2024届上海市徐汇中学高三上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2024届上海市徐汇中学高三上学期期中考试数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知，则 .
【答案】
【解析】由交集定义计算．
【详解】
故答案为：．
2．若复数（是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为 .
【答案】2
【分析】利用复数的运算法则和纯虚数的定义即可得出．
【详解】解：复数是纯虚数，
，解得，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查复数代数形式的运算法则以及纯虚数的定义，属于基础题．
3．已知，，则在上的投影向量为 ．
【答案】
【分析】由投影向量的定义求结果即可.
【详解】由题意，在上的投影向量为.
故答案为：
4．已知函数，若，则 .
【答案】4
【分析】利用给定的分段函数，借助单调性分析取值范围，再列式计算作答.
【详解】依题意，当时，函数单调递增，；当时，单调递增，，
因此由，得，解得，
所以.
故答案为：4
5．在的二项展开式中，含有项的系数为 .
【答案】160
【分析】利用二项式的通项公式直接求解即可.
【详解】因为的通项公式为：，
所以令，
项的系数为.
故答案为：160.
6．已知，且，则的值是 .
【答案】/
【分析】先利用平方关系和商数关系求出，再根据二倍角的正切公式即可得解.
【详解】因为，且，
所以，则，
所以.
故答案为：.
7．5件产品中有3件正品，2件次品，从中任取2件，则恰有一件正品的概率为
【答案】/
【分析】根据题意得到基本事件的总数为种不同的取法，其中恰有一件正品有种，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，含有3件正品，2件次品，从中任取2件，共有种不同的取法，
其中恰有一件正品，有种不同的取法，
所以恰有一件正品的概率为.
故答案为：.
8．已知等差数列前15项的和=30，则= ．
【答案】6
【详解】试题分析：∵等差数列的前15项的和,∴，而．
【解析】等差数列的性质．
9．已知在处取得极值，则的最小值为 .
【答案】8
【分析】由已知在处取得极值求得，再结合“1”的代换，利用基本不等式求解.
【详解】解：由，
因为函数在处取得极值，所以有，
则，
因为，
所以，
当且仅当，结合，即时取等号.
故答案为：8
10．已知函数在区间上单调递增，则满足的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先判断函数的奇偶性质，再根据函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】函数的定义域为，
且，
即为偶函数，又函数在区间上单调递增，
则在区间上单调递减，
所以不等式，即，则，
即，解得，
即满足的取值范围为.
故答案为：
11．在锐角中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由正弦定理和正弦二倍角公式将已知化为，根据为锐角三角形可得，以及，再由正弦定理可得，利用两角和的正弦展开式和的范围可得答案.
【详解】由正弦定理和正弦二倍角公式可得
，
因为，所以，
可得，
因为，所以，
所以，，
由，可得，
所以，，
由正弦定理得
.
故答案为：.
12．设，若存在使得关于x的方程恰有六个解，则b的取值范围是 ．
【答案】
【分析】作出f(x)的图像，当时，，当时，.令，则，则该关于t的方程有两个解、，设＜，则，.令，则，据此求出a的范围，从而求出b的范围．
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
则f(x)图像如图所示：
当时，，当时，．
令，则，
∵关于x的方程恰有六个解，
∴关于t的方程有两个解、，设＜，
则，，
令，则，
∴且，
要存在a满足条件，则，解得．
故答案为：．
二、单选题
13．下列四个命题中，为真命题的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】ABD可举出反例，C选项可利用作差法比较大小.
【详解】A选项，当时，，A错误；
不妨设，满足，，而，B错误；
若，则，故，
所以，故，C正确；
不妨设，满足，此时，D错误.
故选：C
14．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】由双曲线方程的特征计算得m的范围，再由集合的包含关系可得结果.
【详解】∵表示双曲线，
∴.
∴是表示双曲线的充要条件.
故选：C.
15．在中，角、、所对的边分别为、、，，若，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值；
【详解】解：∵，∴，∴，
由余弦定理得，
当且仅当时取等号，∵，∴，即的最小值为，
故选：C．
16．若存在实数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足：恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”.有下列命题：①和之间存在唯一的“隔离直线”；②和之间存在“隔离直线”，且的最小值为，则（ ）
A．①､②都是真命题B．①､②都是假命题
C．①是假命题，②是真命题D．①是真命题，②是假命题
【答案】D
【分析】命题①，和有公共点，故隔离直线过该点，设为点斜式，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解；
命题②，设隔离直线为，则对任意恒成立，结合二次函数性质对参数分类讨论，即可求解；
【详解】对于命题①，函数和的图像在处有公共点，
若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点，
设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即
由恒成立，即恒成立，
（i）当时，则不恒成立，不符合题意；
（ii）当时，令，对称轴，
在上单调递增，且，故不恒成立，不符合题意；
（iii）当时，令，对称轴，
则，只有，即直线
下面证明，令,
求导，令，得，
当时，，函数在区间上单调递减；
当时，，函数在区间单调递增；
故当时，函数取得极小值，也是最小值，故，即
所以和之间存在唯一的隔离直线.
