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2023-2024学年广东省深圳市光明区八年级（上）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省深圳市光明区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各数中，是有理数的是( )
A. 3B. 36C. 7D. 2π
2.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1,2, 3B. 3，4，5C. 4，5，6D. 5，12，13
3.在平面直角坐标系内，点A(−3,−1)关于x轴的对称点的坐标是( )
A. (−3,1)B. (3,1)C. (3,−1)D. (−1,−3)
4.一次函数y=−x+12的图象不经过下列哪个象限( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.下列运算正确的是( )
A. 5+ 3= 8B. 8− 2= 2C. 5× 3=15D. 9=±3
6.如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边BC上(AD//BC)，若∠1=35°，则∠2的度数为( )
A. 55°
B. 45°
C. 40°
D. 35°
7.某学校考察各个班级的教室卫生情况时包括以下四项：黑板、门窗、桌椅、地面.其中“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，对“门窗”要求最低.根据这个要求，对黑板、门窗、桌椅、地面四项考察比较合适的比例设计分别为( )
A. 10%，15%，35%，40%B. 15%，10%，35%，40%
C. 15%，10%，40%，35%D. 10%，35%，15%，40%
8.下列说法正确的是( )
A. 若|x|>2，则x>2
B. 两点确定一条直线
C. 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形
D. 命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形”
9.在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比.某弹簧不挂物体时长15cm；当所挂物体质量为3kg时，弹簧长16.8cm.则弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数表达式为( )
A. y=−0.6x+15B. y=0.6x−15C. y=−0.6x−15D. y=0.6x+15
10.如图，已知直线y=3x−3与x轴交于点A，与y轴交于点B.以点B为圆心、AB长为半径画弧，与y轴正半轴交于点C，则点C坐标为( )
A. (0, 10)
B. (0, 10−3)
C. ( 10−3,0)
D. (0, 10+3)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.4的算术平方根是______ ．
12.深圳市某中学对八年级学生进行了体育综合测试(满分50分)，如表是某小组10名学生的测试成绩，则这组学生体育成绩的中位数是______ ．
13.若一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象相交于点(2,3)，则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是______．
14.如图，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB.若∠A=72°，则∠D−∠E= ______ °.
15.在△ABC中，AB=AC=10，BC=16.点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F.连结AE，当∠AEF=∠B时，AE= ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.解方程组：3m−2n=73m−n=5
四、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 45+ 125− 20；
(2) 50× 32 8−3 2．
18.(本小题8分)
潮汕牛肉火锅起源于中国潮汕地区，它既是当地人宴客的必备佳肴，更是离乡游子们寄托乡愁的食物.潮汕牛肉火锅最大的特点就是采用新鲜食材，利用简单烹饪和极致刀功，发挥食材的鲜香本味.按照牛的不同部位对牛肉精心分类：牛胸前的那块脂肪叫胸口膀、牛腹部上的条状肉叫肥肼、牛脊背上长长的一条肉叫吊龙、最精贵的是牛肩胛上突起的一小块肉，叫脖仁…每个部位肉的口感都不相同，涮法亦各有讲究．
某日，小明买了2份胸口膀，3份肥肼，一共花了196元；小华买了4份胸口膀，1份肥肼，一共花了192元．
(1)胸口膀和肥肼售价分别是每份多少元？
(2)火锅店老板根据销售情况，决定购进胸口膀和肥肼共180份，若在售价不变的情况下，每份胸口膀可盈利6元，每份肥肼可盈利8元，请问火锅店老板实际进货用了多少元？
19.(本小题8分)
如图，已知点D，E分别在AB和AC上，DE//BC，BD=DE．
(1)求证：BE平分∠ABC；
(2)若∠A=50°，∠EBC=30°，求∠ACB的度数．
20.(本小题8分)
通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质.小明想应用这个方法来探究函数y=|x+2|的性质.下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1)列表：
