高中数学2.2 直线的方程课后测评

这是一份高中数学2.2 直线的方程课后测评，共6页。

1．经过点A(8，－2)，斜率为－2的直线方程为( )
A．x＋2y－4＝0B．x－2y－12＝0
C．2x＋y－14＝0D．x＋2y＋4＝0
2．过点(4，0)和(0，－3)的直线的一般方程为( )
A．3x－4y－1＝0B．3x－4y＝0
C．3x－4y－12＝0D．4x－3y＋9＝0
3．直线3x－eq \r(3)y＋2＝0的倾斜角为( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2π,3)D．eq \f(5π,6)
4．如果ac＜0且bc＜0，那么直线ax＋by＋c＝0不经过( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．直线x－y－1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A．eq \f(1,4)B．2
C．1D．eq \f(1,2)
6．[2022·山东潍坊高二月考](多选)下列说法正确的是( )
A．直线(a－1)x－(a－2)y－1＝0(a∈R)一定经过第一象限
B．经过点P(1，2)，倾斜角为α的直线方程为y－2＝tanα(x－1)
C．经过两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1≠x2)的直线方程为y－y1＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x－x1)
D．截距相等的直线都可以用方程x＋y＝a(a∈R)表示
7．直线(2a2－7a＋3)x＋(a2－9)y＋3a2＝0的倾斜角为45°，则实数a＝________．
8．纵截距为－4，与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线的一般式方程为________．
9．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(－1，－1).
[提能力]
10．关于x、y的方程a2x－ay－1＝0(a≠0)表示的直线(图中实线)可能是( )
A．B．
C．D．
11．[2022·湖南雅礼中学高二期中](多选)对于直线l：x＝my＋1，下列说法错误的是( )
A．直线l恒过定点(1，0)
B．直线l斜率必定存在
C．m＝eq \r(3)时直线l的倾斜角为60°
D．m＝2时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为eq \f(1,4)
12．已知直线经过A(a，0)，B(0，b)和C(1，3)三个点，且a，b均为正整数，则此直线的一般式方程为________．
13．已知直线l：ax＋y－2＋a＝0，若直线l过点(2，0)，则a＝________；若直线l在两坐标轴上的截距相等，则a＝________．
14．[2022·湖南雅礼中学高二期末]已知直线l：(a－2)y＝(3a－1)x－1
(1)求证：不论实数a取何值，直线l总经过一定点．
(2)为使直线不经过第二象限，求实数a的取值范围．
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
[培优生]
15．已知直线(k＋1)x＋(1－2k)y－3＝0(k∈R)恒过定点A，点A在直线eq \f(x,m)＋eq \f(y,n)＝1(m＞0，n＞0)上，则2m＋n的最小值为________．
课时作业(十五) 直线的一般式方程
1．解析：由题意得，经过点A(8，－2)，斜率为－2的直线方程为y＋2＝－2(x－8)，即2x＋y－14＝0.
答案：C
2．解析：设直线的方程为y＝kx－3，
又直线经过点(4，0)，
所以0＝4k－3，∴k＝eq \f(3,4)，
所以直线的方程为y＝eq \f(3,4)x－3，
所以直线的一般方程为3x－4y－12＝0.
答案：C
3．解析：由3x－eq \r(3)y＋2＝0得y＝eq \r(3)x＋eq \f(2\r(3),3)，所以直线3x－eq \r(3)y＋2＝0的斜率为eq \r(3)，所以倾斜角为eq \f(π,3).
答案：B
4．解析：因为bc＜0，所以b≠0，所以直线方程可化为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b).
因为ac＜0且bc＜0，所以a，b同号，b，c异号，从而有－eq \f(a,b)＜0，－eq \f(c,b)＞0，
所以直线的斜率为负，且在y轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限．
答案：C
5．解析：令x＝0，解得y＝－1，令y＝0，解得x＝1，所以S＝eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(1,2).
答案：D
6．解析：对于A：由(a－1)x－(a－2)y－1＝0(a∈R)可得a(x－y)－x＋2y－1＝0，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝0,－x＋2y－1＝0))可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝1))，所以该直线恒过定点(1，1)，该直线一定经过第一象限，故选项A正确；
对于B：当α＝90°时，直线的斜率不存在，所以不能写成y－2＝tanα(x－1)的形式，故选项B不正确；
对于C：因为x1≠x2，所以过点M(x1，y1)，N(x2，y2)两点的直线斜率为k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)，所以直线的方程为y－y1＝eq \f(y2－y1,x2－x1)(x－x1)，故选项C正确；对于D：当直线的横、纵截距都等于0时，直线的方程为y＝kx，不可以用方程x＋y＝a(a∈R)表示，故选项D不正确．
答案：AC
7．解析：依题意可知k＝tan45°＝1，所以－eq \f(2a2－7a＋3,a2－9)＝1，且a2－9≠0，
解得a＝－eq \f(2,3)或a＝3(舍去).
