数学选择性必修 第一册2.5 圆的方程精练

这是一份数学选择性必修 第一册2.5 圆的方程精练，共5页。
1．已知圆的方程是x2＋y2－2x－4＝0，则该圆的圆心坐标及半径分别为( )
A．(1，0)与5B．(1，0)与eq \r(5)
C．(－1，0)与5D．(－1，0)与eq \r(5)
2．“实数a>0”是“方程x2＋y2－2x－a＝0”表示圆的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知圆x2＋y2＋x＋4y－m＝0的半径为eq \f(1,2)，则m的值为( )
A．1B．2
C．－4D．8
4．[2022·湖南长郡中学高二月考]若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为( )
A．2或1B．－2或－1
C．2D．－1
5．圆心在x轴上，且过点(－1，－3)的圆与y轴相切，则该圆的方程是( )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
6．[2022·湖南衡阳田家炳实验中学高二期中](多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为10
D．圆M被y轴截得的弦长为6
7．已知圆x2＋y2＋ax＋by－6＝0的圆心坐标(3，4)，则圆的半径是________．
8．圆x2＋y2－2x－4y＋3＝0的圆心到直线x－ay＋1＝0的距离为2，则a＝________．
9．一圆经过A(4，2)，B(－1，3)两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．
[提能力]
10．在平面直角坐标系中，四点坐标分别为A(2，0)，B(3，2－eq \r(3))，C(1，2＋eq \r(3))，D(4，a)，若它们都在同一个圆周上，则a的值为( )
A．0B．1
C．2D．eq \r(3)
11．[2022·河北晋州二中高二期中](多选)已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q(－2，3)，则下列说法正确的是( )
A．圆心C的坐标为(2，7)
B．点Q在圆C外
C．若点P(m，m＋1)在圆C上，则直线PQ的斜率为eq \f(1,4)
D．若M是圆C上任一点，则|MQ|的取值范围为[2eq \r(2)，6eq \r(2)]
12．已知圆的方程为x2＋y2－kx－2y－k2＝0，则当该圆面积最小时，圆心的坐标为________．
13．已知圆C经过两点P(－1，－3)，Q(2，6)，且圆心在直线x＋2y－4＝0上，则圆C的一般方程为__________________；若直线l的方程x＋m(y－1)＋1＝0(m∈R)，圆心C到直线l的距离是1，则m的值是________．
14．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为eq \r(2)，求：
(1)圆C的一般方程；
(2)圆C关于直线x－y＝0的对称圆方程．
[培优生]
15．若实数x，y满足x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则eq \r(x2＋y2)的最大值是( )
A．eq \r(5)＋3B．6eq \r(5)＋14
C．－eq \r(5)＋3D．－6eq \r(5)＋14
课时作业(二十一) 圆的一般方程
1．解析：由圆的一般方程为x2＋y2－2x－4＝0，配方得圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(1，0)，半径为eq \r(5).
答案：B
2．解析：x2＋y2－2x－a＝(x－1)2＋y2＝a＋1表示圆，则a＋1>0，∴a>－1.a>0能推出a>－1，反之不能，故“实数a>0”是“方程x2＋y2－2x－a＝0”表示圆的充分不必要条件．
答案：A
3．解析：由x2＋y2＋x＋4y－m＝0得，
(x＋eq \f(1,2))2＋(y＋2)2＝m＋4＋eq \f(1,4)，
∴m＋4＋eq \f(1,4)＝eq \f(1,4)，∴m＝－4.
答案：C
4．解析：∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)>0，∴m>1.又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2.
答案：C
5．解析：设圆心坐标为(t，0)，因为圆心在x轴上且圆与y轴相切，所以|t|即为半径，
则根据题意得：eq \r(（－1－t）2＋（－3－0）2)＝|t|，解得t＝－5，
所以圆心坐标为：(－5，0)，半径为5，该圆的方程是(x＋5)2＋y2＝25，
展开得：x2＋y2＋10x＝0.
