详解】，
，即，则，解得，所以，
则，
故选：B.
2．若无穷等差数列的公差为，则“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用等差数列的通项公式和存在量词的性质即可判断.
【详解】等差数列的通项公式，当时，，，真命题，即充分行成立；
若，则，但，所以，当，时，假命题，必要性不成立.
故选：A.
3．已知函数，则的值为（ ）
A．B．0C．D．1
【答案】D
【分析】根据题意，得出当时，的周期为4，得出，再根据解析式直接计算即可．
【详解】当，即时，，
所以当时，，
所以当时，的周期为4，
所以，
又因为当时，，
所以，即，
故选：D．
4．在平行四边形ABCD中， ，则 （ ）
A．2B．C．D．4
【答案】A
【分析】根据题意，将与都用与表示，再求数量积即可.
【详解】在平行四边形ABCD中，如图所示：

因为，所以是的中点，即，
，,
因为，所以，
因此，.
故选：A.
5．某数学兴趣小组欲测量一下校内旗杆顶部M和教学楼M₁顶部N之间的距离，已知旗杆AM高15m，教学楼BN高21m，在与A,B同一水平面C处测得的旗杆顶部M的仰角为，教学楼顶部N的仰角为，，则M,N之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，利用余弦定理求出旗杆与教学楼的距离，即可得出M,N之间的距离.
【详解】由题意，
过点作于点，
则，
在中，
∴，
在中，
∴，
在中，，由余弦定理得，
，
∴,
在Rt中，，由勾股定理得，
,
故选：D.
6．已知则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用函数的单调性比较大小，借助等中间量，对分别估值即可得.
【详解】由函数是上的增函数，
得，且，
由函数是上的增函数，
得，
由在单调递增，
得，
综上可得.
故选：A.
7．斐波那契数列以如下递归的方法定义:，若斐波那契数列对任意，存在常数，使得成等差数列，则的值为（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】C
【分析】由的任意性，取特值得到的方程组求解，再加以验证即可.
【详解】由
得，
若对任意，成等差数列，
则成等差数列，且成等差数列，
则有，
所以，解得，
由可知，
当时，对任意，有成等差数列，满足题意.
则，
故选：C.
8．定义在R上的函数f(x)的导函数为，满足 ，且当时， ，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用函数奇偶性和单调性，并构造函数即可得到不等式，解出即可.
【详解】由得，，
令，则，即是上的偶函数，
求导得，因为当时， ，
即，则，则在上单调递增，
，，即，
即，即，即，即，
所以，解得或，则解集为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过构造函数，利用其单调性和奇偶性得到不等式，解出即可.
二、多选题
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数f(x)的图象关于 对称
C．函数f(x)的图象关于 对称
D．函数f(x)在 上单调递增
【答案】ACD
【分析】根据图像求出，然后利用三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由图可知：,
且,故，
，
故，
，
，故A正确；
当时，，故B错误；
当时，，故C正确；
当时，，故D正确.
故选：ACD
10．已知 ，则下列不等式一定成立的有（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】选项A，由不等式的性质可得；选项B，利用基本不等式可证明；选项CD，举反例可知.
【详解】由，得，
则，故A正确；
选项B，因为，
由基本不等式可得，
由，等号取不到，则，故B正确；
选项C，当时，则，
此时，故C错误；
选项D，当时，，
此时，故D错误.
故选：AB.
11．已知函数的定义域为，满足，且时，，则（ ）
A．时，函数的最大值为
B．函数在区间上单调递减
C．方程有两个实根
D．若，则的最大值为
【答案】BC
【分析】根据题意作出在的图像，再逐一分析各个选项，数形结合，即可得出答案．
【详解】因为，所以，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
作出图像，如图所示，
对于A，当时，，
当时，，故A错误；
对于B，当时，，
因为二次函数对称轴为直线，所以时，单调递减，故B正确；
对于C，方程实数根的个数函数与交点的个数，
在同一直角坐标系中做出图像，如图所示，
由图像可得，函数与有2个交点，即方程有两个实根，故C正确；
对于D，当时，，
令，解得，
所以，的最大值为，故D错误，
故选：BC．
12．已知数列：，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推.记数列的前n项和为，则（ ）
A．
B．
C．若则的最小值为
D．若且存在，使得，则的最小值为
【答案】BCD
【分析】将数列分组，则各组的项数成等差数列，且各组内各项成等比数列.其中，选项B为求通项问题，求具体的某项，只需分析出在第几组第几项；ACD为求和问题，也需先分析出（或设出）末项在第几组第几项，再利用分组求和法与等比数列求和公式解决即可.