直接填空：k= ______ ．
(2)描点并画出该函数的图象．
(3)观察y=|x+2|的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：
① ______ ；
② ______ ．
(4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点.则该函数图象与直线y=3围成的区域内(不包括边界)整点的个数为______ ．
21.(本小题9分)
秦九韶(1208年～1268年)，字道古，南宋著名数学家.与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学.他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦−秦九韶公式”.它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，S为三角形的面积，那么s= p(p−a)(p−b)(p−c)．
(1)在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=7，请用上面的公式计算△ABC的面积；
(2)如图，在△ABC中，AB=9，AC=8，BC=7，BD⊥AC，垂足为D，求CD的长；
(3)一个三角形的三边长分别为a，b，c，s=p=15，a=10，求bc的值．
22.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
(1)求AB的长；
(2)求直线CD的表达式；
(3)点P是直线CD上的动点，过点P作PM⊥x轴，作PN⊥y轴，垂足分别为M、N，若长方形OMPN的周长是14，求它的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：3是整数，它是有理数；
36， 7，2π都是无限不循环小数，它们不是有理数；
故选：A．
整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．
本题考查有理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、12+( 3)2=22，故是直角三角形，故此选项不合题意；
B、32+42=52，故是直角三角形，故此选项不合题意；
C、42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】A
【解析】解：在平面直角坐标系内，点A(−3,−1)关于x轴的对称点的坐标是(−3,1)．
故选：A．
根据关于x轴对称的两个点的坐标的特征进行判断即可．
本题考查关于x轴对称的点的坐标，掌握“关于x轴对称的两个点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数”是正确解答的关键．
4.【答案】C
【解析】解：一次函数y=−x+12中，k=−1<0，b=12>0，
∴函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
根据一次函数的性质解答即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A． 5与 3不能合并，所以A选项不符合题意；
B. 8− 2=2 2− 2= 2，所以B选项符合题意；
C. 5× 3= 15，所以C选项不符合题意；
D. 9=3，所以D选项不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加减法对A、B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠1=35°，
∴∠3=35°，
∵∠5=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4=90°−∠3=55°，．
故选：A．
利用平角的定义及角的和差关系，先求出∠3，再利用平行线的性质求出∠2．
本题主要考查了平行线的性质，根据平角的定义求出∠3的度数是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，“门窗”要求最低，
∴黑板、门窗、桌椅、地面四项考察比较合适的比例设计分别为15%，10%，35%，40%．
故选：B．
根据题意可知：“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，“门窗”要求最低，再观察各个选项，可知选项B比较合适．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确权的意义．
8.【答案】B
【解析】解：A、若|x|>2，则x>2或x<−2，故原命题错误，不符合题意；
B、两点确定一条直线，正确，符合题意；
C、如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形不一定是全等三角形，故原命题错误，不符合题意；
D、命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形的三个内角都相等”，故原命题错误，不符合题意．
故选：B．
利用绝对值的意义、确定直线的条件、全等三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
9.【答案】D
【解析】解：设弹簧总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间符合一次函数关系为y=kx+15．
把(3,16.8)代入解析式得：16.8=3k+15，
解得k=0.6，
∴该一次函数解析式为y=0.6x+15．
故选：D．
