数学4.2 一元线性回归模型习题

这是一份数学4.2 一元线性回归模型习题，共7页。试卷主要包含了已知在某次试验中获得的数据如下，5＋4×3＋5×4＋6×4，5，等内容，欢迎下载使用。

A.y大约增加3个单位
B．y大约减少5个单位
C.y大约增加5个单位
D．y大约减少3个单位
2．已知变量x与y线性相关，由观测数据算得样本的平均数x＝2，y＝5，回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝bx＋a中的系数a，b满足a－b＝2，则回归直线方程为( )
A．eq \(y,\s\up6(^))＝－2x＋1B．eq \(y,\s\up6(^))＝2x－1
C．eq \(y,\s\up6(^))＝x＋3D．eq \(y,\s\up6(^))＝3x＋1
3．已知回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝2x＋eq \(a,\s\up6(^))的样本中心为(3.5，11)，则当x＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝________．
4．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次实验，得到的数据如下：
求y关于x的回归直线方程．
5.下表为某班5位同学身高x(单位：cm)与体重y(单位：kg)的数据：
若两个量之间的回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.3x＋m，则m的值为( )
A.－140B．140
．－144.7
6．(多选)为了迎接期末考试，某高中学校进行5次期末模拟考试，其中小胡的考试次数x与每次考试的成绩y统计如表所示，
假如根据表中的数据可得考试的次数x与每次考试的成绩y可得回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，则下面结论正确的为( )
A.回归直线方程一定过点(3，110)
B.回归直线方程中的考试次数x与考试成绩y是正相关
C.上述的表中表示的点(x，y)都在回归直线上
D.若把yi当作样本的数据，样本的方差s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(y)) ＝30
7．下表是某饮料专卖店一天卖出奶茶的杯数y与当天气温x(单位：℃)的对比表，已知表中数据计算得到y关于x的回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋27，则相应于点(10，20)的随机误差为________．
8.已知在某次试验中获得的数据如下：
其中不慎将数据y2丢失，但知道这四组数据高度正相关且求得回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.5x＋eq \(a,\s\up6(^))，求eq \(a,\s\up6(^))，并估算y2.
9．已知y与x有关系，现得到10对数据，并对该数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值如下表所示．
(1)从散点图可以看出，y与x具有线性相关关系，请利用相关系数r进行证明；
(2)根据表中数据，建立y关于x的回归直线方程(保留两位小数).
参考公式：
相关系数r＝
eq \f(\i\su(i＝1,n,)（xi－x）（yi－y）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－x）2\i\su(i＝1,n,)（yi－y）2))，
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)（xi－x）（yi－y）,\i\su(i＝1,n,)（xi－x）2)，eq \(a,\s\up6(^))＝y－eq \(b,\s\up6(^))x．
10.医学中判断男生的体重是否超标有一种简易方法，就是用一个人身高的厘米数减去105所得差值即为该人的标准体重．比如身高175cm的人，其标准体重为175－105＝70公斤，一个人实际体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了．已知某班共有30名男生，从这30名男生中随机选取6名，其身高和体重的数据如表所示：
(1)从编号为1，2，3，4，5的这5人中任选2人，求恰有1人体重超标的概率；
(2)依据上述表格信息，用最小二乘法求出了体重y对身高x的回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.65x＋eq \(a,\s\up6(^))，但在用回归方程预报其他同学的体重时，预报值与实际值吻合不好，需要对上述数据进行随机误差分析．按经验，对随机误差在区间(－3.4，3.4)之外的同学要重新采集数据．问上述随机抽取的编号为3，4，5，6的四人中，有哪几位同学要重新采集数据？
课时作业(三十四) 回归直线方程
1．解析：令f(x)＝3－5x，则f(x＋1)－f(x)＝－5(x＋1)－(－5x)＝－5x－5＋5x＝－5，则变量x增加一个单位，y大约减少5个单位，故选B.
答案：B
2．解析：由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b＝2,5＝2b＋a))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝3,b＝1))，∴回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝x＋3.故选C.
答案：C
3．解析：因为回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝2x＋eq \(a,\s\up6(^))的样本中心为(3.5，11)，
所以11＝2×3.5＋eq \(a,\s\up6(^))，解得eq \(a,\s\up6(^))＝4，
即回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝2x＋4，
当x＝6时，eq \(y,\s\up6(^))＝2×6＋4＝16.
答案：16
4．解析：由表中数据得：eq \i\su(i＝1,4,)xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，
＝32＋42＋52＋62＝86，x＝eq \f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，y＝eq \f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，
∴eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝0.7，
∴eq \(a,\s\up6(^))＝y－eq \(b,\s\up6(^))x＝3.5－0.7×4.5＝0.35，
∴eq \(y,\s\up6(^))＝0.7x＋0.35.
5．解析：因为x＝eq \f(169＋172＋166＋177＋161,5)＝169，y＝eq \f(75＋80＋70＋85＋65,5)＝75，
又回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.3x＋m，
所以y＝1.3x＋m，即75＝1.3×169＋m，
所以m＝－144.7，故选D.