【详解】将已知数列分组，使每组第一项均为1，
即：第1组：，
第2组：，，
第3组：，，，
第k组：，，，，，
根据等比数列前n项和公式，得，
求得每组的各项之和：，，，，，
每组含有项的项数为：，
故前组总共的项数为，
前组的所有项和
，
选项A，当时，，即前组共项，
故前项和为前组的和再加上第组中的前项，
即，
故A项错误；
选项B，当时，，即前组共项，
故第项为第组的第项，即，
故B项正确；
选项C，因为，
且第组各项为：，，，，，
所以，
又由，知数列单调递增，
所以使的的最小值为，
故C项正确；
选项D，若，则由，，
解得，即在第20组或以后的组内，
又由，，
则，故，
由，
且，
则在第组内，设其为第组内的第项，
即
由，
得，
故，由，得，
所以，
因为是关于的增函数，
则，故D项正确.
故选：BCD.
【点睛】重组数列是指在原有数列的基础上对数列进行重新排布，或者有原有数列的一些特征构成新的数列，其本质就是从不同角度观察研究数列，如分组并项、插项取项、运算重构（和积乘方开方取对数等等）.在研究这类问题的时候，可以直接研究通项公式，也可以从特殊到一般，先研究特殊项，再推广到第项.其中比较关键的是要准确把握重组前后的联系，如项数的变化规律、项在新旧数列中所处位置的关系、求通项还是求和问题的定性分析.
三、填空题
13．设向量，若，则的值为 ．
【答案】
【分析】先得出，再根据列出方程求出，根据平面向量模的坐标运算直接计算即可．
【详解】由题得，
因为，
所以，解得，即，
所以，
故答案为：．
14．若，，，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】由已知条件得，利用基本不等式求最小值.
【详解】，，，
则 ，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为8.
故答案为：8
15．已知函数 ，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简得，再令，构造函数，最后利用导数求函数的最小值.
【详解】由同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简，即
，即，
令，则，.
，令，即，解得，
当时，，此时为单调递减函数，
当时，，此时为单调递增函数，
所以，时，取得最小值，即.
综上所述，的最小值为.
故答案为：.
16．若过点有三条直线与函数 的图象相切，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【分析】设切点坐标，利用导数，求出切线方程，再结合过点存在三条直线与曲线相切，转化为方程有三个根，构造新函数利用导数求单调区间和极值得实数m的取值范围．
【详解】函数，定义域为R，，
设切点坐标为，则切线方程为，
切线过点，则有，
即，依题意关于方程有三个解，
设，
，解得或；，解得，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
时，取极小值；时，取极大值，
实数m的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知函数 ，其中，，函数图象上相邻的两条对称轴之间的距离为.
(1)求的解析式和单调递增区间；
(2)若将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在 上的最大值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据题意可求出的值，然后求出的解析式后再求解其单调递增区间；
（2）根据题意进行变化得到的解析式，然后求出的解析式并求出其最大值.
【详解】（1）由题知，，所以，，所以，.
所以得：.
所以得：，即，
故的单调递增区间为.
（2）将函数图像上所有点横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），
得，再向右平移个单位长度，得.所以可得：
， 因为，所以得：，
所以当：时，即：时，取得最大值为.
18．已知数列的前n项和为，且
(1)求证: 是等差数列；
(2)记，求数列的前2n项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由的任意性，得，两式作差，利用与的关系得到递推关系，再变形化简可得，由定义可知是等差数列；
（2）奇数项与偶数项分组求和，分别利用等比数列公式法与裂项相消法求和即可.
【详解】（1）当时，，则或，
因为，所以；
当时，，
两式相减得，，
即，因为，
所以，即，
故数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）知，，
所以，
所以.
19．牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度(第一年)投入80万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为60万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加.
(1)设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求的表达式；
(2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入? ()
【答案】(1)，
(2)3年
【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入；
(2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，结合(1)进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果.
