高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列课后练习题

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册1.2 等差数列课后练习题，共6页。

1．下列叙述正确的是( )
A．数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列
B．数列0，1，2，3，…可以表示为{n}
C．数列0，1，0，1，…是常数列
D．数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n,n＋1)))是递增数列
2．数列{an}满足a1＝a2＝1，且an＝an－1＋an－2，(n≥3)，则a5＝( )
A．1 B．2C．5 D．8
3．数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( )
A．an＋1＝an＋n，n∈N＋
B．an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2
C．an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N＋，n≥2
D．an＝an－1＋(n－1)，n∈N＋，n≥2
4．[2022·湖南长沙模拟]一百零八塔是中国现存的大型古塔群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按1、3、3、5、5、7、9、11、13、15、17、19的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型：第1层塔身覆钵式，2～4层为八角鼓腹锥顶状，5～6层呈葫芦状，7～12层呈宝瓶状，现将一百零八塔按从上到下，从左到右的顺序依次编号1，2，3，4，…，108.则编号为26的佛塔所在层数和塔体形状分别为( )
一百零八塔全景
A.第5行，呈葫芦状B．第6行，呈葫芦状
C．第7行，呈宝瓶状D．第8行，呈宝瓶状
5．已知数列{an}的前n项积为Tn，且满足an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)(n∈N＋)，若a1＝eq \f(1,4)，则T18为( )
A．－4B．－eq \f(3,5)
C．－eq \f(5,3)D．eq \f(5,12)
6．(多选)满足下列条件的数列{an}(n∈N＋)是递增数列的为( )
A．an＝eq \f(1,n)B．an＝n2＋n
C．an＝1－2nD．an＝2n＋1
7．[2022·湖南长郡中学模拟]请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；②{an}为单调递增数列；③08．已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝1－eq \f(1,an)(n∈N＋)，则a2021＝________．
9．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(an,2an＋1)(n∈N＋)，求a2，a3，a4的值，并猜想这个数列{an}的通项公式．
[提能力]
10．[2022·江苏苏州实验中学高二月考](多选)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝－eq \f(1,an＋1)(n∈N＋)，下列选项中能使an＝3的n为( )
A．17B．16
C．8D．7
11．[2022·山东滕州一中模拟]已知数列{an}，an＝eq \f(n－1,n2＋4n－1)，则下列说法正确的是( )
A．此数列没有最大项
B．此数列的最大项是a3
C．此数列没有最小项
D．此数列的最小项是a2
12．数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N＋都有am＋n＝am＋an＋mn，则an＝________．
13．已知数列{an}满足∀m，n∈N＋，am＋n＝am·an，且a1＝eq \f(2,3).则
(1)a4＝________；
(2)数列{n2·an}的最大项为第________项．
14．已知数列{an}中，an＝1＋eq \f(1,a＋2（n－1）)(n∈N＋，a∈R且a≠0).
(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
(2)若对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，求a的取值范围．
[培优生]
15．[2022·湖南怀化高二期末]历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，…即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N＋)，此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{bn}，又记数列{cn}满足c1＝b1，c2＝b2，cn＝bn－bn－1(n≥3，n∈N＋)，则c1＋c2＋c3＋…＋c2021的值为( )
A．4B．－728
C．2D．3
课时作业(二) 数列的递推公式与数列的单调性
1．解析：A由数列的概念可知数列1，3，5，7与7，5，3，1是不同的数列，故A错误；
B因为首项是0，所以不能表示为{n}，故B错误；
C根据常数列的概念可知数列0，1，0，1，…不是常数列，故C错误；
D由数列的通项an＝eq \f(n,n＋1)知，an＋1－an＝eq \f(n＋1,n＋2)－eq \f(n,n＋1)＝eq \f(1,（n＋2）（n＋1）)>0，
即数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(n,n＋1)))是递增数列，故D正确．
答案：D
2．解析：因为a1＝a2＝1，且an＝an－1＋an－2，(n≥3)，所以a3＝a2＋a1＝2，a4＝a3＋a2＝2＋1＝3，a5＝a4＋a3＝3＋2＝5.
答案：C
3．解析：设数列1，3，6，10，15，…为{an}，
所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，…，an－an－1＝n，n∈N＋，n≥2，
所以an＝an－1＋n，n∈N＋，n≥2.
答案：B
4．解析：因为1＋3＋3＋5＋5＋7＝24，故编号为26的佛塔在第7行，呈宝瓶状．
答案：C
5．解析：因为an＋1＝eq \f(1＋an,1－an)，a1＝eq \f(1,4)，所以a2＝eq \f(5,3)，a3＝－4，a4＝－eq \f(3,5)，a5＝eq \f(1,4)，…，
所以数列{an}是周期为4的数列，
因为a1·a2·a3·a4＝1，
所以T18＝(a1·a2·a3·a4)2·a1·a2＝eq \f(5,12).