根据题意可知，弹簧总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间符合一次函数关系，可设y=kx+15，把(3,16.8)代入求解．
此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，掌握待定系数法是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵直线y=3x−3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A(1,0)，B(0,−3)，
∴OA=1，OB=3，
∴AB= OA2+OB2= 12+32= 10，
∴BC=AB= 10，
∴OC=BC−OB= 10−3，
∴C(0, 10−3)
故选：B．
先根据题意得出A、B两点的坐标，再由勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及勾股定理，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
12.【答案】48
【解析】解：将数据按照大小排序后，中间两个数据为48，48，
∴这组学生体育成绩的中位数是48+482=48．
故答案为：48．
这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13.【答案】x=2y=3．
【解析】解：∵一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P(−2,3)，
∴方程组组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是
x=2y=3．
故答案为x=2y=3．
根据二元一次方程组的解即为两直线的交点坐标解答．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
14.【答案】36
【解析】解：∵∠A=72°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−72°=108°，
∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=23(∠ABC+∠ACB)=23×108°=72°，
∠DBC+∠DCB=13(∠ABC+∠ACB)=13×108°=36°，
∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)=180°−36°=144°；
∠E=180°−(∠EBC+∠ECB)=180°−72°=108°，
∴∠D−∠E=144°−108°=36°．
故答案为：36．
先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB得出∠EBC+∠ECB，∠DBC+∠DCB的度数，由三角形内角和定理得出∠E，∠D的度数，进而得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
15.【答案】7.5
【解析】解：∵AB=AC，BC=16.点D是BC的中点，
∴BD=DC=12×16=8，AD⊥BC，∠B=∠C，
∴AD= AC2−DC2= 102−82=6，
∵EF⊥BD，
∴∠AEF+∠AED=90°，
∵∠AEF=∠B，∠B=∠C，
∴∠C+∠AED=90°，
∴∠EAC=90°，
∴AE2=CE2−AC2=(DE+8)2−102，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2=62+DE2，
∴(DE+8)2−102=62+DE2，
解得：DE=4.5，
∴AE= AD2+DE2=7.5，
故答案为：7.5．
根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，∠B=∠C，根据勾股定理求出AD，证明∠EAC=90°，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
16.【答案】解：3m−2n=7①3m−n=5②
①−②得：−n=2，解得：n=−2．
把n=−2代入②得m=1，
所以原方程组的解是m=1n=−2．
【解析】解决本题关键是寻找式子间的关系，寻找方法降次消元．m的系数相同，用减法化去，达到消元的目的．
本题考查二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
17.【答案】解：(1) 45+ 125− 20
=3 5+5 5−2 5
=6 5；
(2) 50× 32 8−3 2
=5 2×4 22 2−3 2
=10 2−3 2
=7 2．
【解析】(1)先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(2)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，最后根据二次根式的减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18.【答案】解：(1)设胸口膀售价是每份x元，肥肼售价是每份y元，
由题意得：2x+3y=1964x+y=192，
解得：x=38y=40，
答：胸口膀售价是每份38元，肥肼售价是每份40元；
(2)∵在售价不变的情况下，每份胸口膀可盈利6元，每份肥肼可盈利8元，
∴每份胸口膀的进价为：38−6=32(元)，每份肥肼的进价为：40−8=32(元)，
设购进胸口膀m份，肥肼n份，则m+n=180，
∴32m+32n=32(m+n)=32×180=5760(元)，
答：火锅店老板实际进货用了5760元．