【详解】（1）由题知，每年的追加投入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，；
同理，每年牧草收入是以为首项，为公比的等比数列，
所以，.
（2）设至少经过年，牧草总收入超过追加总投入，即，
即，
令，则上式化为，
即，
解得，即，所以，，
即，所以.
所以，至少经过年，牧草总收入超过追加总投入.
20．在①，②，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中， 并解答问题. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
在中，角所对的边分别为，为的面积，且满足__________．
(1)求的值；
(2)若为锐角三角形，求的取值范围．
【答案】(1)选①②③，
(2)
【分析】（1）选①，由正弦定理，诱导公式和两角和的正弦公式化简即可得出答案；选②，由余弦定理，三角形面积公式和同角三角函数的平方关系，即可求出答案；选③，由正弦定理，诱导公式，两角和与差的余弦公式，同角三角函数的平方关系，即可得出答案；
（2）由为锐角三角形及，求出，由正弦定理，诱导公式，两角和的正弦公式及同角三角函数的商数关系，得出，由得出，根据同角三角函数的商数关系及诱导公式进而得出的范围，根据对勾函数的单调性即可得出的取值范围．
【详解】（1）若选①：由正弦定理得，，
因为，所以，即，
又因为，， 所以．
若选②：因为，所以，
所以，
所以，
所以，
又，解得或（舍），
所以．
若选③：由正弦定理得，，
因为，所以，
所以，
所以，
又因为，，所以，
又，解得．
（2）在锐角中，，则，
，
因为是锐角三角形，
所以，即，即，
所以，
所以，
所以，
设，则，
设，
则，当且仅当，即时等号成立，
由对勾函数图像知，在上单调递减，在上单调递增，
当时，，当时，，
所以，即的取值范围为．
21．已知函数
(1)讨论的单调性;
(2)当时，若方程总有三个不相等的实根，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）根据导函数有无零点及零点的大小情况，分类讨论的单调性；
（2）结合函数的单调性、极值与函数的图象趋势，求解方程的根的个数问题，由（1）单调性结论，知有极大值，极小值，再由图象趋势得，最后对任意，求解恒成立问题即可.
【详解】（1）由，
得，
当时，恒成立，令，解得.
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
当时，令，解得或，
①当，即时，
当时，，则在上单调递减；
当时，，
则在和上单调递增；
②当，即时，
当时，，则在上单调递减；
当时，，
则在和上单调递增；
③当，即时，在上恒成立，
则在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增；
时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在和上单调递增.
（2）由（1）知，当时，
在上单调递减，在和上单调递增，
则有极大值，极小值
且当时，，当时，，
所以，若方程始终有三个不相等的实根，
则，
即在上恒成立.
当时，显然.
令，则，
因为，所以，，
所以，恒成立，
所以，在上单调递减，则.
综上，若方程始终有三个不相等的实根，
则的取值范围为.
【点睛】含参函数单调性的分类讨论原因一般有以下几个：
（1）函数类型是不是发生了根本变化（如系数是否为零）；
（2）导函数有没有零点，导函数没有零点时往往函数单调，可以优先解决；
（3）导函数若有零点，在不在题设所给的区间内；
（4）导函数若在所给区间内有零点，谁大谁小，要比较零点的大小，从而确定单调区间的端点,
22．已知函数 且函数有两个极值点.
(1)求的范围;
(2)若函数的两个极值点为且，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）函数极值点问题转化为导函数零点问题处理.构造函数，通过函数的单调性与最值及图象趋势，找到方程有两个正实数根的充要条件；
（2）整体换元法，令，再结合（1）结论得，将都转化为表示，从而将多元最值问题转化为一元函数问题，构造函数，求其最大值即可.
【详解】（1）由题得，，
令，
则函数有两个极值点，即方程有两个正实数根.
因为，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，，
且当时，，时，.
所以方程有两个正实数根，
只需，解得，
即函数有两个极值点时，的范围为.
（2）由且，令，则，
由（1）知，，
即，
则，
即，解得，
所以.
则，
令，
则，
令，
则
所以函数在上单调递增，
又，所以， 则.
当时，，
所以在上单调递增，
则当时，.
即的最大值为.