湘教版（2019）选择性必修 第二册2.2 空间向量及其运算综合训练题

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第二册2.2 空间向量及其运算综合训练题，共6页。

A．eq \r(7)B．3
C．eq \r(10)D．3eq \r(2)
2．(多选)已知向量a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，则下列结论正确的是( )
A．a＋b＝(7，－5，0) B．a－b＝(5，－1，4)
C．a·b＝8D．|a|＝eq \r(5)
3．在空间直角坐标系中，已知A(－1，2，－3)，B(2，－4，6)，若eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(CB,\s\up6(→))，则C点坐标为________．
4．在空间直角坐标系中，已知△ABC的顶点分别为A(－1，2，3)，B(2，3，－1)，C(－3，1，eq \f(5,4))，求证：△ABC是直角三角形．
5.已知两个向量a＝(1，2，1)，b＝(2，m，2)，若a⊥b，则m的值为( )
A．－4B．－2
C．2D．8
6．已知向量a＝(1，0，m)，b＝(2，0，－2)，若a∥b，则|a|＝( )
A．1B．eq \r(2)
C．eq \r(3)D．2
7．已知向量a＝(5，3，1)，b＝(－2，t，－eq \f(2,5))，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围为________．
8．在空间直角坐标系O­xyz中，O为原点，已知点A(2，1，0)，B(3，2，2)，C(－1，1，4)，设向量a＝eq \(AB,\s\up6(→))，b＝eq \(AC,\s\up6(→)).
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若a与a－kb互相垂直，求实数k的值．
9．已知四边形ABCD是空间直角坐标系O­xyz中的一个平行四边形，且A(0，1，2)，B(－2，0，5)，C(1，－2，4).
(1)求点D的坐标；
(2)求平行四边形ABCD的面积S.
10.
如图，在直三棱柱ABC­A′B′C′中，AB＝BC＝BB′＝2，AB⊥BC，D为AB的中点，点E在线段C′D上，点F在线段BB′上，则线段EF长的最小值为( )
A．eq \f(\r(5),5)B．eq \f(2\r(5),5)
C．1D．eq \r(2)
11.
如图所示，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝eq \r(3)，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．
(1)求AC与PB所成角的余弦值；
(2)在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC，求N点的坐标．
课时作业(十五) 空间向量运算的坐标表示
1．解析：由于向量a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－3)，所以2a＋b＝(4，－1，1).故|2a＋b|＝eq \r(42＋（－1）2＋12)＝eq \r(18)＝3eq \r(2).
答案：D
2．解析：因为a＝(1，－2，－2)，b＝(6，－3，2)，
所以a＋b＝(7，－5，0)，故A正确；
a－b＝(－5，1，－4)，故B不正确；
a·b＝1×6＋2×3－2×2＝8，故C正确；
|a|＝eq \r(1＋4＋4)＝3，故D不正确．
答案：AC
3．解析：设C点坐标为(x，y，z)，则eq \(AC,\s\up6(→))＝(x＋1，y－2，z＋3)，eq \(CB,\s\up6(→))＝(2－x，－4－y，6－z)，由eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(CB,\s\up6(→))，
得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋1＝2（2－x）,y－2＝2（－4－y）,z＋3＝2（6－z）))，解得：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝－2,z＝3))，
故C点坐标为(1，－2，3).
答案：(1，－2，3)
4．证明：∵在空间直角坐标系中，
△ABC的顶点分别为A(－1，2，3)，B(2，3，－1)，C(－3，1，eq \f(5,4))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))＝(3，1，－4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2，－1，－eq \f(7,4))，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－5，－2，eq \f(9,4))，
∴eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝－6－1＋7＝0，
∴AB⊥AC，∴△ABC是直角三角形．
5．解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，即2＋2m＋2＝0，解得m＝－2.
答案：B
6．解析：由a∥b，则a＝λb，即1＝2λ，m＝－2λ，则λ＝eq \f(1,2)，m＝－2×eq \f(1,2)＝－1，所以a＝(1，0，－1)，
则|a|＝eq \r(12＋02＋（－1）2)＝eq \r(2).
答案：B
7．解析：由已知，得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×(－eq \f(2,5))＝3t－eq \f(52,5).