【解析】(1)设胸口膀售价是每份x元，肥肼售价是每份y元，根据小明买了2份胸口膀，3份肥肼，一共花了196元；小华买了4份胸口膀，1份肥拼，一共花了192元．列出二元一次方程组，解方程即可；
(2)求出每份胸口膀和每份肥肼的进价，设购进胸口膀m份，肥肼n份，则m+n=180，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵DE//BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∵BD=DE，
∴∠DEB=∠DBE，
∴∠EBC=∠DBE，
∴BE平分∠ABC；
(2)解：由(1)可知：∠EBC=∠DBE，
∵∠EBC=30°，
∴∠EBC=∠DBE=30°，
∴∠ABC=∠EBC+∠DBE=60°，
∵∠A=50°，
∴∠ACB=180°−(∠A+∠ABC)=180°−(60°+50°)=70°．
【解析】(1)先根据DE//BC得∠DEB=∠EBC，再根据BD=DE得∠DEB=∠DBE，由此得∠EBC=∠DBE，然后根据角平分线的定义可得出结论；
(2)先由(1)得∠EBC=∠DBE=30°，进而得∠ABC=60°，然后根据三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数．
此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
20.【答案】3 函数有最小值为0 当x>−2时，y随着x的增大而增大，x<−2时，y随着x的增大而减小 4
【解析】解：(1)当x=1时，y=|1+2|=3，
∴k=3，
故答案为：3；
(2)描点、连线画出该函数图象如图：
(3)写出该图象的两条性质：
①函数有最小值为0，
②当x>−2时，y随着x的增大而增大，x<−2时，y随着x的增大而减小，
故答案为：函数有最小值为0；当x>−2时，y随着x的增大而增大，x<−2时，y随着x的增大而减小；
(4)该函数图象与直线y=3围成的区域内(不包括边界)整点的个数为4，
故答案为：4．
(1)把x=1代入函数关系式进行计算即可；
(2)描点、连线画出函数图象即可；
(3)观察图象可从该图象的最值，增减性解答即可；
(4)观察图象即可解答．
本题考查了一次函数的图象和性质，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意，p=BC+AC+AB2=182=9，
∴S= p(p−BC)(p−AC)(p−AB)= 9×4×3×2=6 6．
(2)由题意，p=AB+AC+BC2=242=12，
∴S△ABC= p(p−BC)(p−AC)(p−AB)= 12×5×4×3=12 5．
又S△ABC=12BD⋅AC，AC=8，
∴BD=2S△ABCAC=2×12 58=3 5．
∴在Rt△BDC中，CD= BC2−BD2= 72−(3 5)2=2．
(3)由题意，p=a+b+c2=10+b+c2=15，s=p= p(p−a)(p−b)(p−c)，
∴b+c=20，(15−b)(15−c)=3．
∴bc=78．
【解析】(1)依据题意，了解海伦−秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可；
(2)依据题意，由海伦−秦九韶公式求得△ABC的面积，再由△ABC的面积=12BD⋅AC求出BD，然后在Rt△BDC中，利用勾股定理即可求出CD；
(3)依据题意，由海伦−秦九韶公式建立关于b，c的方程组进而计算可以得解．
本题主要考查二次根式的应用，也考察了勾股定理解直角三角形，以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦−秦九韶公式求三角形的面积．
22.【答案】解：(1)令x=0，则y=−43×0+4=4，
∴B(0,4)，
令y=0，则−43x+4=0，
−43x=−4，
x=3，
∴A(3,0)，
∵O(0,0)，
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得：AB= OA2+OB2= 33+42=5；
(2)由题意可知：AC=AB=5，BD=CD
∴OC=AC+OA=5+3=8，
∴C(8,0)，
设OD为x，则BD=OD+OB=x+4，
∴CD=x+4，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
OD2+OC2=CD2，
∴x2+82=(x+4)2，
x2+64=x2+8x+16，
8x=48，
x=6，
∴OD=6，OC=8，
∴D(0,−6)，C(8,0)，
设直线CD的表达式为：y=kx+b(k≠0)，
把D(0,−6)，C(8,0)代入y=kx+b(k≠0)得：
b=−68k+b=0，
解得：k=34b=−6，
∴直线CD的表达式为：y=34x−6；
(3)∵点P是直线CD上的动点，
设P(m,34m−6)，
∵矩形OMPN的周长为14，
∴矩形OMPN的相邻两边长的和为7，
即|m|+|34m−6|=7，
分三种情况讨论：
①点P在第三象限且在直线CD上时，m<0，34m−6<0，
∴−m+6−34m=7，
−74m=1，
m=−47，
∴34m−6=34×(−47)−6=−457，
∴矩形OMPN的面积为：|m|⋅|34m−6|，
=|−47|×|−457
=47×457
=18049；
②当点P在第四象限且在直线CD上时，m>0，34m−6<0，
∴m+6−34m=7，
14m=1，
m=4，
∴34m−6=34×4−6=−3，
∴矩形OMPN的面积为：|m|⋅|34m−6|，
=|4|×|−3|
=4×3
=12；
③当点P在第一象限且在直线CD上时，m>0，34m−6>0，
∴m+34m−6=7，
74m=13，
m=527，
∴34m−6=34×527−6=−37(不合题意舍去)，
