2024届四川省雅安市雅安市联考高三上学期期中考试数学（理）试题含答案

这是一份2024届四川省雅安市雅安市联考高三上学期期中考试数学（理）试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求解集合，再根据，即可求解.
【详解】因为，且，
因为
所以.
故选：C
2．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由均值不等式判断充分条件，再举出反例得到不是必要条件即可.
【详解】因为，解得，所以是充分条件；
当时满足，此时，所以不是必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：B
3．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A．B．C．4D．10
【答案】A
【分析】由奇函数性质有求参数，再利用奇偶性求.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，
所以.
故选：A
4．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（ ）

A．60B．80C．100D．120
【答案】C
【分析】根据频率之和为计算值，根据成绩落在的人数为10，成绩落在频率为列方程求
【详解】由图可知，，解得，则成绩在的频率为，由，得.
故选：C
5．执行如图所示的程序框图，输出的（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【分析】根据程序循环第二次时：，，，，满足题意，即可求解.
【详解】执行第一次循环，，，，
；
执行第二次循环，，，，
，此时输出.
故选：A.
6．已知等比数列满足，则（ ）
A．1B．3C．4D．15
【答案】B
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解.
【详解】设的公比为，
因为，解得，
所以.
故选：B.
7．小明准备将新买的《孟子》、《论语》、《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，则《论语》、《诗经》两本书相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据古典概型概率问题计算公式以及排列数的计算公式、捆绑法求得正确答案.
【详解】3本书立起来随机地放在书架上，基本事件有种，
其中《论语》、《诗经》两本书相邻的事件有种，
所以《论语》、《诗经》两本书相邻的概率为.
故选：A
8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由指数函数的性质判断的符号，进而确定的单调性即可知极大值点.
【详解】由的图象知，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
故的单调递增区间为，单调递减区间为和，
故的极大值点为.
故选：D
9．在中，，，，点是的重心，则（ ）
A．7B．8C．D．
【答案】D
【分析】根据向的运算法则化简求值即可.
【详解】点是的重心，连接并延长交于点，
则点为中点，且，即，
.
故选：D
10．某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过该设备过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（，是正常数）.若经过过滤后减少了的污染物，在此之后为了使得污染物减少到原来的还需要的时长大约为（参考数据：）（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题中条件，可求得，则当时，可求得的值，即可得到答案.
【详解】因为经过过滤后减少了的污染物，
所以，解得.
当时，，
解得.
故还需要大约93h.
故选：
11．如图，扇形是某社区的一块空地平面图，点在弧上（异于，两点），，，垂足分别为，，，，米.该社区物业公司计划将四边形区域作为儿童娱乐设施建筑用地，其余的地方种植花卉，则儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为（ ）

