湘教版（2019）选择性必修 第二册第1章 导数及其应用1.3 导数在研究函数中的应用课后作业题

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A．eq \f(2x＋csx,x2)B．eq \f(x2＋xcsx－sinx,x2)
C．eq \f(2x＋xcsx－sinx,x2)D．2x－csx
2．若函数f(x)＝ax2＋sinx，则f′(0)＝( )
A．－1B．0
C．1D．3
3．曲线f(x)＝x3＋lnx在点(1，1)处切线的斜率为________．
4．求下列函数的导数：
(1)y＝3x2＋csx；
(2)y＝(x＋1)lnx．
5.已知函数f(x)＝eq \f(csx,x)，则f(π)＋f′(eq \f(π,2))＝( )
A．－eq \f(2,π)B．eq \f(2,π)
C．－eq \f(1,π)D．－eq \f(3,π)
6．若函数f(x)，g(x)满足f(x)＋xg(x)＝x2－1且f(1)＝1，则f′(1)＋g′(1)＝( )
A．1B．2
C．3D．4
7．设函数f(x)＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点(1，－11)，则a＝________，b＝________．
8．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x＋csx.
(1)求f′(x)；
(2)求f(x)在点x＝π处的切线l的方程．
9．设函数f(x)＝(ax＋b)ex，g(x)＝－x2＋cx＋d.若函数f(x)和g(x)的图象都过点P(0，1)且在点P处有相同的切线y＝2x＋1，求a，b，c，d的值．
10.已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)，则曲线y＝f(x)在点(3，f(3))处的切线方程为____________．
11．已知函数f(x)＝eq \f(alnx,x)＋b在x＝1处的切线方程为2x－y－2＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)图象上的点到直线2x－y＋3＝0的距离的最小值．
课时作业(五) 函数的和差积商求导法则
1．解析：由题意可得f′(x)＝eq \f(（2x＋csx）x－（x2＋sinx）,x2)＝eq \f(x2＋xcsx－sinx,x2)，故选B.
答案：B
2．解析：因为f′(x)＝2ax＋csx，所以f′(0)＝1.
答案：C
3．解析：对函数f(x)＝x3＋lnx求导，
f′(x)＝3x2＋eq \f(1,x)，所以f′(1)＝4，
曲线f(x)＝x3＋lnx在点(1，1)处的切线斜率为4.
答案：4
4．解析：(1)因为y＝3x2＋csx，
所以y′＝3(x2)′＋(csx)′＝6x－sinx，即y′＝6x－sinx.
(2)因为y＝(x＋1)lnx，
所以y′＝(x＋1)′lnx＋(x＋1)(lnx)′＝lnx＋(x＋1)·eq \f(1,x)＝lnx＋eq \f(1,x)＋1，
即y′＝lnx＋eq \f(1,x)＋1.
5．解析：因为f(x)＝eq \f(csx,x)，则f′(x)＝eq \f(－xsinx－csx,x2)，因此，f(π)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(1,π)＋eq \f(－\f(π,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))\s\up12(2))＝－eq \f(3,π).
答案：D
6．解析：取x＝1，则有f(1)＋g(1)＝0，即g(1)＝－f(1)＝－1，又因为f(x)＋xg(x)＝x2－1，所以f′(x)＋g(x)＋xg′(x)＝2x，所以f′(1)＋g(1)＋g′(1)＝2，所以f′(1)＋g′(1)＝2－g(1)＝2＋1＝3.
答案：C
7．解析：由题意得：点(1，－11)为切点，将其代入f(x)＝x3－3ax2＋3bx中，可得1－3a＋3b＝－11，又f′(x)＝3x2－6ax＋3b，则有f′(1)＝3－6a＋3b＝－12，联立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－3a＋3b＝－11,3－6a＋3b＝－12))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1,b＝－3)).
答案：1 －3
8．解析：(1)∵f(x)＝2x＋csx，f′(x)＝2－sinx.
(2)∵f(π)＝2π－1，f′(π)＝2，
∴f(x)在点x＝π处的切线l的方程为y－(2π－1)＝2(x－π)，即2x－y－1＝0.
9．解析：∵f′(x)＝aex＋(ax＋b)ex＝(ax＋a＋b)ex，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝b＝1，,f′（0）＝a＋b＝2.))∴a＝b＝1.
∵g′(x)＝－2x＋c，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(g（0）＝d＝1，,g′（0）＝c＝2.))∴c＝2，d＝1.
10．解析：方法一 设g(x)＝x(x－1)(x－2)，
则f(x)＝(x－3)g(x)，
所以f′(x)＝g(x)＋(x－3)g′(x)，
所以f′(3)＝g(3)＝3×2×1＝6，
又f(3)＝0，故所求切线方程为y＝6(x－3)，
即为6x－y－18＝0.
方法二 f(3)＝0，f(x)＝[x(x－3)][(x－1)(x－2)]＝(x2－3x)(x2－3x＋2)，
则f′(x)＝(x2－3x)′(x2－3x＋2)＋(x2－3x)(x2－3x＋2)′
＝(2x－3)(x2－3x＋2)＋(2x－3)(x2－3x)
＝(2x－3)(2x2－6x＋2)，
所以f′(3)＝(2×3－3)(2×32－6×3＋2)＝6，
故所求切线方程为y＝6(x－3)，
即为6x－y－18＝0.
答案：6x－y－18＝0
11．解析：(1)∵函数f(x)＝eq \f(alnx,x)＋b，
∴f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(a（1－lnx）,x2)，
∴f(x)在x＝1处切线的斜率为k＝f′(1)＝a＝2，
由切线方程可知切点为(1，0)，而切点也在函数f(x)图象上，解得b＝0，
∴f(x)的解析式为f(x)＝eq \f(2lnx,x).
(2)由于直线2x－y－2＝0与直线2x－y＋3＝0平行，直线2x－y－2＝0与函数f(x)＝eq \f(2lnx,x)在(1，0)处相切，
所以切点(1，0)到直线2x－y＋3＝0的距离最小，最小值为d＝eq \f(5,\r(5))＝eq \r(5)，
故函数f(x)图象上的点到直线2x－y＋3＝0的距离的最小值为eq \r(5).
练基础
提能力
培优生