高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系课后复习题

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册2.6 直线与圆、圆与圆的位置关系课后复习题，共6页。

1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切B．相交但直线不过圆心
C．相交且直线过圆心D．相离
2．已知圆x2＋y2＝25，则过圆上一点A(3，4)的切线方程为( )
A．3x＋4y－25＝0B．4x＋3y－24＝0
C．3x－4y＋7＝0D．4x－3y＝0
3．[2022·湖南长郡中学高二期中]圆C：(x－2)2＋y2＝4与直线x－y－4＝0相交所得弦长为( )
A．1B．eq \r(2)
C．2D．2eq \r(2)
4．已知圆x2＋y2－4x＋4y＋a＝0截直线x＋y－4＝0所得弦的长度小于6，则实数a的取值范围为( )
A．(8－eq \r(17)，8＋eq \r(17)) B．(8－eq \r(17)，8)
C．(－9，＋∞) D．(－9，8)
5．[2022·湖南益阳箴言中学高二月考](多选)在平面直角坐标系xOy中，直线l与圆(x－2)2＋y2＝2相切，则直线l的方程可以是( )
A．x＋y＝0B．x＋y－2＝0
C．x－y＝0D．x＋y－4＝0
6．[2022·湖南衡阳八中月考](多选)若过点(－2，1)的圆M与两坐标轴都相切，则直线3x－4y＋10＝0与圆M的位置关系可能是( )
A．相交B．相切
C．相离D．不能确定
7．从点A(－2，4)向圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝9作一条切线，切点为B，则|AB|＝________．
8．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M的方程为________．
9．已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点．
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2eq \r(19)时，求直线l的方程．
[提能力]
10．若直线l：kx－y－2＝0与曲线C：eq \r(1－（y－1）2)＝x－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是( )
A．(eq \f(4,3)，2]
B．(eq \f(4,3)，4)
C．[－2，－eq \f(4,3))∪(eq \f(4,3)，2]
D．(eq \f(4,3)，＋∞)
11．[2022·湖南长沙高二期末](多选)已知直线l：ax＋y－2＝0与圆C：(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A、B两点，若△ABC为钝角三角形，则满足条件的实数a的值可能是( )
A．eq \f(1,2)B．1
C．2D．3
12．在平面直角坐标系中，以点(0，1)为圆心且与直线mx－y－m＋2＝0相切的圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
13．直线l：(2a－1)x＋(a－3)y＋4－3a＝0与圆(x－2)2＋y2＝9相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________；此时a＝________．
14．[2022·湖南邵东一中高二模拟]已知圆C：x2＋y2＋2x－3＝0.
(1)求过点(1，3)且与圆C相切的直线l的方程；
(2)已知点A(4，0)，B(0，4)，P是圆C上的动点，求△ABP面积的最大值．
[培优生]
15．[2022·湖南怀化模拟]若实数x，y满足x－4eq \r(y)＝2eq \r(x－y)，则x最大值是( )
A．4B．18
C．20D．24
课时作业(二十二) 直线与圆的位置关系
1．解析：圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝eq \f(1,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).圆的半径r＝1，∵0＜d＜1，故直线与圆相交但直线不过圆心，故选B.
答案：B
2．解析：圆x2＋y2＝25的圆心为O(0，0)，则直线AO的斜率kOA＝eq \f(4,3)，
故切线的斜率k＝－eq \f(1,kOA)＝－eq \f(3,4)，所以切线方程为y－4＝－eq \f(3,4)(x－3)，
化简得：3x＋4y－25＝0.
答案：A
3．解析：圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心坐标为(2，0)，半径为2，
圆心到直线x－y－4＝0的距离为d＝eq \f(|2－0－4|,\r(1＋1))＝eq \r(2)，
故弦长为：2eq \r(4－2)＝2eq \r(2).
答案：D
4．解析：圆的方程整理得(x－2)2＋(y＋2)2＝8－a，
圆心为(2，－2)半径为eq \r(8－a)，∴8－a>0即a<8，
圆心到直线的距离为eq \f(|2－2－4|,\r(12＋12))＝2eq \r(2)，
因为弦的长度小于6，故有2eq \r(（\r(8－a)）2－（2\r(2)）2)<6，解得a>－9，∴a∈(－9，8).
答案：D
5．解析：因为圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为(2，0)，半径为eq \r(2)；
对于A，圆心到直线的距离d＝eq \f(|2＋0|,\r(2))＝eq \r(2)，正确；
对于B，圆心到直线的距离d＝eq \f(|2＋0－2|,\r(2))＝0，不正确；
对于C，圆心到直线的距离d＝eq \f(|2－0|,\r(2))＝eq \r(2)，正确；
对于D，圆心到直线的距离d＝eq \f(|2＋0－4|,\r(2))＝eq \r(2)，正确．
答案：ACD
6．解析：因为圆M与两坐标轴都相切，且点(－2，1)在该圆上，所以可设圆M的方程为(x＋a)2＋(y－a)2＝a2，所以(－2＋a)2＋(1－a)2＝a2，即a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.当圆心坐标为(－1，1)时，圆的半径为1，所以圆心到直线3x－4y＋10＝0的距离为eq \f(3,5)<1；当圆心坐标为(－5，5)时，圆的半径为5，所以圆心到直线3x－4y＋10＝0的距离为eq \f(25,5)＝5.
