2024届上海市上海大学附属中学高三上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2024届上海市上海大学附属中学高三上学期期中考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．已知集合，则 .
【答案】
【分析】由交集运算求解.
【详解】
故答案为：
2．双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】根据方程得出，即可得出该双曲线的渐近线方程.
【详解】根据双曲线的方程得
则其渐近线方程为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求双曲线的渐近线方程，属于基础题.
3．若数列是首项为2，公比为3的等比数列，则 ．
【答案】728
【分析】用等比数列的求和公式即可.
【详解】
故答案为：728
4．的二项展开式中x的系数为 ．
【答案】112
【分析】求出二项式展开式的通项公式，再求出指定项的系数即得.
【详解】二项式的展开式通项，
由，解得，则，
所以的二项展开式中x的系数为112.
故答案为：112
5．已知正实数a、b满足，则的最小值等于 ．
【答案】4
【分析】直接利用基本不等式计算得到答案.
【详解】，当，即，时等号成立，
则的最小值为4．
故答案为：4．
6．已知，，则在方向上的数量投影等于 ．
【答案】
【分析】根据数量投影公式，即可求解.
【详解】在方向上的数量投影为：.
故答案为：.
7．已知在角的终边上，则 ．
【答案】
【分析】利用三角函数的定义式，结合诱导公式化简得解.
【详解】由点在角的终边上，
则，
则，
故答案为：.
8．已知一组数据的中位数为4，则其总体方差为 ．
【答案】
【分析】先利用中位数的定义求出，然后由方差的计算公式求解即可.
【详解】因为数据的中位数为4，
所以，故，
所以这组数据的平均数为，
故方差为，
故答案为：.
9．由函数的观点，不等式的解集是 ．
【答案】
【分析】构造函数，得到定义域和单调性，结合，求出解集.
【详解】令，定义域为，
显然在上单调递增，
又，故的解集为，
故的解集为.
故答案为：
10．抛物线C上任意一点都满足，则抛物线C的焦点到准线的距离为 .
【答案】/
【分析】根据抛物线上动点满足的方程及抛物线的定义确定焦点与准线即可得解.
【详解】抛物线C上任意一点都满足知，
动点到定点和直线的距离相等，
所以为抛物线的焦点，为抛物线的准线，
故焦点到准线的距离为，
故答案为：
11．一个“皇冠”状的空间图形（如图）由一个正方形和四个正三角形组成，并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为.如果把两个这样的“皇冠”倒扣在一起，可以围成一个十面体，则的值为 .
【答案】
【分析】根据题意可知，该几何体的侧面是全等的正三角形，只需利用三垂线定理做出二面角的平面角再结合勾股定理即可求出余弦值的大小.
【详解】一个“皇冠”状的空间图形由一个正方形和四个正三角形组成，
并且正方形与每个正三角形所成的二面角的大小均为
过点作底面的垂线，垂足为分别为上下底面正方形的中心，
连接交于，连接，如图所示，
由题意得，
所以即为正方形与正三角形所成的二面角的平面角，且为钝角；
所以，所以，
由三角形都为正三角形得，
设正方形边长为，则，所以，
所以.
故答案为：
12．对于数列，记，，，则称是的“下界数列”，令，是的下界数列，则 ；
（参考公式：）
【答案】
【分析】首先分析的单调性，结合所给“下界数列”的定义求出的通项公式，再分和两种情况讨论，利用分组求和法计算可得.
【详解】因为，所以，
所以当时单调递增，当时单调递减，且，
又，所以当时，
当时，
当时，
即，所以，
所以当时
，
当时
，
所以.
故答案为：
二、单选题
13．已知a，，则“”是“”的（ ）条件.
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】当，，满足，但是，
当，，满足，但是，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
14．从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单，要求最后一个节目必须是合唱，则这个节目单的编排方法共有
A．14种B．48种C．72种D．120种.
【答案】D
【详解】试题分析：可先选一个合唱节目排在节目单的最后，然后再从剩下的5个节目中选3个排在前面，因此共有种编排方法.
【解析】排列组合的综合应用.
15．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.
【详解】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，
与抛物线方程联立，消元整理得：，
解得，又，
所以，
从而可以求得，故选D.
【点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.
16．若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题：
①若，则必存在两个“伴随角”；
②若，则必不存在“伴随角”；
则下列判断正确的是（ ）
A．①正确②正确；B．①正确②错误；
C．①错误②正确；D．①错误②错误.
【答案】B
【分析】将已知方程变形为，则为直线与单位圆的交点.用圆心到直线的距离解决问题
【详解】将已知方程变形为，
则为直线与单位圆的交点.
考虑圆心到直线的距离
，其中.
