新教材2023版高中数学本册过关检测湘教版选择性必修第二册

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本册过关检测(时间：120分钟　满分：150分)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a＝(1，3，－1)，b＝(2，k，5)，若a⊥b，则实数k的值为(　　)A．1B．－1C．eq \f(7,3)D．－eq \f(7,3)2．若离散型随机变量X的分布列如图所示．则实数a的值为(　　)A．a＝－2或a＝eq \f(1,3)B．a＝－2C．a＝eq \f(1,3)D．a＝2或a＝－eq \f(1,3)3．若曲线f(x)＝lnx＋eq \f(a,x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为－1，则实数a的值为(　　)A．2B．1C．0D．－24．下列关于独立性检验的说法正确的是(　　)A．独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验B．独立性检验可以100%确定两个变量之间是否具有某种关系C．利用χ2独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们则可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病D．对于独立性检验，随机变量χ2的观测值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大5．首届中国国际进口博览会期间，甲、乙两家中国企业都有意向购买同一种型号的机床设备，他们购买该机床设备的概率分别为eq \f(1,2)，eq \f(1,3)，且两家企业的购买结果相互之间没有影响，则两家企业中恰有1家购买该机床设备的概率是(　　)A．eq \f(5,6)B．eq \f(1,2)C．eq \f(11,24)D．eq \f(1,6)6．函数f(x)＝eq \f(lnx,x)的最大值为(　　)A．1B．eC．eq \f(1,e)D．e27．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M在EF上，且CM⊥平面BDE，则M点的坐标为(　　)A．(eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)，1) B．(1，eq \f(\r(2),2)，1)C．(eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)) D．(1，1，1)8．设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第一车间的次品率为0.15，第二车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库，假设第一，二车间生产的成品比例为2：3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，则该产品合格的概率为(　　)A．0.132　　B．0.112　C．0.868　　D．0.888二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是(　　)A．若两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别是a＝(2，－2，－1)，b＝(－2，－2，1)，则l1∥l2B．若直线l的方向向量是a＝(1，1，2)，平面α的法向量是n＝(－2，－2，－4)，则l⊥αC．若直线l的方向向量是a＝(0，2，0)，平面α的法向量是n＝(－2，0，2)，则l∥αD．若两个不同的平面α，β的法向量分别是m＝(3，－4，2)，n＝(－2，0，3)，则α⊥β10．下列命题是假命题的有(　　)A．回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)中的一个B．若变量y和x之间的相关系数r＝－0.9362，则变量y和x之间的负相关性很强C．在回归分析中，决定系数R2为0.80的模型比决定系数R2为0.98的模型拟合的效果要好D．在回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝0.5x－8中，变量x＝2时，变量y预测值是－7，则变量y观测值一定是－711．下列结论正确的是(　　)A．若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝eq \f(1,2)，则D(X)＝eq \f(1,4)B．若随机变量ξ服从二项分布B(4，eq \f(1,2))，则D(ξ)＝1C．若随机变量ξ服从二项分布B(4，eq \f(1,2))，则P(ξ＝3)＝eq \f(1,4)D．若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝812．已知函数f(x)＝xsinx＋acosx－1(a∈R)，函数g(x)＝f′(x)，则下列结论正确的为(　　)A．g′(x)＝(2－a)cosx＋xsinxB．任意a∈(－∞，2]，g(x)在区间(eq \f(π,2)，π)上单调递减C．当a＝1时，f(x)在区间(－π，π)上有3个零点D．若x＝0为f(x)的极大值点，则a>2三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．设某次化学试验的成功率是失败率的5倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________．14．某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000名高中男生的身高ξ(单位：cm)服从正态分布N(172，σ2)，且P(172＜ξ≤180)＝0.4，那么该市身高高于180cm的高中男生人数大约为________．