答案：D
6．解析：A.因为an＋1－an＝eq \f(1,n＋1)－eq \f(1,n)＝－eq \f(1,n（n＋1）)<0，所以是递减数列；B.因为an＋1－an＝[(n＋1)2＋n＋1]－(n2＋n)＝2n＋2>0，所以是递增数列；C.因为an＋1－an＝[1－2(n＋1)]－(1－2n)＝－2<0，所以是递减数列；D.因为an＋1－an＝(2n＋1＋1)－(2n＋1)＝2n>0，所以是递增数列．
答案：BD
7．解析：因为函数an＝2－eq \f(1,n)的定义域为N＋，且an＝2－eq \f(1,n)在N＋上单调递增，0<2－eq \f(1,n)<2，
所以满足3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－eq \f(1,n).
答案：an＝2－eq \f(1,n)
8．解析：由题意a1＝2，a2＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，a3＝1－eq \f(1,\f(1,2))＝－1，a4＝1－eq \f(1,－1)＝2，
所以数列{an}是周期数列，周期为3，所以a2021＝a3×673＋2＝a2＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2)
9．解析：∵a1＝1，且an＋1＝eq \f(an,2an＋1)(n∈N＋)，∴a2＝eq \f(a1,2a1＋1)＝eq \f(1,2＋1)＝eq \f(1,3)，a3＝eq \f(a2,2a2＋1)＝eq \f(\f(1,3),2×\f(1,3)＋1)＝eq \f(1,5)，a4＝eq \f(a3,2a3＋1)＝eq \f(\f(1,5),2×\f(1,5)＋1)＝eq \f(1,7)，猜想数列{an}的通项公式为an＝eq \f(1,2n－1)(n∈N＋).
10．解析：由a1＝3，an＋1＝－eq \f(1,an＋1)，
得a2＝－eq \f(1,4)，a3＝－eq \f(4,3)，a4＝3，
所以数列{an}是周期为3的数列，
所以a8＝a17＝－eq \f(1,4)，a7＝a16＝3.
答案：BD
11．解析：令t＝n－1≥0，则n＝t＋1，y＝eq \f(t,（t＋1）2＋4（t＋1）－1)＝eq \f(t,t2＋6t＋4)，
当t＝0时，y＝0，
当t>0时，y＝eq \f(1,t＋\f(4,t)＋6)≤eq \f(1,2\r(t×\f(4,t))＋6)＝eq \f(1,10)，
当且仅当t＝2即n＝3时，y取得最大值，
所以此数列的最大项是a3，最小项为a1＝0.
答案：B
12．解析：令m＝1得：an＋1＝an＋1＋n⇔an＋1－an＝n＋1，
通过累加法得：
a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n相加得：an－a1＝eq \f(（n－1）（2＋n）,2)⇒an＝eq \f(n2＋n,2).
答案：eq \f(n2＋n,2)
13．解析：(1)因为am＋n＝am·an，a1＝eq \f(2,3)，所以a4＝a2·a2＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝(a1·a1)2＝a eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(1)) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(4)＝eq \f(16,81)；
(2)因为am＋n＝am·an，
所以an＝an－1·a1＝an－2·a1·a1＝…＝a2·a1…＝(a1)n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)，
所以n2an＝n2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(n)，
设数列{n2·an}的第k项最大，则有：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2·ak≥（k＋1）2·ak＋1,k2·ak≥（k－1）2·ak－1))，即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(k)≥（k＋1）2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(k＋1),k2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(k)≥（k－1）2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))\s\up12(k－1)))，
解得：k∈[3－eq \r(6)，2－eq \r(5)]∪[2＋eq \r(5)，3＋eq \r(6)].
因为k∈N＋，所以k＝5
所以第5项最大．
答案：eq \f(16,81) 5
14．解析：(1)∵an＝1＋eq \f(1,a＋2（n－1）)，又a＝－7，
∴an＝1＋eq \f(1,2n－9)(n∈N＋).
结合函数f(x)＝1＋eq \f(1,2x－9)的单调性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N＋)，∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
(2)an＝1＋eq \f(1,a＋2（n－1）)＝1＋eq \f(\f(1,2),n－\f(2－a,2))，已知对任意的n∈N＋，都有an≤a6成立，
结合函数f(x)＝1＋eq \f(\f(1,2),x－\f(2－a,2))的单调性，可知515．解析：由题意可知，{bn}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，1，1…周期为6的数列，{cn}为1，1，1，1，－2，－1，1，0，1，1，－2，－1，1，0是从第三项起周期为6的数列．
从第3项起，每一个周期的6个数的和是1＋1＋(－2)＋(－1)＋1＋0＝0，
所以c1＋c2＋c3＋…＋c2021＝c1＋c2＋0×336＋c2019＋c2020＋c2021＝1＋1＋0＋1＋1＋(－2)＝2.
答案：C