综上可知：当长方形OMPN的周长是14，它的面积为：18049或12．
【解析】(1)令x和y分别为0，求出A，B两点坐标，从而求出OA，OB，再利用勾股定理进行解答即可；
(2)由题意可知：AC=AB=5，BD=CD然后求出OC和点C坐标，再设OD为x，在Rt△OCD中，由勾股定理求出OD，OC，从而求出C，D两点的坐标，然后利用待定系数法求出直线CD的表达式即可；
(3)根据已知条件，设P(m,34m−6)，分三种情况进行讨论：①点P在第三象限且在直线CD上时，②当点P在第四象限且在直线CD上时，③当点P在第一象限且在直线CD上时，根据点P所在位置，判断坐标的正负，利用绝对值的性质进行解答即可．
本题主要考查了一次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式．得分
45
48
50
人数
2
5
3
x
…
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
…
y
…
3
2
1
0
1
2
k
…
1.下列各数中，是有理数的是( )
A. 3B. 36C. 7D. 2π
2.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1,2, 3B. 3，4，5C. 4，5，6D. 5，12，13
3.在平面直角坐标系内，点A(−3,−1)关于x轴的对称点的坐标是( )
A. (−3,1)B. (3,1)C. (3,−1)D. (−1,−3)
4.一次函数y=−x+12的图象不经过下列哪个象限( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.下列运算正确的是( )
A. 5+ 3= 8B. 8− 2= 2C. 5× 3=15D. 9=±3
6.如图，将直角三角形的直角顶点放在直尺的一边BC上(AD//BC)，若∠1=35°，则∠2的度数为( )
A. 55°
B. 45°
C. 40°
D. 35°
7.某学校考察各个班级的教室卫生情况时包括以下四项：黑板、门窗、桌椅、地面.其中“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，对“门窗”要求最低.根据这个要求，对黑板、门窗、桌椅、地面四项考察比较合适的比例设计分别为( )
A. 10%，15%，35%，40%B. 15%，10%，35%，40%
C. 15%，10%，40%，35%D. 10%，35%，15%，40%
8.下列说法正确的是( )
A. 若|x|>2，则x>2
B. 两点确定一条直线
C. 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形是全等三角形
D. 命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形是等边三角形”
9.在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比.某弹簧不挂物体时长15cm；当所挂物体质量为3kg时，弹簧长16.8cm.则弹簧长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数表达式为( )
A. y=−0.6x+15B. y=0.6x−15C. y=−0.6x−15D. y=0.6x+15
10.如图，已知直线y=3x−3与x轴交于点A，与y轴交于点B.以点B为圆心、AB长为半径画弧，与y轴正半轴交于点C，则点C坐标为( )
A. (0, 10)
B. (0, 10−3)
C. ( 10−3,0)
D. (0, 10+3)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.4的算术平方根是______ ．
12.深圳市某中学对八年级学生进行了体育综合测试(满分50分)，如表是某小组10名学生的测试成绩，则这组学生体育成绩的中位数是______ ．
13.若一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象相交于点(2,3)，则方程组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是______．
14.如图，在△ABC中，BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB.若∠A=72°，则∠D−∠E= ______ °.
15.在△ABC中，AB=AC=10，BC=16.点D是BC的中点，点E是线段BD上的动点，过点E作EF⊥BD交AB于点F.连结AE，当∠AEF=∠B时，AE= ______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
16.解方程组：3m−2n=73m−n=5
四、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 45+ 125− 20；
(2) 50× 32 8−3 2．
18.(本小题8分)
潮汕牛肉火锅起源于中国潮汕地区，它既是当地人宴客的必备佳肴，更是离乡游子们寄托乡愁的食物.潮汕牛肉火锅最大的特点就是采用新鲜食材，利用简单烹饪和极致刀功，发挥食材的鲜香本味.按照牛的不同部位对牛肉精心分类：牛胸前的那块脂肪叫胸口膀、牛腹部上的条状肉叫肥肼、牛脊背上长长的一条肉叫吊龙、最精贵的是牛肩胛上突起的一小块肉，叫脖仁…每个部位肉的口感都不相同，涮法亦各有讲究．
某日，小明买了2份胸口膀，3份肥肼，一共花了196元；小华买了4份胸口膀，1份肥肼，一共花了192元．
(1)胸口膀和肥肼售价分别是每份多少元？
(2)火锅店老板根据销售情况，决定购进胸口膀和肥肼共180份，若在售价不变的情况下，每份胸口膀可盈利6元，每份肥肼可盈利8元，请问火锅店老板实际进货用了多少元？