答案：AB
7．解析：由切线的性质可知AB⊥BC，因为C(3，4)，所以|AC|＝eq \r(（－2－3）2＋（4－4）2)＝5，
又|BC|＝3，所以|AB|＝eq \r(|AC|2－|BC|2)＝eq \r(52－32)＝4.
答案：4
8．解析：因为M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)，则M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
又圆截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,\r(2))))eq \s\up12(2)＋(eq \r(2))2＝a2，解得a＝2，
所以圆M的方程为x2＋y2－4y＝0.
答案：x2＋y2－4y＝0
9．解析：(1)设圆A的半径为r，
因为圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，
所以r＝eq \f(|－1＋4＋7|,\r(5))＝2eq \r(5)，
所以圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)当直线l与x轴垂直时，
则直线l的方程x＝－2，
此时有|MN|＝2eq \r(19)，即x＝－2符合题意．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，
则直线l的方程为y＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＝0，
因为Q是MN的中点，所以AQ⊥MN，
所以|AQ|2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)|MN|))eq \s\up12(2)＝r2，
又因为|MN|＝2eq \r(19)，r＝2eq \r(5)，
所以|AQ|＝eq \r(20－19)＝1，
解方程|AQ|＝eq \f(|k－2|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq \f(3,4)，
所以此时直线l的方程为y－0＝eq \f(3,4)(x＋2)，
即3x－4y＋6＝0.
综上所得，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
10．解析：直线l：kx－y－2＝0恒过定点(0，－2)，曲线C：eq \r(1－（y－1）2)＝x－1表示以点(1，1)为圆心，半径为1，且位于直线x＝1右侧的半圆(包括点(1，2)，(1，0)).
当直线l经过点(1，0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k＝2，直线记为l1；
当l与半圆相切时，由eq \f(|k－3|,\r(k2＋1))＝1，得k＝eq \f(4,3)，切线记为l2.
分析可知当eq \f(4,3)答案：A
11．解析：圆C的圆心为(1，a)，半径为r＝2，
由于△ABC为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则0°<∠CAB<45°，
设圆心C到直线l的距离为d，则d＝eq \f(|2a－2|,\r(a2＋1))，
则0整理可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－4a＋1<0,a≠1))，
解得2－eq \r(3)所以a∈(2－eq \r(3)，1)∪(1，2＋eq \r(3)).
答案：ACD
12．解析：根据题意，直线mx－y－m＋2＝0，即y－2＝m(x－1)，恒过定点(1，2)，记P为(1，2)，设要求圆的半径为r，其圆心C的坐标为(0，1)，其与直线mx－y－m＋2＝0相切的所有圆中，当切点为P点时，半径最大且为CP，
所以，r2＝|CP|2＝(1－0)2＋(2－1)2＝2，
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝2.
答案：x2＋(y－1)2＝2
13．解析：∵直线l：(2a－1)x＋(a－3)y＋4－3a＝0恒过定点(1，1)，
∴当圆心与点(1，1)的连线与直线AB垂直时，弦长|AB|最小，
∵圆心(2，0)与点(1，1)间的距离为eq \r(（2－1）2＋（0－1）2)＝eq \r(2)，半径为3，
∴弦长|AB|的最小值为2eq \r(9－2)＝2eq \r(7).
∵圆心(2，0)与点(1，1)连线的斜率为eq \f(1－0,1－2)＝－1，∴此时直线l的斜率为1，
由－eq \f(2a－1,a－3)＝1，解得a＝eq \f(4,3).
答案：2eq \r(7) eq \f(4,3)
14．解析：(1)当直线l的斜率不存在时：x＝1，此时圆心到直线的距离等于半径，满足题意，
当直线l的斜率存在时，设直线方程为：y－3＝k(x－1)，圆C：(x＋1)2＋y2＝4，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
即d＝eq \f(|－2k＋3|,\r(k2＋1))＝2，∴k＝eq \f(5,12)，
所以直线l方程为：5x－12y＋31＝0.
综上可得，直线l的方程为x＝1或5x－12y＋31＝0.
(2)∵A(4，0)，B(0，4)，
∴AB＝eq \r(42＋42)＝4eq \r(2)，直线AB的方程为x＋y－4＝0，
圆心到直线AB的距离为：eq \f(|－1－4|,\r(2))＝eq \f(5\r(2),2)，
所以点P到直线AB的距离的最大值为hmax＝eq \f(5\r(2),2)＋2，
所以(S△ABP)max＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×(eq \f(5\r(2),2)＋2)＝10＋4eq \r(2).
15．解析：当x＝0时，解得y＝0，符合题意；
当x>0时，令t＝eq \r(y)，则t≥0，又x－y≥0，则t≤eq \r(x)，即t∈[0，eq \r(x)]，
则原方程可化为－2t＋eq \f(x,2)＝eq \r(x－t2)，
设f(t)＝－2t＋eq \f(x,2)，g(t)＝eq \r(x－t2)，t∈[0，eq \r(x)]，
则f(t)表示斜率为－2的直线，g(t)表示以原点为圆心，半径为eq \r(x)的四分之一圆，
则问题等价于f(t)和g(t)有公共点，观察图形可知，
当直线与圆相切时，由eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(x,2))),\r(5))＝eq \r(x)，解得x＝20，
当直线过点(0，eq \r(x))时，eq \f(x,2)＝eq \r(x)，解得x＝4，
因此，要使直线与圆有公共点，x∈[4，20]，
综上，x∈[4，20]∪{0}，故x的最大值为20.
答案：C