15．函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋ax2＋(a＋2)x－1有极大值又有极小值，则实数a的范围是________．16.如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，BC＝CD＝1，AB＝2，E为AB的中点，以DE为折痕将△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC＝eq \r(3)，则C到平面PBD的距离为________；PC与平面PBD所成角的余弦值为________．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)甲、乙两人练习投篮，每次投篮命中的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(1,2).设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响．(1)如果甲、乙两人各投篮1次，求两人投篮都没有命中的概率；(2)如果甲投篮3次，求甲至多有1次投篮命中的概率．18．(本小题满分12分)近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，随机抽样调查某市2015～2021年的家庭平均教育支出，得到如下表格．(附：年份代码1～7分别对应的年份是2015～2021).经计算得eq \i\su(i＝1,7,)(ti－eq \o(t,\s\up6(－)))(yi－eq \o(y,\s\up6(－)))＝139.(1)建立y关于t的线性回归方程；(精确到0.01)(2)若2022年该市某家庭总支出为10万元，预测该家庭教育支出约为多少万元？附：线性回归方程：eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))t＋eq \o(a,\s\up6(^))，其中eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,)（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,n,)（ti－\o(t,\s\up6(－))）2)，eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(t,\s\up6(－)).19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x＋a)ex.(1)若f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的值；(2)若f(x)在(－1，1)上单调递增，求实数a的取值范围．20．(本小题满分12分)如图，在四棱台ABCD­A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是矩形，AB＝2BC＝2A1B1＝2，平面A1B1BA⊥平面ABCD，平面A1D1DA⊥平面ABCD.(1)求证：AA1⊥平面ABCD；(2)若二面角A­BB1­D的余弦值为eq \f(\r(6),3)，求四棱台ABCD­A1B1C1D1的高．21．(本小题满分12分)“五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康、解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：(1)求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95%的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？(2)教务处从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，校长再从这9人中选取3人进行访谈，记校长选取的3人中男生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：χ2＝eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝axlnx－x2＋2.(1)设g(x)＝eq \f(f（x）,x)，讨论g(x)的单调性；(2)若y＝f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y＝1.①求实数a的值；②当x∈(0，2)时，证明：00可得0e，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)＝eq \f(lnx,x)在x＝e处取得极大值，即最大值，所以f(x)max＝f(e)＝eq \f(1,e).故选C.答案：C7．解析：设M点的坐标为(x，y，1)，C(0，0，0)，D(eq \r(2)，0，0)，B(0，eq \r(2)，0)，E(0，0，1)，则eq \o(DE,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)，0，1)，eq \o(DB,\s\up6(→))＝(－eq \r(2)，eq \r(2)，0)，eq \o(CM,\s\up6(→))＝(x，y，1)，∵CM⊥平面BDE，∴CM⊥DE，CM⊥DB，即eq \o(CM,\s\up6(→))⊥eq \o(DE,\s\up6(→))，eq \o(CM,\s\up6(→))⊥eq \o(DB,\s\up6(→))，所以，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\r(2)x＋1＝0,－\r(2)x＋\r(2)y＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2),y＝\f(\r(2),2)))，所以，M点的坐标为(eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)，1)，故选A.