湘教版（2019）选择性必修 第二册1.3 导数在研究函数中的应用课时训练

这是一份湘教版（2019）选择性必修 第二册1.3 导数在研究函数中的应用课时训练，共6页。

A．30B．40
C．50D．55
2．已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为C＝100＋3q，单价p与产量q的函数关系式为p＝75－eq \f(1,6)q2，则当利润最大时，q＝( )
A．8B．12
C．16D．20
3．一面靠墙，三面用栏杆围成的一个矩形场地，如果栏杆长40m，要使围成的场地面积最大，则靠墙的边应该是________m．
4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中的每小时的耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数关系式为y＝eq \f(1,128000)·x3－eq \f(3,80)x＋8，x∈(0，120]，且甲、乙两地相距100km，则当汽车的速度为多少时，从甲地到乙地耗油量最少？
5.
如图，某长方体石膏的底面周长为8分米，高是长的两倍(底面矩形的长大于宽)，则该长方体石膏体积的最大值为( )
A．16立方分米
B．18立方分米
C．eq \f(512,27)立方分米
D．eq \f(75,4)立方分米
6．第14届全运会于2021年9月在陕西西安顺利举办，其中水上项目在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2m，其容积为2500m3，如果池底每平方米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为eq \f(4,25)k(k>0)，较长的池壁维修费用满足代数式eq \f(2500k,x2)，则当泳池的维修费用最低时x值为( )
A．25B．30
C．35D．40
7．将一段长100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________cm.
8．现有一批货物从上海洋山深水港运往青岛，已知该船的最大航行速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成．轮船每小时使用的燃料费用与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元．
(1)把全程运输成本y元表示为速度x(海里/小时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大的速度航行？
9．上海的疫情牵动着全国人民的心，全国各地送来了很多支援上海的防疫物资，除此之外一些蔬菜中转厂，通过向农场购买蔬菜进行储存，再卖给上海各个小区，也为上海居民提供了蔬菜来源．某蔬菜中转厂的每日进货的蔬菜量最多不超过20吨，由于蔬菜采购，运输，管理等因素，蔬菜每日浪费率p与日进货量x(吨)之间近似地满足关系式p＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(2,15－x)，1≤x≤9，x∈N*,\f(x2＋60,540)，10≤x≤20，x∈N*))(日浪费率＝eq \f(日浪费量,日进货量)×100%)，已知售出一吨蔬菜可赢利2千元，而浪费一吨蔬菜则亏损1千元．(蔬菜中转厂的日利润y＝日售出赢利额－日浪费亏损额).
(1)将该蔬菜中转厂的日利润y(千元)表示成日进货量x(吨)的函数；
(2)当该蔬菜中转厂的日进货量为多少吨时，日利润最大？最大日利润是几千元？
10.某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋eq \r(x))x万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
课时作业(十) 导数的应用举例
1．解析：V′(x)＝x(60－x)＋eq \f(1,2)x2·(－1)＝－eq \f(3,2)x2＋60x＝－eq \f(3,2)(x2－40x)＝－eq \f(3,2)x(x－40)，(0当x∈(0，40)时，V′(x)>0，V(x)单调递增，
当x∈(40，60)时，V′(x)<0，V(x)单调递减，
所以当x＝40时，V(x)取得最大值．
答案：B
2．解析：设利润为y，则y＝pq－C＝(75－eq \f(1,6)q2)q－(100＋3q)＝－eq \f(1,6)q3＋72q－100，
所以y′＝－eq \f(1,2)q2＋72.
则当00；当q>12时，y′<0，
故当利润最大时，q＝12.
答案：B
3．解析：设靠墙的边长为x，(00，即S(x)在(0，20)上单调递增，当x∈(20，40)时S′(x)<0，即S(x)在(20，40)上单调递减，所以当x＝20时S(x)取得最大值，所以靠墙的一边长为20m时，面积最大．
答案：20
4．解析：当速度为xkm/h时，汽车从甲地到乙地行驶了eq \f(100,x)h，设耗油量为yL，依题意得
y＝(eq \f(1,128000)x3－eq \f(3,80)x＋8)·eq \f(100,x)
＝eq \f(1,1280)x2＋eq \f(800,x)－eq \f(15,4)(0则y′＝eq \f(x,640)－eq \f(800,x2)＝eq \f(x3－800×640,640x2)(0令y′＝0得x＝80，
当x∈(0，80)时，y′<0，该函数递减；当x∈(80，120)时，y′>0，该函数递增；当x＝80时，y取得最小值．
故汽车的速度为80km/h时，从甲地到乙地耗油量最少．
5．解析：设底面矩形的长为x分米，则宽为4－x分米，高为2x分米，
该长方体石膏体积V＝f(x)＝x(4－x)×2x＝8x2－2x3(2∴f′(x)＝16x－6x2＝2x(8－3x)，
当20；当eq \f(8,3)故Vmax＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,3)))＝eq \f(512,27)(立方分米).