19.(本小题8分)
如图，已知点D，E分别在AB和AC上，DE//BC，BD=DE．
(1)求证：BE平分∠ABC；
(2)若∠A=50°，∠EBC=30°，求∠ACB的度数．
20.(本小题8分)
通过《一次函数》的学习，我们学会了列表、描点、连线的方法来画出函数图象并结合函数图象研究函数性质.小明想应用这个方法来探究函数y=|x+2|的性质.下面是他的探究过程，请你补充完整：
(1)列表：
直接填空：k= ______ ．
(2)描点并画出该函数的图象．
(3)观察y=|x+2|的图象，类比一次函数，请写出该函数的两条性质：
① ______ ；
② ______ ．
(4)在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点.则该函数图象与直线y=3围成的区域内(不包括边界)整点的个数为______ ．
21.(本小题9分)
秦九韶(1208年～1268年)，字道古，南宋著名数学家.与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家.他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学.他于1247年完成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称“海伦−秦九韶公式”.它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p=a+b+c2，S为三角形的面积，那么s= p(p−a)(p−b)(p−c)．
(1)在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=7，请用上面的公式计算△ABC的面积；
(2)如图，在△ABC中，AB=9，AC=8，BC=7，BD⊥AC，垂足为D，求CD的长；
(3)一个三角形的三边长分别为a，b，c，s=p=15，a=10，求bc的值．
22.(本小题9分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点D在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处．
(1)求AB的长；
(2)求直线CD的表达式；
(3)点P是直线CD上的动点，过点P作PM⊥x轴，作PN⊥y轴，垂足分别为M、N，若长方形OMPN的周长是14，求它的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：3是整数，它是有理数；
36， 7，2π都是无限不循环小数，它们不是有理数；
故选：A．
整数和分数统称为有理数，据此进行判断即可．
本题考查有理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、12+( 3)2=22，故是直角三角形，故此选项不合题意；
B、32+42=52，故是直角三角形，故此选项不合题意；
C、42+52≠62，故不是直角三角形，故此选项符合题意；
D、52+122=132，故是直角三角形，故此选项不合题意；
故选：C．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】A
【解析】解：在平面直角坐标系内，点A(−3,−1)关于x轴的对称点的坐标是(−3,1)．
故选：A．
根据关于x轴对称的两个点的坐标的特征进行判断即可．
本题考查关于x轴对称的点的坐标，掌握“关于x轴对称的两个点，其横坐标不变，纵坐标互为相反数”是正确解答的关键．
4.【答案】C
【解析】解：一次函数y=−x+12中，k=−1<0，b=12>0，
∴函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
故选：C．
根据一次函数的性质解答即可．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：A． 5与 3不能合并，所以A选项不符合题意；
B. 8− 2=2 2− 2= 2，所以B选项符合题意；
C. 5× 3= 15，所以C选项不符合题意；
D. 9=3，所以D选项不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加减法对A、B选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对C选项进行判断；根据二次根式的性质对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠1=35°，
∴∠3=35°，
∵∠5=90°，
∴∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4=90°−∠3=55°，．
故选：A．
利用平角的定义及角的和差关系，先求出∠3，再利用平行线的性质求出∠2．
本题主要考查了平行线的性质，根据平角的定义求出∠3的度数是解决本题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，“门窗”要求最低，
∴黑板、门窗、桌椅、地面四项考察比较合适的比例设计分别为15%，10%，35%，40%．
故选：B．
根据题意可知：“地面”最重要，“桌椅和黑板”次之，“门窗”要求最低，再观察各个选项，可知选项B比较合适．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确权的意义．
8.【答案】B
【解析】解：A、若|x|>2，则x>2或x<−2，故原命题错误，不符合题意；
B、两点确定一条直线，正确，符合题意；