答案：－eq \f(2,3)
8．解析：设直线的截距方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－4)＝1，
∴eq \f(1,2)×|a|×4＝24⇒a＝±12，
∴直线的一般式方程为：x－3y－12＝0或x＋3y＋12＝0，
答案：x－3y－12＝0或x＋3y＋12＝0
9．解析：(1)∵直线过点(1，0)，∴m2－2m－3＝2m－6，解得m＝3或m＝1，又∵m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，∴m＝1.
(2)由斜率为1，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(m2－2m－3,2m2＋m－1)＝1，,2m2＋m－1≠0，))解得m＝eq \f(4,3).
(3)直线过定点P(－1，－1)，则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，解得m＝eq \f(5,3)或m＝－2.
10．解析：关于x、y的方程a2x－ay－1＝0(a≠0)表示的是直线，且直线的斜率为a，在y轴上的截距为－eq \f(1,a)，直线的斜率和它在y轴上的截距的乘积为－1，
对于A，直线的斜率和它在y轴上的截距都是正数，不满足题意，所以排除A；
对于B，直线的斜率小于1，它在y轴上的截距小于－1，不满足题意，所以排除B；
对于C，直线的斜率和它在y轴上的截距都是负数，不满足题意，所以排除C；
对于D，直线的斜率小于－1，它在y轴上的截距大于零小于1，能满足条件，所以D可能成立．
答案：D
11．解析：A.由直线方程知：恒过定点(1，0)，正确；
B．当m＝0时，直线斜率不存在，错误；
C．m＝eq \r(3)时有y＝eq \f(\r(3),3)(x－1)，即tanθ＝eq \f(\r(3),3)，则倾斜角为θ＝eq \f(π,6)，错误；
D．m＝2时，直线l：x＝2y＋1，则x、y轴交点分别为(1，0)，(0，－eq \f(1,2))，所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为eq \f(1,4)，正确．
答案：BC
12．解析：∵直线经过A(a，0)，B(0，b)，
∴设直线的截距式方程为：eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，
又∵C(1，3)在直线上，
∴eq \f(1,a)＋eq \f(3,b)＝1，整理得a＝eq \f(b,b－3)＝1＋eq \f(3,b－3)，
又∵a，b均为正整数，
∴b＝4或6，
∴当b＝4时，a＝4；当b＝6时，a＝2，
所以直线方程为：eq \f(x,4)＋eq \f(y,4)＝1或eq \f(x,2)＋eq \f(y,6)＝1，即x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.
答案：x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0
13．解析：由题意，直线l过点(2，0)，所以2a－2＋a＝0，得a＝eq \f(2,3)；直线l在两坐标轴上的截距相等，已知a＝0不成立，则eq \f(2－a,a)＝2－a，得a＝1或a＝2.
答案：eq \f(2,3) 1或2
14．解析：(1)直线方程整理得：a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－y＝0,－x＋2y－1＝0))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,5),y＝\f(3,5)))，
所以直线恒过定点(eq \f(1,5)，eq \f(3,5))；
(2)当a＝2时，直线l为x＝eq \f(1,5)，不经过第二象限．
当a≠2时由(1)画图知：斜率k≥3即eq \f(3a－1,a－2)≥3，得a＞2，
综上：a≥2；
(3)由题知k＝eq \f(3a－1,a－2)＜0则a∈(eq \f(1,3)，2)，
令y＝0，则x＝eq \f(1,3a－1)，
令x＝0，则y＝eq \f(－1,a－2).
所以S△＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,3a－1)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(－1,a－2)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,（3a－1）（a－2）)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(7,6)))\s\up12(2)－\f(25,12))))
因为eq \f(1,3)＜a＜2，所以当a＝eq \f(7,6)时三角形面积最小，
直线l方程为：15x＋5y－6＝0.
15．解析：由题设(k＋1)x＋(1－2k)y－3＝k(x－2y)＋x＋y－3＝0，
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝0,x＋y－3＝0))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2,y＝1))，故直线恒过定点(2，1)，
∴eq \f(2,m)＋eq \f(1,n)＝1，则2m＋n＝(2m＋n)(eq \f(2,m)＋eq \f(1,n))＝5＋eq \f(2n,m)＋eq \f(2m,n)≥5＋2eq \r(\f(2n,m)·\f(2m,n))＝9，当且仅当m＝n＝3时等号成立，
∴2m＋n的最小值为9.
答案：9