A．50平方米B．平方米
C．平方米D．平方米
【答案】C
【分析】表达出儿童娱乐设施建筑用地面积，根据得到，从而求出面积的最大值.
【详解】由题意可得米，米，米，
米，
则儿童娱乐设施建筑用地面积为
，
因为，所以，所以，
当，即时，取得最大值，最大值为，
则儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为平方米.
故选：C
12．已知数列满足，，若对于任意正整数，都有，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据求得；根据求得；在结合当时，有解来求得的取值范围.
【详解】因为，所以恒成立，即恒成立.
因为，所以.因为恒成立，
整理得恒成立.
因为，所以.
当时，由，
得在上有解，
故的取值范围是.
故选：C
【点睛】本题主要考查的是数列与不等式结合的问题，根据不等式的性质，可求得的取值范围，再根据取这个范围时，不等式成立来确定的范围.比较数列的大小（或求数列的单调性）时，可考虑差比较法来进行求解.
二、填空题
13．已知向量，，若，则 .
【答案】
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.
【详解】，因为，
所以，解得.
故答案为：
14．若，满足约束条件则的最小值为 .
【答案】
【分析】作出可行区域，然后令，根据几何意义即可求解.
【详解】作出可行域
当直线经过点时，取得最小值，且最小值为.
故答案为：.
15．已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题设在上有两个根，结合正弦函数的图象列不等式求参数范围.
【详解】由，得，
由，得.
因为在上有且仅有2个零点，
所以，解得.
故答案为：
16．已知函数，若恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】解法一，利用反函数的性质确定，得到，利用导数求函数的最值解决恒成立问题. 解法二，由，可得，则，构造函数，利用函数单调性解题.
【详解】解法一：由题知恒成立，
函数与函数互为反函数，
由反函数图象的性质，可得恒成立，
即，令函数，则，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，
，，
故的取值范围是.
解法二：由，可得，
则.
令函数，则，
因为是增函数，所以，即，
令函数，则，
当时，，当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，
，，
故的取值范围是.
故答案为：
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
三、解答题
17．已知数列的前项和为，且
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由与的关系和等比数列的定义进行求解即可；
（2）由错位相减法进行求解即可.
【详解】（1）由已知，当时，，即，∴.
当时，∵，
∴，
两式相减，得，即，∴（），
∴由等比数列的定义知，数列是首项，公比的等比数列，
∴数列的通项公式为.
（2）由第（1）问，，
∴，①
①，得，
，②
∴①②，得
，
∴.
18．如图，在三棱锥中，平面，，，分别为，的中点，且，，.
(1)证明：平面平面，
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而得到平面，由平行关系得到平面，进而得到面面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出锐二面角的余弦值.
【详解】（1）因为平面，平面，
所以，
又，，平面，
所以平面，
因为，分别为，的中点，所以，
则平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由，，，得，
则，，，，，
，，.
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，故.
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，得.
，
即平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
19．为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的，，三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换，，三种商品的概率分别为，，，乙兑换，，三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立.
(1)求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；
(2)记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望
【答案】(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）应用独立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；
（2）根据题设确定的可能取值并确定对应概率，即可写出分布列，进而求期望.
【详解】（1）由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为；
（2）由题意，兑换，，三种商品所需的积分分别为800，900，1000，
则的取值可能为0，100，200，300，400，
，，
，，
，
则的分布列为
.
20．已知椭圆：的焦距为，且.
(1)求的方程；
(2)A是的下顶点，过点的直线与相交于，两点，直线的斜率小于0，的重心为，为坐标原点，求直线斜率的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦距和和题目条件得到方程组，求出，得到椭圆方程；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，得到两根之和，再表达出重心坐标，，求出最大值.
【详解】（1）由题可知，解得
故的方程为；
（2）设的方程为，，.
联立方程组整理得，
则，得，
.
设，因为，所以，，
所以
，
当，即（满足）时，取得最大值，且最大值为.
21．已知函数.
(1)若曲线在处的切线经过坐标原点，求a的值
(2)若方程恰有2个不同的实数根，求a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数导数的几何意义即可求解；
（2）依题意，构造函数，运用分类讨论思想，求出函数的单调性，从而求出函数有2个零点时a的取值范围.
【详解】（1）因为，所以,由，，
得曲线在处的切线方程为.
因为该切线经过坐标原点，所以，
解得.
（2）令，则.
令，则.
若，则恒成立，在上单调递增.
因为，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，
即方程有且仅有1个实数根，不符合题意.
若，则由，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则.
令，，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则.
若，则恒成立，
则在上单调递增，不可能有两个零点，
即方程不可能有2个不同的实数根，不符合题意.
若，则，，显然当时，，故，.
又，所以当和时，，单调递增，
当时，，单调递减.
因为，当时，，所以，
则恰有2个零点，即方程恰有2个不同的实数根，符合题意.
若，则，，显然当时，，故，.
又，所以当和时，，单调递增，
当时，，单调递减.
因为，当时，，所以，，
则恰有2个零点，即方程恰有2个不同的实数根，符合题意.
综上所述，的取值范围为.
【点睛】利用导数解决函数零点（或方程根）问题主要有两种方法：
（1）利用导数研究函数的单调性、极值（或最值），转化为函数与x轴的交点问题：主要是应用分类讨论思想；
（2）分离参变量：通过分离变量转化为研究两个函数图像交点的个数问题.
22．在直角坐标系中，圆的方程为.
(1)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
(2)直线的参数方程是（为参数），与交于，两点，，求的斜率.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）直接计算圆的极坐标方程即可
（2）给出直线的极坐标方程，用极径表示线段长度即可
【详解】（1）由，，
可得圆的极坐标方程为
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
设，所对应的极径分别为，
将的极坐标方程代入的极坐标方程得，
所以，
，
解得，.
所以的斜率为或.
23．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若的图象与轴围成的三角形面积为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分情况去绝对值，再求解不等式；
（2）首先函数写成分段函数的形式，再求三角形的三个顶点，根据三角形的面积求解的值.
【详解】（1）若，则.
当时，由，解得，所以.
当时，，解得，所以.
当时，由，解得，所以.
综上，不等式的解集为.
（2）因为，
所以的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，
所以的面积为，
解得或（舍去）.
故.
0
100
200
300
400