2024届上海市光明中学高三上学期期中数学试题含答案

这是一份2024届上海市光明中学高三上学期期中数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，未知，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．设集合，集合，则 ．
【答案】
【分析】求出集合，再求交集可得答案.
【详解】集合，则.
故答案为：.
2．不等式的解集为 .
【答案】
【分析】直接根据分式不等式计算方法进行求解即可.
【详解】由，得，
解得，即不等式的解集为.
故答案为：
3．若对数函数且）的图象经过点，则实数 .
【答案】2
【分析】直接将点代入计算即可.
【详解】将点代入得，解得
故答案为：2.
4．当时， 的最小值为 .
【答案】5
【分析】利用基本不等式求最小值，注意取值条件即可.
【详解】由，则，
当且仅当时等号成立，故目标式最小值为5.
故答案为：5
5．向量在向量上的投影的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用数量积的定义式，求得投影，利用数乘，可得答案.
【详解】设向量与的夹角为，
向量在向量上的投影为，
则该投影向量为.
故答案为：.
6．若，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角关系求，进而可得结果.
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
7．正方形的边长是是的中点，则 .
【答案】3
【分析】以为基底向量表示，，再结合数量积的运算律运算求解即可.
【详解】由题意，，，
则，，
所以
.
故答案为：3.

8．若为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
9．某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛学生的成绩制作成频率分布直方图（如图），估计学生的平均成绩为 分
【答案】
【分析】利用直方图求学生的平均成绩即可.
【详解】由直方图知：平均成绩为分.
故答案为：
10．已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
11．某人去公园郊游，在草地上搭建了如图所示的简易遮阳篷ABC，遮阳篷是一个直角边长为6的等腰直角三角形，斜边AB朝南北方向固定在地上，正西方向射出的太阳光线与地面成30°角，则当遮阳篷ABC与地面所成的角大小为 时，所遮阴影面面积达到最大.
【答案】/
【分析】遮阴影面面积达到最大即是点到的距离最大，根据正弦定理表示出点到的距离，即可找出角度取值与面积之间的关系．
【详解】如图，过点C作交AB于D，连接，由题可知
因此就是遮阳篷ABC与地面所成的角，因为，所以求遮阴影面面积最大，即是求最大，其中已知，
设，，根据正弦定理
当时遮阴影面面积最大，此时
故答案为：
12．已知函数的图像绕着原点按逆时针方向旋转弧度，若得到的图像仍是函数图像，则可取值的集合为 .
【答案】
【分析】题中函数为圆的一段劣弧，在旋转过程中，只需根据函数的定义考虑一个只有唯一确定的与之对应，即图形与只有一个交点时旋转的角度符合题意.
【详解】画出函数的图象，如图1所示：
圆弧所在的圆方程为，，，在图象绕原点旋转的过程中，当从图1的位置旋转到点时，根据函数的定义知这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示：
此时绕着原点旋转弧度为；
若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点在轴上方，点在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形不是函数的图象，如图3所示：
此时转过的角度为，不满足题意；
若函数的图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在轴下方时，根据函数的定义知，所得图形是函数的图象，如图4所示：
此时转过的角度为；
故答案为：.
二、单选题
13．设，则“”是“”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】解不等式，根据集合的包含关系分析充分、必要条件.
【详解】因为，即，解得，
且是的真子集，
所以“”是“”的必要非充分条件.
故选：B.
14．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
15．如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，设分别为线段的中点，将四边形沿着直线进行翻折，使得点不在平面上，在这一过程中，下列关系不能成立的是（ ）

A．直线直线B．直线直线
C．直线直线D．直线平面
【答案】C
【分析】画出翻折之后的立体图形，根据点线面之间的位置关系以及平行与垂直的相关定理，可以证明或证伪相关命题.
【详解】翻折之后如图所示：