答案：C
6．解析：由圆M的一般方程x2＋y2－8x＋6y＝0，得圆M的标准方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝52，
故圆心为(4，－3)，半径为5，则A选项正确、C选项错误，
令x＝0，得y＝0或y＝－6，弦长为6，则D选项正确，
令y＝0，得x＝0或x＝8，弦长为8，则B选项正确．
答案：ABD
7．解析：由x2＋y2＋ax＋by－6＝0得(x＋eq \f(a,2))2＋(y＋eq \f(b,2))2＝6＋eq \f(a2,4)＋eq \f(b2,4)，
又圆心坐标为(3，4)，
∴－eq \f(a,2)＝3，－eq \f(b,2)＝4，即a＝－6，b＝－8，
∴圆的半径为eq \r(6＋\f(36,4)＋\f(64,4))＝eq \r(31).
答案：eq \r(31)
8．解析：x2＋y2－2x－4y＋3＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝2，
则圆心为(1，2)，圆心(1，2)到直线x－ay＋1＝0的距离为
d＝eq \f(|1－2a＋1|,\r(1＋a2))＝2，解得a＝0.
答案：0
9．解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D.
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E.
由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0. ①
又因为圆过点A、B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0. ②
1＋9－D＋3E＋F＝0. ③
解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
10．解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(22＋02＋2D＋F＝0,32＋（2－\r(3)）2＋3D＋（2－\r(3)）E＋F＝0,12＋（2＋\r(3)）2＋D＋（2＋\r(3)）E＋F＝0))，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－4,E＝－4,F＝4))，
所以x2＋y2－4x－4y＋4＝0，
又因为点D(4，a)在圆上，所以42＋a2－4×4－4a＋4＝0，即a＝2.
答案：C
11．解析：将x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C坐标为(2，7)，故A正确；因为C(2，7)，Q(－2，3)两点之间的距离为eq \r(（－2－2）2＋（3－7）2)＝4eq \r(2)>2eq \r(2)，所以点Q在圆C外，故B正确；因为点P(m，m＋1)在圆C上，所以m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，所以m＝4，即P(4，5).所以直线PQ的斜率为eq \f(1,3)，故C错误；因为圆心C(2，7)，半径r＝2eq \r(2)，|CQ|＝4eq \r(2)，所以|CQ|－r≤|MQ|≤|CQ|＋r，即2eq \r(2)≤|MQ|≤6eq \r(2)，故D正确．
答案：ABD
12．解析：依题意，圆的方程化为：(x－eq \f(k,2))2＋(y－1)2＝eq \f(5k2,4)＋1，于是得该圆圆心(eq \f(k,2)，1)，半径r＝eq \r(\f(5k2,4)＋1)，
因此，该圆面积S＝πr2＝π(eq \f(5k2,4)＋1)≥π，当且仅当k＝0时取“＝”，
所以当该圆面积最小时，圆心的坐标为(0，1).
答案：(0，1)
13．解析：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由条件，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋9－D－3E＋F＝0,4＋36＋2D＋6E＋F＝0,－\f(D,2)＋2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(E,2)))－4＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－4,E＝－2,F＝－20))，
因此圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0，
故圆心C(2，1)，因此圆心到直线l的距离d＝eq \f(3,\r(m2＋12))＝1，解得m＝±2eq \r(2).
答案：x2＋y2－4x－2y－20＝0 ±2eq \r(2)
14．解析：(1)圆的标准方程为(x＋eq \f(D,2))2＋(y＋eq \f(E,2))2＝eq \f(D2＋E2,4)－3，
圆心为(－eq \f(D,2)，－eq \f(E,2))，半径为r＝eq \r(\f(D2＋E2－12,4))，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)－\f(E,2)－1＝0,\r(\f(D2＋E2－12,4))＝\r(2)))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－4,E＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝2,E＝－4))，
又圆心在第二象限，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝2,E＝－4))，
圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(2)由(1)圆心为C(－1，2)，设它关于直线x－y＝0的对称点为C′(m，n)，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(m－1,2)－\f(n＋2,2)＝0,\f(n－2,m＋1)＝－1))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2,n＝－1)).
所以对称圆方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝2.
15．解析：因为x2＋y2＋4x－2y－4＝0，∴(x＋2)2＋(y－1)2＝32表示以C(－2，1)为圆心，3为半径的圆．
∵eq \r(x2＋y2)＝eq \r(（x－0）2＋（y－0）2)，∴eq \r(x2＋y2)表示以圆C上的任意一点P(x，y)到O(0，0)两点间距离，∴eq \r(x2＋y2)的最大值即为|CO|＋r＝eq \r(（－2－0）2＋（1－0）2)＋3＝eq \r(5)＋3.
答案：A