高中湘教版（2019）3.2 离散型随机变量及其分布列课时训练

这是一份高中湘教版（2019）3.2 离散型随机变量及其分布列课时训练，共5页。


A.eq \f(1,6)B．eq \f(5,3)
C.eq \f(\r(5),3)D．eq \f(5,9)
2．已知随机变量X服从二项分布B(8，eq \f(1,2))，则E(3X－1)＝( )
A.11B．12
C.18D．36
3．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量X表示该运动员罚球1次的得分，E(X)＝________．
4．甲、乙两名同学同时参加学校象棋兴趣小组，在一次比赛中，甲、乙两名同学与同一位象棋教练进行比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，如果甲赢而乙输，则甲得2分；如果甲输而乙赢，则甲得－2分；如果甲和乙同时赢或同时输，则甲得0分．设甲赢教练的概率为0.5，乙赢教练的概率为0.4.求在两轮比赛中，甲得分Y的分布列及数学期望．
5.小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元．设小林最后获得的奖励为X元，则E(X)＝( )
A．176 B．182C．184 D．186
6．某皮划艇训练小组有7人，其中4人会划左浆，5人会划右浆．现选4人参加比赛，2人划左桨，2人划右浆，设选中的人中左右浆均会划的人数为X，则E(X)＝( )
A．eq \f(6,5) B．eq \f(7,5)C．eq \f(48,31) D．eq \f(38,31)
7．一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是eq \f(7,9)，则袋中的白球个数为________，若从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．
8．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个．
(1)用ξ表示取到的豆沙粽的个数，求ξ的分布列；
(2)求E(ξ)及E(2ξ＋1).
9．高考改革新方案中语文、数学、外语为必考的3个学科，然后在历史、物理2个学科中自主选择1个科目，在政治、地理、化学、生物4个学科中自主选择2个科目参加考试，称为“3＋1＋2”模式，为了解学生选科情况，长沙某中学随机调查了该校的300名高三学生，调查结果为选历史的100人．
(1)从该中学高三学生中随机抽取1人，求此人是选考历史的概率；
(2)以这300名高三学生选历史的频率作为全校高三学生选历史的概率．现从该中学高三学生中随机抽取3人，记抽取的3人中选考历史的人数为X，求X的分布列与数学期望．
10.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为p(0＜p＜1)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)＞1.75，则p的取值范围为________．
11．从2021年起，全国高考数学加入了新题型多选题，每个小题给出的四个选择中有多项是正确的，其中回答错误得0分，部分正确得2分，完全正确得5分，小明根据以前做过的多项选择题统计得到，多选题有两个选项的概率为p，有三个选项的概率为1－p(其中0Ⅰ：选择A，再从剩下的C，D选项中随机选择一个，小明该题的得分为X；
Ⅱ：选择ACD，小明该题的得分为Y；
Ⅲ：只选择A，小明该题的得分为Z.
在p变化时，根据该题得分的期望来帮助小明分析该选择哪个策略．
课时作业(三十) 离散型随机变量的数学期望
1．解析：由分布列性质，eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋a＝1，则a＝eq \f(1,6)，
所以E(X)＝1×eq \f(1,2)＋2×eq \f(1,3)＋3×eq \f(1,6)＝eq \f(5,3).
答案：B
2．解析：∵随机变量X服从二项分布B(8，eq \f(1,2))，
∴E(X)＝8×eq \f(1,2)＝4，
E(3X－1)＝3E(X)－1＝3×4－1＝11.
答案：A
3．解析：Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(X))＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.
答案：0.7
4．解析：由题设，Y的可能取值－4，－2，0，2，4，
P(Y＝－4)＝0.2×0.2＝0.04，
P(Y＝－2)＝0.2×0.5＋0.5×0.2＝0.2，
P(Y＝0)＝0.2×0.3＋0.3×0.2＋0.5×0.5＝0.37，
P(Y＝2)＝0.5×0.3＋0.3×0.5＝0.3，
P(Y＝4)＝0.3×0.3＝0.09.
Y的概率分布为
所以E(Y)＝－4×0.04＋(－2)×0.2＋0×0.37＋2×0.3＋4×0.09＝0.4.