答案：D
6．解析：由已知x＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，
y＝eq \f(100＋110＋110＋115＋115,5)＝110，
所以回归直线一定过点(3，110)，故选项A正确；
由表格可得回归直线方程中的考试次数x与考试成绩y是正相关，故选项B正确；
易知表中所表示的点(x，y)不一定都在回归直线上，故选项C错误；由题意得s eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(y)) ＝eq \f(1,5)
[(100－110)2＋(110－110)2＋(110－110)2＋(115－110)2＋(115－110)2]＝30，故选项D正确，故选ABD.
答案：ABD
7．解析：x＝eq \f(5＋10＋15＋20＋25,5)＝15，
y＝eq \f(26＋20＋16＋14＋14,5)＝18，
代入回归直线方程eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋27得18＝15eq \(b,\s\up6(^))＋27，解得eq \(b,\s\up6(^))＝－0.6，
则回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝－0.6x＋27.
所以，相应于点(10，20)的随机误差为20－(－0.6×10＋27)＝－1.
答案：－1
8．解析：x＝eq \f(12＋17＋21＋28,4)＝19.5，
y＝eq \f(5.4＋y2＋9.3＋13.5,4)＝eq \f(28.2＋y2,4)，
＝12×5.4＋17y2＋21×9.3＋28×13.5＝638.1＋17y2，
＝122＋172＋212＋282＝1658，
代入eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,4,x)iyi－4x·y,\i\su(i＝1,4,x) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －4x2)＝eq \f(638.1＋17y2－19.5（28.2＋y2）,1658－4×19.52)＝0.5，得y2＝7.88，y＝9.02，
所以eq \(a,\s\up6(^))＝y－eq \(b,\s\up6(^))x＝9.02－0.5×19.5＝－0.73.
9．解析：(1)由题意得，
r＝eq \f(\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))（xi－x）（yi－y）,\r(\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))（xi－x）2\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))（yi－y）2))＝eq \f(0.674,\r(1.989×0.244))＝eq \f(0.674,\r(0.485316))≈0.9675，
所以y与x具有很强的线性相关关系；
(2)eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))（xi－x）（yi－y）,\(∑,\s\up6(10),\s\d4(i＝1))（xi－x）2)＝eq \f(0.674,1.989)≈0.34，
又x＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10,)xi＝49.61，y＝eq \f(1,10)eq \i\su(i＝1,10,)yi＝16.86，
所以eq \(a,\s\up6(^))＝16.86－eq \f(0.674,1.989)×49.61≈0.05，
所以y关于x的回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.34x＋0.05.
10．解析：(1)由表可知：
1号同学的标准体重为165－105＝60；
2号同学的标准体重为171－105＝66；
3号同学的标准体重为160－105＝55；
4号同学的标准体重为173－105＝68；
5号同学的标准体重为178－105＝73；
故3号、4号同学体重超标．
所有基本事件为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10个，
恰有1人体重超标包含基本事件为(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，5)，(4，5)共6个，
恰有1人体重超标记为A，则P(A)＝0.6.
(2)因为x＝eq \f(165＋171＋160＋173＋178＋167,6)＝169，
y＝eq \f(60＋63＋62＋70＋71＋58,6)＝64，
回归直线方程必过样本中心(169，64)，得64＝0.65×169＋eq \(a,\s\up6(^))，即eq \(a,\s\up6(^))＝－45.85，
所以回归直线方程为eq \(y,\s\up6(^))＝0.65x－45.85，
随机误差分析：
eq \(e,\s\up6(^))3＝62－0.65×160＋45.85＝3.85，
eq \(e,\s\up6(^))4＝70－0.65×173＋45.85＝3.4，
eq \(e,\s\up6(^))5＝71－0.65×178＋45.85＝1.15，
eq \(e,\s\up6(^))6＝58－0.65×167＋45.85＝－4.7，
故3号，4号和6号同学需要重新采集数据．
练基础
零件的个数x(个)
3
4
5
6
加工的时间y(h)
2.5
3
4
4.5
提能力
身高x
169
172
166
177
161
体重y
75
80
70
85
65
x(次数)
1
2
3
4
5
y(分数)
100
110
110
115
115
气温x/℃
5
10
15
20
25
杯数y
26
20
16
14
14
n
1
2
3
4
xn
12
17
21
28
yn
5.4
y2
9.3
13.5
eq \i\su(i＝1,10,x)i
eq \i\su(i＝1,10,y)i
eq \i\su(i＝1,10,)(xi－x)2
eq \i\su(i＝1,10,)(yi－y)2
eq \i\su(i＝1,10,x)iyi
eq \i\su(i＝1,10,)(xi－x)·
(yi－y)
496.1
168.6
1.989
0.244
8364.92
0.674
培优生
编号
1
2
3
4
5
6
身高x(cm)
165
171
160
173
178
167
体重y(kg)
60
63
62
70
71
58