C、如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形不一定是全等三角形，故原命题错误，不符合题意；
D、命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”的条件是“一个三角形的三个内角都相等”，故原命题错误，不符合题意．
故选：B．
利用绝对值的意义、确定直线的条件、全等三角形的判定等知识分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
9.【答案】D
【解析】解：设弹簧总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间符合一次函数关系为y=kx+15．
把(3,16.8)代入解析式得：16.8=3k+15，
解得k=0.6，
∴该一次函数解析式为y=0.6x+15．
故选：D．
根据题意可知，弹簧总长度y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间符合一次函数关系，可设y=kx+15，把(3,16.8)代入求解．
此题主要考查了根据实际问题列一次函数关系式，掌握待定系数法是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵直线y=3x−3与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴A(1,0)，B(0,−3)，
∴OA=1，OB=3，
∴AB= OA2+OB2= 12+32= 10，
∴BC=AB= 10，
∴OC=BC−OB= 10−3，
∴C(0, 10−3)
故选：B．
先根据题意得出A、B两点的坐标，再由勾股定理求出AB的长，进而可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及勾股定理，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵22=4，
∴4的算术平方根是2．
故答案为：2．
利用算术平方根定义计算即可求出值．
此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的性质是解本题的关键．
12.【答案】48
【解析】解：将数据按照大小排序后，中间两个数据为48，48，
∴这组学生体育成绩的中位数是48+482=48．
故答案为：48．
这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
本题考查了中位数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
13.【答案】x=2y=3．
【解析】解：∵一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P(−2,3)，
∴方程组组y=k1x+b1y=k2x+b2的解是
x=2y=3．
故答案为x=2y=3．
根据二元一次方程组的解即为两直线的交点坐标解答．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
14.【答案】36
【解析】解：∵∠A=72°，
∴∠ABC+∠ACB=180°−72°=108°，
∵BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB，
∴∠EBC+∠ECB=23(∠ABC+∠ACB)=23×108°=72°，
∠DBC+∠DCB=13(∠ABC+∠ACB)=13×108°=36°，
∴∠D=180°−(∠DBC+∠DCB)=180°−36°=144°；
∠E=180°−(∠EBC+∠ECB)=180°−72°=108°，
∴∠D−∠E=144°−108°=36°．
故答案为：36．
先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由BD，BE三等分∠ABC，CD，CE三等分∠ACB得出∠EBC+∠ECB，∠DBC+∠DCB的度数，由三角形内角和定理得出∠E，∠D的度数，进而得出结论．
本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解题的关键．
15.【答案】7.5
【解析】解：∵AB=AC，BC=16.点D是BC的中点，
∴BD=DC=12×16=8，AD⊥BC，∠B=∠C，
∴AD= AC2−DC2= 102−82=6，
∵EF⊥BD，
∴∠AEF+∠AED=90°，
∵∠AEF=∠B，∠B=∠C，
∴∠C+∠AED=90°，
∴∠EAC=90°，
∴AE2=CE2−AC2=(DE+8)2−102，
在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2=62+DE2，
∴(DE+8)2−102=62+DE2，
解得：DE=4.5，
∴AE= AD2+DE2=7.5，
故答案为：7.5．
根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，∠B=∠C，根据勾股定理求出AD，证明∠EAC=90°，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
16.【答案】解：3m−2n=7①3m−n=5②
①−②得：−n=2，解得：n=−2．
把n=−2代入②得m=1，
所以原方程组的解是m=1n=−2．
【解析】解决本题关键是寻找式子间的关系，寻找方法降次消元．m的系数相同，用减法化去，达到消元的目的．
本题考查二元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单．
17.【答案】解：(1) 45+ 125− 20