5．解析：依题意可得X的可能值为200，180，160.
P(X＝200)＝0.4，P(X＝180)＝0.3，P(X＝160)＝0.3，
X的分布列为
所以E(X)＝200×0.4＋(180＋160)×0.3＝182.
答案：B
6．解析：由题意7人中既会划左浆又会划右浆的有2人，所以选4人参加比赛共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝31(种)选法，当X＝0时，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝3(种)，P(X＝0)＝eq \f(3,31)，当X＝1时，有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＝18(种)，P(X＝1)＝eq \f(18,31)；当X＝2时，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝10(种)，P(X＝2)＝eq \f(10,31)，E(X)＝eq \f(18,31)＋eq \f(10,31)×2＝eq \f(38,31).
答案：D
7．解析：依题意，设白球个数为x，至少得到一个白球的概率是eq \f(7,9)，则不含白球的概率为eq \f(2,9)，可得eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10－x)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) )＝eq \f(2,9)，即(10－x)(9－x)＝20，解得x＝5.依题意，随机变量ξ～H(10，5，3)，所以E(ξ)＝eq \f(3×5,10)＝eq \f(3,2).
答案：5 eq \f(3,2)
8．解析：(1)由题意可得，ξ的所有可能取值为0，1，2，
P(ξ＝0)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) )＝eq \f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) )＝eq \f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ,C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) )＝eq \f(1,5)，
故ξ的分布列为
(2)E(ξ)＝0×eq \f(1,5)＋1×eq \f(3,5)＋2×eq \f(1,5)＝1，
E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝2×1＋1＝3.
9．解析：(1)设该中学高三学生中随机抽取1人，此人是选考历史为事件A，
则P(A)＝eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(100)) ,C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(300)) )＝eq \f(1,3)，
所以该中学高三学生中随机抽取1人，此人是选考历史的概率为eq \f(1,3).
(2)由题意得：全校高三学生选历史的概率为eq \f(1,3)，
则X～B(3，eq \f(1,3))，
则P(X＝0)＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) (eq \f(1,3))0(eq \f(2,3))3＝eq \f(8,27)，
P(X＝1)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) (eq \f(1,3))1(eq \f(2,3))2＝eq \f(4,9)，
P(X＝2)＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) (eq \f(1,3))2·eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)，
P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) (eq \f(1,3))3＝eq \f(1,27)，
所以X的分布列为
数学期望为E(X)＝0×eq \f(8,27)＋1×eq \f(4,9)＋2×eq \f(2,9)＋3×eq \f(1,27)＝1(或E(X)＝3×eq \f(1,3)＝1).
10．解析：由题意知P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝p(1－p)，P(X＝3)＝(1－p)2，所以E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2>1.75，解得p>eq \f(5,2)或p答案：011．解析：：选策略Ⅰ，则小明得分为X的分布为
得分的期望为E(X)＝2(1－p)＋5×eq \f(1,2)p＝2＋eq \f(1,2)p>2.
选策略Ⅱ，则小明得分为Y的分布为
得分的期望为E(Y)＝5(1－p)＝5－5p.
选策略Ⅲ，得分为Z，则E(Z)＝2，
当2＋eq \f(1,2)p－(5－5p)＝eq \f(11,2)p－3>0⇒1>p>eq \f(6,11)，
此时E(X)>E(Y)，E(X)>E(Z)，故此时选择策略Ⅰ，
当0当p＝eq \f(6,11)时，策略Ⅰ，Ⅱ概率一样，都可以．
练基础
X
1
2
3
P
eq \f(1,2)
eq \f(1,3)
a
提能力
培优生
Y
－4
－2
0
2
4
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09
X
200
180
160
P
0.4
0.3
0.3
ξ
0
1
2
P
eq \f(1,5)
eq \f(3,5)
eq \f(1,5)
X
0
1
2
3
P
eq \f(8,27)
eq \f(4,9)
eq \f(2,9)
eq \f(1,27)
X
0
2
5
P
eq \f(1,2)p
1－p
eq \f(1,2)p
Y
0
5
P
p
1－p