2024届四川省成都市武侯区川大附中高三上学期期中数学（理）试题含答案

这是一份2024届四川省成都市武侯区川大附中高三上学期期中数学（理）试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设，，则中元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】解一元二次不等式求集合A，再由集合交运算求并判断元素个数.
【详解】由，则，
所以中元素个数为4.
故选：C
2．若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】利用复数的除法运算求出复数，再判断即可得解.
【详解】依题意，，
所以在复平面内复数对应的点位于第三象限.
故选：C
3．曲线在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应用导数的几何意义求点处的切线方程.
【详解】由题设，则，又时，
所以点处的切线方程是，即.
故选：A
4．2022年11月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）
猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉
粮食、食用油、鲜菜价格同比变化情况
A．猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小.
B．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过
C．去年11月鲜菜价格要比今年11月低
D．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍
【答案】B
【分析】根据统计图计算可得答案.
【详解】由图可知，粮食价格同比涨幅比食用油价格同比涨幅小，故A不正确；
这7种食品价格同比涨幅的平均值为，故B正确；
因为鲜菜价格同比涨幅为，说明去年11月鲜菜价格要比今年11月高，故C不正确；
猪肉价格同比涨幅为，禽肉价格同比涨幅为，，故D不正确.
故选：B.
5．在等差数列中，，，直线过点，，则直线的斜率为（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的通项公式可求得公差，再利用两点的斜率公式即可求解.
【详解】在等差数列中，，，可得公差，
所以直线的斜率为.
故选：A.
6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如.在不超过15的素数（素数是指在大于1的自然数中，除了1和自身外没有其他因数的自然数）中，随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用组合数求出从不超过15的素数中随机取两个不同取法，再确定和等于16的情况数，应用古典概型的概率求法求概率.
【详解】不超过15的素数有，随机取两个不同取法有种，
其中和等于16的情况有或两种情况，
所以随机选取两个不同的数，其和等于16的概率是.
故选：C
7．直线与圆相交于A，B两点，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由直线与圆相交，应用点线距离、相交弦长的几何求法列方程求参数，再根据充分、必要性定义判断条件间的关系.
【详解】由题设，圆心到直线的距离，且圆的半径为1，
若，则，即，可得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，结合和角正切公式求得，再利用和角正弦公式结合弦化切即可求解.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：D.
9．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥，再根据体积公式即可求解.
【详解】由三视图可知：该几何体为一个半圆柱挖取一个倒立的四棱锥．
∴该几何体的体积.
故选：D．
10．科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，数列为牛顿数列且，，则的值是（ ）
A．9B．C．D．7
【答案】C
【分析】利用等差等比数列的运算求解.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，
所以，所以，
所以，
故选:C.
11．设、分别是双曲线：的左、右两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A．5B．10C．D．20
【答案】A
【分析】由题设可得，进而确定的位置，易知为直角三角形，最后利用双曲线定义结合勾股定理，即可求面积.
【详解】由，
所以是以原点为圆心，为半径的圆与双曲线的交点，
又，即它们也在点所在的圆上，且为直径，
所以为直角三角形，，

如上图，，且，
所以，
则，故的面积为.
故选：A.
12．已三棱锥中，是以角为直角的直角三角形，为的外接圆的圆心，，那么三棱锥外接球的半径为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设三棱锥外接球的球心为，半径为，连接，在中利用余弦定理可得，从而得，则，再可证得平面，所以三棱锥外接球的球心在直线上，然后在中可求得结果.
【详解】设三棱锥外接球的球心为，半径为，连接，如图，
因为是以角为直角的直角三角形，所以为圆的直径，则，
因为，，，所以在中由余弦定理得，
所以，得，
因为，所以，所以，
因为，为的中点，所以，
因为，平面，所以平面，
所以三棱锥外接球的球心在直线上，则，
在中，，所以，解得,
故选：D

【点睛】关键点点睛：此题考查三棱锥外球问题，考查余弦定理的应用，解题的关键是根据题意确定球心的位置，从而可求出球的半径，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.
二、填空题
13．已知，，，若，则 .
【答案】
【分析】由向量线性关系的坐标运算求得，再根据向量垂直的坐标表示列方程求参数.
【详解】由题设，又，
则.
故答案为：
14．已知二项式的展开式中的常数项为15，则 .
【答案】
【分析】应用二项式通项公式及已知常数项列方程求参数a即可.
【详解】由题设，二项式展开式通项为，
令，故.
故答案为：
15．将函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍，再向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，若方程在区间上有两个不同的实数根，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由图象平移得，根据正弦型函数的性质求单调区间、值域，画出大致图象，数形结合求参数范围.
【详解】将图象上每个点的横坐标扩大为原来的两倍，则，
再向右平移个单位，纵坐标不变，则，
又，则，故，
，则，即上递增；
，则，即上递减；
综上，大致图象如下，
方程在区间上有两个不同的实数根，故.
故答案为：
16．已知函数满足，点既是函数的对称中心，又是椭圆：上的点，若椭圆的长轴长不小于3，则的离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先求出函数的对称中心，即可得到椭圆经过点，从而得到，再根据，即可得到关于离心率的不等式，求解即可.
【详解】因为函数满足，
所以函数关于点对称，即，
又因为椭圆经过点，则，即，
所以，
所以，又因为，所以，解得，
又，所以，即.
故答案为：.
三、解答题
17．在中，角，，的对边分别为a，b，c，且.
(1)求的值；
(2)若，，求的面积.
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）利用余弦定理和正弦定理求解；
（2）利用三角形的面积公式.
【详解】（1）由，可得,
由余弦定理可得，，
整理得，边化角可得，,所以.
（2）由（1）可知，，
因为，所以，
所以的面积为.
18．如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面，D，E，F分别是AC，，的中点．