因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b<0，即3t－eq \f(52,5)<0，所以t若a与b的夹角为180°，则存在λ<0，使a＝λb(λ<0)，
即(5，3，1)＝λ(－2，t，－eq \f(2,5))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5＝－2λ，,3＝λt，,1＝－\f(2,5)λ，))
所以λ＝－eq \f(5,2)，t＝－eq \f(6,5).
故实数t的取值范围是(－∞，－eq \f(6,5))∪(－eq \f(6,5)，eq \f(52,15)).
答案：(－∞，－eq \f(6,5))∪(－eq \f(6,5)，eq \f(52,15))
8．解析：(1)由题，a＝(1，1，2)，b＝(－3，0，4)，
故a·b＝1×(－3)＋1×0＋2×4＝5，
|a|＝eq \r(6)，|b|＝5，
所以cs〈a，b〉＝eq \f(5,\r(6)×5)＝eq \f(\r(6),6)，
故a与b夹角余弦值为eq \f(\r(6),6).
(2)由a与a－kb互相垂直知，a·(a－kb)＝a2－ka·b＝0，
|a|2＝6，a·b＝5，即k＝eq \f(a2,a·b)＝eq \f(|a|2,a·b)＝eq \f(6,5).
9．解析：(1)由题设，eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，令D(x，y，z)，则(－2，－1，3)＝(1－x，－2－y，4－z)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x＝－2,－2－y＝－1，,4－z＝3))，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝－1,z＝1))，故D(3，－1，1).
(2)由(1)知，eq \(AD,\s\up6(→))＝(3，－2，－1)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1，3)，
则cs∠DAB＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AD,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AD,\s\up6(→))|)＝－eq \f(1,2)，
又∠DAB∈(0，π)，则sin∠DAB＝eq \f(\r(3),2)，
∴平行四边形ABCD的面积S＝2×eq \f(1,2)×|eq \(AB,\s\up6(→))|·|eq \(AD,\s\up6(→))|sin∠DAB＝7eq \r(3).
10．解析：
依题意，BA，BC，BB′两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，D(0，1，0)，B′(0，0，2)，C′(2，0，2)，eq \(DC′,\s\up6(→))＝(2，－1，2)，eq \(BB′,\s\up6(→))＝(0，0，2)，
设eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(DC′,\s\up6(→))，λ∈[0，1]，则E(2λ，1－λ，2λ)，设F(0，0，z)，有eq \(EF,\s\up6(→))＝(2λ，1－λ，z－2λ)，
线段EF长最短，必满足EF⊥BB′，则有eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(BB′,\s\up6(→))＝0，解得z＝2λ，即eq \(EF,\s\up6(→))＝(2λ，1－λ，0)，
因此，|eq \(EF,\s\up6(→))|＝eq \r(（2λ）2＋（1－λ）2)＝eq \r(5λ2－2λ＋1)＝eq \r(5（λ－\f(1,5)）2＋\f(4,5))≥eq \f(2\r(5),5)，当且仅当λ＝eq \f(1,5)时取“＝”，
所以线段EF长的最小值为eq \f(2\r(5),5).
答案：B
11．解析：
(1)由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(eq \r(3)，0，0)，C(eq \r(3)，1，0)，D(0，1，0)，
P(0，0，2)，E(0，eq \f(1,2)，1)，
从而eq \(AC,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，1，0)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(eq \r(3)，0，－2).
设eq \(AC,\s\up6(→))与eq \(PB,\s\up6(→))的夹角为θ，则csθ＝eq \f(\(AC,\s\up6(→))·\(PB,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|·|\(PB,\s\up6(→))|)＝eq \f(3,2\r(7))＝eq \f(3\r(7),14).
∴AC与PB所成角的余弦值为eq \f(3\r(7),14).
(2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x，0，z)，
则eq \(NE,\s\up6(→))＝(－x，eq \f(1,2)，1－z)，
由NE⊥平面PAC可得，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(NE,\s\up6(→))·\(AP,\s\up6(→))＝0，,\(NE,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(（－x，\f(1,2)，1－z）·（0，0，2）＝0，,（－x，\f(1,2)，1－z）·（\r(3)，1，0）＝0，))
化简得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(z－1＝0，,－\r(3)x＋\f(1,2)＝0，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(3),6)，,z＝1，))
即N点的坐标为(eq \f(\r(3),6)，0，1)时，NE⊥平面PAC.
练基础
提能力
培优生