答案：C
6．解析：设泳池维修的总费用为y元，则由题意得
y＝1250×150＋eq \f(8,25)kx＋eq \f(2500k,x2)(x>0，k>0)，
则y′＝eq \f(8,25)k－eq \f(5000k,x3)，
令y′＝0，解得x＝25，
当0当x>25时，y′>0，
故当x＝25时，y有最小值．
因此，当较短池壁为25m时，泳池的总维修费用最低．
答案：A
7．解析：设弯成圆的一段铁丝长为xcm(0所以正方形的边长为eq \f(100－x,4)，圆的半径r＝eq \f(x,2π)，
记正方形与圆的面积之和为S，
∴S＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2π)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(100－x,4)))eq \s\up12(2)＝eq \f(x2,4π)＋eq \f(10000－200x＋x2,16)(0则S′＝eq \f(x,2π)＋eq \f(x－100,8)，
令S′＝0，解得x＝eq \f(100π,4＋π).
当0当eq \f(100π,4＋π)0.
∴当x＝eq \f(100π,4＋π)时，即弯成圆的一段铁丝的长为eq \f(100π,4＋π)cm时，正方形与圆的面积之和最小．
答案：eq \f(100π,4＋π)
8．解析：(1)依题意，速度是x(海里/小时)，轮船每小时的燃料费0.6x2，总共行驶eq \f(500,x)(小时)，
所以全程运输成本y＝eq \f(500,x)(960＋0.6x2)＝eq \f(480000,x)＋300x，
由题意知，函数的定义域为(0，35]，
即全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/小时)的函数为y＝eq \f(480000,x)＋300x(0(2)由(1)知，y′＝－eq \f(480000,x2)＋300＝eq \f(300（x＋40）（x－40）,x2)，
当0所以当x＝35时，y＝eq \f(480000,x)＋300x取得最小值．
故当轮船以35海里/小时的速度行驶时，全程运输成本最小．
9．解析：(1)依题意得，
y＝2x(1－p)－px＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(24x－2x2,15－x)，1≤x≤9，x∈N*,\f(5,3)x－\f(x3,180)，10≤x≤20，x∈N*))
(2)当f(x)＝eq \f(24x－2x2,15－x)，1≤x≤9时，
f′(x)＝2－eq \f(90,（15－x）2)，
令f′(x)＝0解得：x＝15－3eq \r(5)，
∴当1≤x<15－3eq \r(5)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当15－3eq \r(5)∴当x＝15－3eq \r(5)时，f(x)取得极大值，也是最大值．
又∵x∈N*，f(8)＝eq \f(64,7)，f(9)＝9，
∴f(x)最大值为eq \f(64,7).
当f(x)＝eq \f(5,3)x－eq \f(x3,180)，10≤x≤20时，
f′(x)＝eq \f(100－x2,60)≤0，∴f(x)单调递减，
∴当x＝10时，f(x)取得最大值eq \f(100,9).
∵eq \f(100,9)>eq \f(64,7)，
∴当该蔬菜中转厂的日进货量为10吨时，日利润最大，最大日利润是eq \f(100,9)千元．
10．解析：(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝eq \f(m,x)－1，
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq \r(x))x
＝256(eq \f(m,x)－1)＋eq \f(m,x)(2＋eq \r(x))x＝eq \f(256m,x)＋meq \r(x)＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－eq \f(256m,x2)＋eq \f(m,2)x－eq \f(1,2)＝eq \f(m,2x2)(xeq \f(3,2)－512)，
令f′(x)＝0，得xeq \f(3,2)＝512，所以x＝64.
当0＜x＜64时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0，64)上为减函数；
当64＜x＜640时，f′(x)＞0，f(x)在区间(64，640)上为增函数，
所以f(x)在x＝64处取得最小值．
此时n＝eq \f(m,x)－1＝eq \f(640,64)－1＝9.
练基础
提能力
培优生