对于①，若，则，于是，即，
直线与圆必有两个不同交点，
为直线与单位圆的交点，
故必存在两个“伴随角”，即①正确；
对于②若，则，于是，
即直线与圆可能公共点，故可能存在“伴随角”，即②错误；
综上，①正确②错误，
故选:B.
【点睛】关键点点睛: 把转化为直线与单位圆的交点是解题的关键点.
三、解答题
17．如图，长方体中，，点P为棱的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求直线与平面所成的角．（用反三角函数表示）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，按照空间向量的坐标运算即可求解直线与平面所成的角．
【详解】（1）解：设AC与BD的交点为O，联结PO
P、O分别是和DB的中点
又因为PO在平面PAC内，不在平面PAC内
平面PAC
（2）解：以D为原点，建立空间直角坐标系（如图）
则，，，，，，
设平面PAC的一个法向量为 ，因为
则 ，所以
向量
设直线与平面PAC所成的角为
所以
所以直线与平面PAC所成的角为.
18．已知函数（，）．
(1)若时，判断函数在上的单调性，并说明理由．
(2)若对于定义域内一切x，恒成立，求实数m的值．
【答案】(1)当时，在上单调递减
当时，在上单调递增
(2)
【分析】（1）按单调性的定义即可证明.
（2）按题意列方程即可求解.
【详解】（1）时，记，任取
，
故，在上单调递减
当时，在上单调递减
当时，在上单调递增
（2）由恒成立可得
化简得，解得
时，，而，无意义
符合题意
故.
19．节能环保日益受到人们的重视，水污染治理也已成为“十三五”规划的重要议题．某地有三家工厂，分别位于矩形的两个顶点、及的中点处，，，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界），且与、等距离的一点处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道、、．设∠BAO=x（弧度），排污管道的总长度为．
（1）将表示为的函数；
（2）试确定点的位置，使铺设的排污管道的总长度最短，并求总长度的最短公里数（精确到）．
【答案】（1）（） （2）点在中垂线上离点距离为处，总长度的最短公里数是．
【分析】（1）直接由已知条件求出的长度，即可得到所求函数关系式；
（2）记，则，求出的范围，即可得出结论．
【详解】解：（1）由已知得，
即（其中）
（2）记，则，则有，
解得或
由于，所以，当，即点在中垂线上离点距离为处，取得最小值．
【点睛】本题主要考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力．解决这类问题的关键在于把文字语言转换为数学符号，用数学知识解题．
20．已知椭圆（常数），点，，为坐标原点．
(1)求椭圆离心率的取值范围；
(2)若是椭圆上任意一点，，求的取值范围；
(3)设，是椭圆上的两个动点，满足，试探究的面积是否为定值，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)的面积为定值，理由见解析
【分析】（1）根据离心率公式直接可得范围；
（2）由，可得点坐标，代入椭圆方程可得，则设，，，可得；
（3）方法一：由已知可得，平方可得，即，化简得，化简面积可得；方法二：由已知，即，①当直线斜率不存在时，计算可得；②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示弦长，进而求得面积.
【详解】（1）由椭圆方程为，
则离心率，
又，
所以；
（2）由已知得，即，
又点是椭圆上任意一点，
则，化简可得，
设，，，
则；
（3）
方法一：由已知可得，即，
平方可得，
又，在椭圆上，
所以，，
所以，
化简可得，
，则，
所以，
故的面积为定值；
方法二：由已知，即，
①当直线斜率不存在时，，，
则，
又在椭圆上，
则，所以，，
此时；
②当直线斜率存在时，设直线的方程为：，
联立直线与椭圆，得，
则，
，，
，
则，即，
所以，
点到直线的距离，
所以，
所以的面积为定值.
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
21．设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”.
(1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由;
(2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由.
(3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有.
【答案】(1)不是,证明见解析
(2)真命题,证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）可令,根据“平缓函数”的定义判断即可;
（2）根据导函数的定义,令,结合“平缓函数”的定义即可证明;
（3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,分为,根据函数是“平缓函数”即可证明;
【详解】（1）令,因为,则,,不满足对任意的,均成立,故不是“平缓函数”.
（2）命题为真命题.
因为,
不妨令,
因为是“平缓函数”,
则,
所以,
故命题为真命题.
（3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,
当时,因为函数是“平缓函数”,
则;
当时,不妨设,则,
因为是以为周期的周期函数,
则,
因为函数是“平缓函数”,
所以
,
所以对任意的,均有,
因为是以为周期的周期函数,
所以对任意的,均有.
【点睛】本题主要是根据函数是“平缓函数”的定义和性质进行判断和证明,考查了学生的逻辑推理能力、运算能力,关键点点睛:第二问借助导函数的定义进行证明;第三问利用是以为周期的周期函数得,进行适当放缩即可证明.