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积证明，，进而求证即可；
（2）先求出平面和平面的法向量，进而求解即可.
【详解】（1）证明：因为平面，平面，
所以，
因为，为的中点，
所以，
又，且平面，
所以平面，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
则，，，
所以，，
所以，，
又，且平面，
所以平面.
（2）由（1）得，，，
因为平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，得，
所以，
即二面角的余弦值为.

19．某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到列联表如表所示：
(1)是否有的把握认为购买手机款式与性别之间有关？请说明理由；
(2)用购买每款手机的频率估计一个顾客购买该款手机的概率，从所有购买两款手机的人中，选出3人作为幸运顾客，记3人中购买款手机的人数为，求的分布列与数学期望.
参考公式：，.
附：
【答案】(1)有的把握认为购买手机款式与性别之间有关，理由见解析；
(2)分布列见解析，期望为.
【分析】（1）应用卡方公式求卡方值，结合独立检验的基本思想即得结论；
（2）由题意，购买款手机的人数，应用二项分布概率求法求分布列，进而求期望.
【详解】（1）由，
所以有的把握认为购买手机款式与性别之间有关.
（2）由题设，从所有购买两款手机的人中，选出1人购买款手机的概率为，
所以，选出3人作为幸运顾客，其中购买款手机的人数，
故，，
，，
分布列如下：
所以.
20．已知拋物线：的焦点为.
(1)求拋物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线交于A，B两点，为坐标原点，设点关于直线的对称点为，求四边形面积的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由焦点坐标可得，求抛物线参数，即可得抛物线方程；
（2）令直线为，，联立抛物线并应用韦达定理得，由，进而得到，利用基本不等式求最小值，注意取值条件.
【详解】（1）由题设，，故拋物线的方程为.
（2）由题设，可令直线为，联立，得，显然，
所以，不妨设，则，
由，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以四边形面积的最小值为.
21．已知函数，，是的导函数.
(1)证明：在上存在唯一零点；
(2)若关于的不等式有解，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）对求导，构造利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理判断的零点，即可证结论；
（2）问题化为在上能成立，构造，，应用分类讨论及导数研究其单调性，只需各情况下的最大值大于等于0，求参数范围.
【详解】（1）由题设，令，所以，
上，递增，上，递减，且，
故上，则恒成立，
上存在一个零点，即存在一个零点；
综上，在上存在唯一零点；
（2）由（1）知：，
所以在上能成立，
令，，则，
当，时，，在上递增；
所以即可，故，此时；
当，时，，在上递减；
所以即可，故，此时；
当，使，
，，，递增；
，，，递减；
所以，
令，，则，
所以在上递增，故，即成立；
综上，的取值范围.
【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为研究，能成立，利用导数研究函数最大值的符号为关键.
22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线与极轴相交于点，动点满足.
(1)求直线的极坐标方程和点的轨迹的极坐标方程；
(2)若直线与直线，曲线分别相交于A，B两点（与极点不重合），求的值.
【答案】(1)直线l的极坐标方程为，点M的轨迹的极坐标方程C为
(2)
【分析】（1）直接利用转化关系，在参数方程和普通方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）联立方程组求出A，B的坐标，从而可求解．
【详解】（1）直线l的参数方程为（为参数）为转换为普通方程为，
根据转换为极坐标方程为．
令得，所以直线l与极轴的交点为，
设，由，得，整理得．
∴点M的轨迹方程C为.
（2）联立，解得故，
联立，解得故，
所以.
23．已知函数.
(1)时，解不等式；
(2)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分段函数求不等式即可；
（2）利用绝对值不等式先求得，再解一元二次不等式即可.
【详解】（1）当时，求得，
当时，由，
当时，由，
所以不等式的解集是；
（2）因为，所以，
要使对一切实数x恒成立，
只要即可，
解之得，所以实数a的取值范围为；
购买A款
购买B款
总计
女
25
20
45
男
15
40
55
总计
40
60
100
k
0
1
2
3