答案：A8．解析：从仓库中随机提出的一台是合格品为事件B，事件Ai表示提出的一台是第i车间生产的，i＝1，2，由题意可得P(A1)＝eq \f(2,5)＝0.4，P(A2)＝0.6，P(B|A1)＝0.85，P(B|A2)＝0.88，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝0.4×0.85＋0.6×0.88＝0.868，所以该产品合格的概率为0.868.故选C.答案：C9．解析：对于A，因为向量a，b不平行，所以l1，l2不平行，故A不正确；对于B，因为n＝－2a，所以a∥n，故B正确；对于C，因为a·n＝0×(－2)＋2×0＋0×2＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l在平面α内，故C不正确；对于D，因为m·n＝－6＋0＋6＝0，所以α⊥β，故D正确．故选BD.答案：BD10．解析：对于A，回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))是由最小二乘法计算出来的，它不一定经过其样本数据点，一定经过(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))，所以A是假命题；对于B，由相关系数的意义，当|r|越接近1时，表示变量y与x之间的线性相关程度越强，变量y和x之间的相关系数r＝－0.9362，则变量y和x之间具有很强的线性相关关系，所以B是真命题；对于C，用决定系数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好，所以C是假命题；对于D，在回归方程eq \o(y,\s\up6(^))＝0.5x－8中，变量x＝2时，变量y的预测值是－7，但实际观测值可能不是－7，所以D是假命题．故选ACD.答案：ACD11．解析：若随机变量X服从两点分布，P(X＝1)＝eq \f(1,2)，则D(X)＝eq \f(1,2)(1－eq \f(1,2))＝eq \f(1,4)，A对；若随机变量ξ服从二项分布B(4，eq \f(1,2))，则D(ξ)＝4×eq \f(1,2)×(1－eq \f(1,2))＝1，B对；若随机变量ξ服从二项分布B(4，eq \f(1,2))，则P(ξ＝3)＝C eq \o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)) (eq \f(1,2))3(1－eq \f(1,2))＝eq \f(1,4)，C对；若随机变量Y的方差D(Y)＝2，则D(3Y＋2)＝9D(Y)＝18，D错，故选ABC.答案：ABC12．解析：对于A：∵g(x)＝f′(x)＝(1－a)sinx＋xcosx，∴g′(x)＝(2－a)cosx－xsinx，故选项A错误；对于B：当a∈(－∞，2]，x∈(eq \f(π,2)，π)时，(2－a)cosx≤0，－xsinx<0，∴g′(x)＝(2－a)cosx－xsinx<0，∴g(x)在区间(eq \f(π,2)，π)上单调递减，故选项B正确；对于C：当a＝1时，f(x)＝xsinx＋cosx－1，f′(x)＝xcosx.当x∈(－π，－eq \f(π,2))时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(－eq \f(π,2)，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(0，eq \f(π,2))时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(eq \f(π,2)，π)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，又∵f(－π)＝f(π)＝－2<0，f(－eq \f(π,2))＝f(eq \f(π,2))＝eq \f(π,2)－1>0，f(0)＝0，∴f(x)在区间(－π，π)上有3个零点，故选项C正确；对于D：当a＝2时，g(x)＝f′(x)＝－sinx＋xcosx，g′(x)＝－xsinx，当x∈(－eq \f(π,2)，0)时，g′(x)＝－xsinx<0，f′(x)单调递减，∴f′(x)>f′(0)＝0，f(x)单调递增；当x∈(0，eq \f(π,2))时，g′(x)＝－xsinx<0，f′(x)单调递减，∴f′(x)0，解得a<－1或a>2，即实数a的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞).答案：(－∞，－1)∪(2，＋∞)16．解析：如图，连接EC.在△PEC中，PE＝1，EC＝eq \r(2)，PC＝eq \r(3)，所以PE2＋EC2＝PC2，所以PE⊥EC.因为PE⊥DE，DE∩EC＝E，DE，EC⊂平面BCDE，所以PE⊥平面BCDE.以E为坐标原点，以eq \o(EB,\s\up6(→))，eq \o(ED,\s\up6(→))，eq \o(EP,\s\up6(→))的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系E－xyz，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，eq \o(DB,\s\up6(→))＝(1，－1，0)，eq \o(DP,\s\up6(→))＝(0，－1，1)，eq \o(PC,\s\up6(→))＝(1，1，－1)，eq \o(CD,\s\up6(→))＝(－1，0，0).