①因为，，所以且，
因此，故选项A成立；
②连接，因为分别为的中点，所以，

又因为，所以，故选项B成立；
③因为，，所以与不平行，故选项C不成立；
④因为，且平面，平面，
所以平面，故选项D成立.
故选：C
16．设函数，现有如下命题，①若方程有四个不同的实根、、、，则的取值范围是；②方程的不同实根的个数只能是1，2，3，8.下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
【答案】C
【分析】首先画出函数的图象.根据二次函数的对称性得，根据得，从而求得的取值范围，进而判断出命题①的真假；先根据方程求出的根，再对根的大小分类讨论，并结合的图象判断出根的个数，进而判断出命题②的真假.
【详解】当时，，图象为抛物线的一部分，抛物线开口向下，对称轴为，顶点为，过和；
当时，，图象过，如图所示.
对于①，当方程有四个不同的实根、、、时，不妨假设，
则，，且，，
所以，所以.
因此，，
所以，故①为真命题.
对于②，方程等价于且，所以或.
当时，，由的图象得有2个不同实根，有4个不同实根，故原方程有6个不同实根；
当时，，由的图象得有3个不同实根，故原方程有3个不同实根；
当时，，由的图象得有4个不同实根，有2个不同实根，故原方程有6个不同实根；
当时，，由的图象得有1个实根，故原方程有1个实根；
当且时，且，由的图象得有1个实根，有1个实根，故原方程有2个不同实根；
综上所述，方程的不同实根的个数可能是1，2，3，6.
故②为假命题.
故选：C
三、未知
17．如图，已知平面，.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求直线与平面所成的角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）由已知结合线线和线面垂直，证明面面垂直；
（2）由线面角的定义，直线与平面所成的角为，然后解三角形即可．
【详解】（1）证明：平面，平面，则，
又，平面，，则平面，
因为平面，所以平面平面；
（2）因为平面，所以为直线与平面所成的角，
因为，，所以，
平面，平面，则，，则，
中，，
即直线与平面所成的角为．
四、解答题
18．已知函数
(1)若关于的不等式的解集为，求实数的值：
(2)若函数在上的最大值为2，求实数的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由，则问题转化为关于的不等式的解集为，再根据三个二次之间的关系理解运算；
（2）令，求出的解析式，由结合二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，
所以关于的不等式等价于，
即关于的不等式的解集为，
所以关于的方程的两根是，，且，
所以，解得.
（2）令，则，，
因为，所以二次函数开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，
所以，即，解得.
19．设函数．
(1)若，求的值．
(2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：；
条件②：；
条件③：在区间上单调递减．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1).
(2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，.
【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值；
（2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同．
【详解】（1）因为
所以，
因为，所以.
（2）因为，
所以，所以的最大值为，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以,所以,,
所以，
又因为，所以，
所以，
所以，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.
以下与条件②相同．
五、未知
20．某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆的一段圆弧（为此圆弧的中点）和线段构成.已知圆的半径为40米，点到的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形，大棚内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上.设与所成的角为.
(1)用分别表示矩形和的面积；
(2)确定的取值范围；
(3)若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲､乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当.何值时，能使甲､乙两种蔬菜的年总产值最大.
【答案】(1)矩形的面积为，的面积为.
(2)
(3)当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
【分析】（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果；
（2）根据实际意义确定的取值范围；
（3）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值.
【详解】（1）
连接并延长交与点，则，
所以，作于，则，
所以，
在中，可得，，
所以矩形的面积为，
的面积为.
（2）过作，分别交圆弧以及的延长线于，，则，
令，则，，
由题只有当时，才能作出矩形，
所以.
（3）因为甲乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为，
设甲种蔬菜的单位面积年产值，乙种蔬菜的单位面积年产值，
则年总产值为
，，
设，，
则，
令，解得，
当时，，即为增函数，
当时，，即为减函数，
因此，当时，取到最大值，
即当时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
六、解答题
21．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在，使得曲线关于直线对称，若存在，求的值，若不存在，说明理由.
(3)证明：时，在上不存在极值
【答案】(1)
(2)存在满足题意，理由见解析.
(3)证明见解析
【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
（2）首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；
（3）求出函数的导函数，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到的单调性，从而得证.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
（2）令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）因为，，
所以，
令，，
则，
当时，所以在区间上单调递增，
则，
又，所以恒成立，即在上单调递减，
故函数在上不存在极值.