对于命题②，设和的隔离直线为，
则对任意恒成立，即对任意恒成立，
由恒成立，得
（i）当时，则符合题意；
（ii）当时，则对任意恒成立，令，
对称轴，需，即，故
令，对称轴，需，
即，所以，故
同理可得，即，故
故命题①正确，命题②错误；
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“隔离直线”，解题中理解“隔离直线”的定义，注意利用导数研究函数的单调性及最值时解题的关键，考查学生的转化与化归能力，属于难题.
三、解答题
17．如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，，E、F分别为棱PD、PA的中点．

(1)求证：平面PBC；
(2)求异面直线PB与AE所成的角．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）利用三角形的中位线性质及直线平行的传递性即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求得结论.
【详解】（1）因为E、F分别为棱PD、PA的中点，所以，
又因为底面ABCD为矩形，，
所以,而平面，平面，
所以平面PBC；
（2）如图，

以为原点,为轴,为轴, 为轴建立空间直角坐标系,
依题意得: ,，
则，
所以，
异面直线PB与AE夹角为: .
18．已知函数（其中）．
（1）若函数的最小正周期为,求的值，并求函数的单调递增区间；
（2）若，，且，求的值．
【答案】（1），递增区间（）；（2）或.
【分析】（1）利用辅助角公式化简，根据函数f（x）的最小正周期为3π，即可求ω的值和单调递增区间；
（2）将ω＝2，可得f（x）解析式，0＜α＜π，由，利用三角函数公式即可求α的值．
【详解】解：（1）函数sin（ωx），
∵函数f（x）的最小正周期为3π，即T＝3π
∴ω
那么：，
由，k∈Z，
得：
∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z；
（2）函数sin（ωx），
∵ω＝2
∴f（x）sin（2x），
，可得sin（2α）
∵0＜α＜π，
∴（2α）
2α或
解得：α或α．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．
19．某公司实行了年薪制工资结构改革．该公司从2023年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施：
如果该公司2023年有5位职工，计划从2024年起每年新招5名职工．若2023年算第一年
(1)求第三年公司付给职工的工资总额.
(2)将第年该公司付给职工工资总额（万元）表示成年限的函数；
(3)若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费之和总是不会超过基础工资总额的，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据所给计算公式求出职工人数、基础工资、房屋补贴、医疗费，即可得解；
（2）设第年共有个职工，从而求出基础工资、房屋补贴、医疗费，即可得解；
（3）根据题意可得，令，求出的最大项，使大于等于的最大项即可求解.
【详解】（1）依题意第三年共有职工人，
基础工资为万，
房屋补贴为万，
医疗费为万，
所以第三年公司付给职工的工资总额为万.
（2）设第年共有个职工，那么基础工资总额为万元
医疗总额为：万元，
房屋补贴为： 万元，
所以，.
（3）依题意，
所以，令，
令，即，解得，
又且，，，所以当或时取得最大值，
所以，则，则的最小值为.
20．已知椭圆，是的下焦点，过点的直线交于、两点，
（1）求的坐标和椭圆的焦距；
（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程；
（3）在轴上是否存在定点，使得恒成立?若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），焦距为；（2）面积的最大值为，此时直线的方程为；（3）存在定点，使得恒成立．
【解析】（1）利用椭圆方程求出，，然后求解，即可得到结果．
（2）设直线，与椭圆方程联立．利用判别式以及韦达定理，结合弦长公式点到直线的距离公式，然后求解三角形的面积，利用基本不等式求解最值即可推出直线方程．
（3）由（2）得，，推出直线系方程，然后求解定点坐标．验证当直线的斜率不存在时，直线也过定点，即可．
【详解】（1）椭圆，可得，，所以，
，焦距为；
（2）由题意得直线的斜率存在，设直线，
由得，
所以，故，
设，，则，，
所以
(或用）
点到直线的距离，
所以，
令，则，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为，此时直线的方程为；
（3）当直线的斜率存在时，由（2）得，，
因为，所以，
即，所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
当直线的斜率不存在时，直线也过定点，
故轴上存在定点，使得恒成立．
【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，解决本题的关键点是将恒成立转化为，利用两点连线斜率的坐标公式以及根与系数的关系，求出定点，考查了转化思想以及计算能力，属于中档题．
21．已知函数，其中是自然对数的底数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求在的最值；
(3)若函数在上是严格递增函数，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】(1)求出函数的导函数，计算，又，由导数的几何意义求解；
(2)利用导数判断函数的单调性，求出端点值和极值即可求解；
(3)依题意，转化为在区间上恒成立，即可求解.
【详解】（1）(1)当时，，所以，
故，又，
由导数的几何意义知,曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）（2）当时，，
所以，
因为，
由，得，
由，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则，，
，，
故.
（3）（3）因为，
所以，
因为函数在上是严格递增函数,所以在区间上恒成立，
又因为恒成立，即在区间上恒成立，
令，
当时，，显然在上恒成立；
当时，则的对称轴，
当，即时，在区间上单调递增，
所以的最小值为，故满足题意；
当，即时，在区间上恒成立，
则,即，解得，
又，所以，
综上所述：的取值范围为，即.
项目
金额[万元（人·年）]
性质与计算方法
基础工资
2022年基础工资为1万元
考虑到物价因素，决定从2023年起每年递增（年入职年限无关，2023年基本工资为万元）
房屋补贴
0.08万元
从2023年起，按职工到公司年限计算，每年递增0.08万元
医疗费
0.32万元
固定不变