设平面PBD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n·\o(DB,\s\up6(→))＝x－y＝0,n·\o(DP,\s\up6(→))＝－y＋z＝0))，令x＝1，得n＝(1，1，1)，所以C到平面PBD的距离d＝eq \f(|\o(CD,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq \f(1,\r(3))＝eq \f(\r(3),3).因为cos〈eq \o(PC,\s\up6(→))，n〉＝eq \f(\o(PC,\s\up6(→))·n,|\o(PC,\s\up6(→))||n|)＝eq \f(1,3)，所以PC与平面PBD所成角的余弦值为eq \f(2\r(2),3).答案：eq \f(\r(3),3)　eq \f(2\r(2),3)17．解析：(1)记“甲、乙两人各投篮1次，且都没有命中”为事件A，因为甲每次投篮命中的概率为eq \f(1,3)，所以甲投篮一次且没有命中的概率为1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).同理，乙投篮一次且没有命中的概率为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，所以P(A)＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,3).(2)记“甲投篮3次，且至多有1次投篮命中”为事件B.因为甲每次投篮命中的概率为eq \f(1,3)，以甲投篮3次，且都没命中的概率为C eq \o\al(\s\up1(0),\s\do1(3)) ×(1－eq \f(1,3))3＝eq \f(8,27)，甲投篮3次，且恰有1次投篮命中的概率为C eq \o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)) ×eq \f(1,3)×(1－eq \f(1,3))2＝eq \f(4,9).所以P(B)＝eq \f(8,27)＋eq \f(4,9)＝eq \f(20,27).18．解析：(1)eq \o(t,\s\up6(－))＝eq \f(1,7)(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，eq \o(y,\s\up6(－))＝eq \f(1,7)(21＋26＋34＋38＋43＋46＋51)＝37，∴eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,7,)（ti－\o(t,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\i\su(i＝1,7,)（ti－\o(t,\s\up6(－))）2)＝eq \f(139,28)≈4.96，eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(t,\s\up6(－))＝37－4.96×4≈17.16，所以，回归直线方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝4.96t＋17.16.(2)当t＝8时，y＝4.96×8＋17.16＝56.84，故家庭教育支出为10×56.84%＝5.684万元．19．解析：(1)因为f′(x)＝ex＋(x＋a)ex＝(x＋a＋1)ex，所以f′(1)＝(a＋2)e＝0，得a＝－2，此时f′(x)＝(x－1)ex，所以在(－∞，1)上f′(x)<0，f(x)单调递减，在(1，＋∞)上f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝1处取得极小值，符合题意，故实数a的值为－2.(2)由(1)知，f′(x)＝(x＋a＋1)ex，因为f(x)在(－1，1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1，1)上恒成立．因为ex>0，所以x＋a＋1≥0在(－1，1)上恒成立，即a≥－x－1在(－1，1)上恒成立．因为g(x)＝－x－1在(－1，1)上单调递减，所以g(x)0，eq \f(a－\r(a2－8),2)＜x＜eq \f(a＋\r(a2－8),2)，∴g(x)在(0，eq \f(a－\r(a2－8),2))，(eq \f(a＋\r(a2－8),2)，＋∞)上单调递减，在(eq \f(a－\r(a2－8),2)，eq \f(a＋\r(a2－8),2))上单调递增．综上所述，当a≤2eq \r(2)时，g(x)在(0，＋∞)上单调递减；当a>2eq \r(2)时，g(x)在(0，eq \f(a－\r(a2－8),2))，(eq \f(a＋\r(a2－8),2)，＋∞)上单调递减，在(eq \f(a－\r(a2－8),2)，eq \f(a＋\r(a2－8),2))上单调递增．(2)①f′(x)＝alnx＋a－2x，因为f(x)的图象在点(1，1)处的切线方程为y＝1.所以f′(1)＝0，即f′(1)＝a－2＝0，解得a＝2；所以实数a的值为2.②f′(x)＝2(lnx＋1－x)，设F(x)＝lnx＋1－x，x∈(0，2)，F′(x)＝eq \f(1,x)－1＝eq \f(－（x－1）,x)，令F′(x)＝0，即eq \f(－（x－1）,x)＝0，解得x＝1，当10，所以F(x)在(0，1)上递增，F(x)max＝F(1)＝ln1＋1－1＝0，∴F(x)≤0，即f′(x)≤0(且不恒为0)成立，f(x)在(0，2)上单调递减，f(x)>f(2)＝4ln2－2＝ln16－lne2>0，由F(x)≤0可得lnx≤x－1，则f(x)＝2xlnx－x2＋2≤2x(x－1)－x2＋2＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1<2，综上可得，当x∈(0，2)时，0