=3 5+5 5−2 5
=6 5；
(2) 50× 32 8−3 2
=5 2×4 22 2−3 2
=10 2−3 2
=7 2．
【解析】(1)先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
(2)先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的乘法和除法法则进行计算，最后根据二次根式的减法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18.【答案】解：(1)设胸口膀售价是每份x元，肥肼售价是每份y元，
由题意得：2x+3y=1964x+y=192，
解得：x=38y=40，
答：胸口膀售价是每份38元，肥肼售价是每份40元；
(2)∵在售价不变的情况下，每份胸口膀可盈利6元，每份肥肼可盈利8元，
∴每份胸口膀的进价为：38−6=32(元)，每份肥肼的进价为：40−8=32(元)，
设购进胸口膀m份，肥肼n份，则m+n=180，
∴32m+32n=32(m+n)=32×180=5760(元)，
答：火锅店老板实际进货用了5760元．
【解析】(1)设胸口膀售价是每份x元，肥肼售价是每份y元，根据小明买了2份胸口膀，3份肥肼，一共花了196元；小华买了4份胸口膀，1份肥拼，一共花了192元．列出二元一次方程组，解方程即可；
(2)求出每份胸口膀和每份肥肼的进价，设购进胸口膀m份，肥肼n份，则m+n=180，即可解决问题．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵DE//BC，
∴∠DEB=∠EBC，
∵BD=DE，
∴∠DEB=∠DBE，
∴∠EBC=∠DBE，
∴BE平分∠ABC；
(2)解：由(1)可知：∠EBC=∠DBE，
∵∠EBC=30°，
∴∠EBC=∠DBE=30°，
∴∠ABC=∠EBC+∠DBE=60°，
∵∠A=50°，
∴∠ACB=180°−(∠A+∠ABC)=180°−(60°+50°)=70°．
【解析】(1)先根据DE//BC得∠DEB=∠EBC，再根据BD=DE得∠DEB=∠DBE，由此得∠EBC=∠DBE，然后根据角平分线的定义可得出结论；
(2)先由(1)得∠EBC=∠DBE=30°，进而得∠ABC=60°，然后根据三角形的内角和定理可求出∠ACB的度数．
此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．
20.【答案】3 函数有最小值为0 当x>−2时，y随着x的增大而增大，x<−2时，y随着x的增大而减小 4
【解析】解：(1)当x=1时，y=|1+2|=3，
∴k=3，
故答案为：3；
(2)描点、连线画出该函数图象如图：
(3)写出该图象的两条性质：
①函数有最小值为0，
②当x>−2时，y随着x的增大而增大，x<−2时，y随着x的增大而减小，
故答案为：函数有最小值为0；当x>−2时，y随着x的增大而增大，x<−2时，y随着x的增大而减小；
(4)该函数图象与直线y=3围成的区域内(不包括边界)整点的个数为4，
故答案为：4．
(1)把x=1代入函数关系式进行计算即可；
(2)描点、连线画出函数图象即可；
(3)观察图象可从该图象的最值，增减性解答即可；
(4)观察图象即可解答．
本题考查了一次函数的图象和性质，画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键．
21.【答案】解：(1)由题意，p=BC+AC+AB2=182=9，
∴S= p(p−BC)(p−AC)(p−AB)= 9×4×3×2=6 6．
(2)由题意，p=AB+AC+BC2=242=12，
∴S△ABC= p(p−BC)(p−AC)(p−AB)= 12×5×4×3=12 5．
又S△ABC=12BD⋅AC，AC=8，
∴BD=2S△ABCAC=2×12 58=3 5．
∴在Rt△BDC中，CD= BC2−BD2= 72−(3 5)2=2．
(3)由题意，p=a+b+c2=10+b+c2=15，s=p= p(p−a)(p−b)(p−c)，
∴b+c=20，(15−b)(15−c)=3．
∴bc=78．
【解析】(1)依据题意，了解海伦−秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后再代入公式，计算三角形的面积即可；
(2)依据题意，由海伦−秦九韶公式求得△ABC的面积，再由△ABC的面积=12BD⋅AC求出BD，然后在Rt△BDC中，利用勾股定理即可求出CD；
(3)依据题意，由海伦−秦九韶公式建立关于b，c的方程组进而计算可以得解．
本题主要考查二次根式的应用，也考察了勾股定理解直角三角形，以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦−秦九韶公式求三角形的面积．
22.【答案】解：(1)令x=0，则y=−43×0+4=4，
∴B(0,4)，
令y=0，则−43x+4=0，
−43x=−4，
x=3，
∴A(3,0)，
∵O(0,0)，
∴OA=3，OB=4，
由勾股定理得：AB= OA2+OB2= 33+42=5；
(2)由题意可知：AC=AB=5，BD=CD
∴OC=AC+OA=5+3=8，
∴C(8,0)，
设OD为x，则BD=OD+OB=x+4，
∴CD=x+4，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：
OD2+OC2=CD2，
∴x2+82=(x+4)2，
x2+64=x2+8x+16，
8x=48，
x=6，
∴OD=6，OC=8，
∴D(0,−6)，C(8,0)，
设直线CD的表达式为：y=kx+b(k≠0)，
把D(0,−6)，C(8,0)代入y=kx+b(k≠0)得：
b=−68k+b=0，
解得：k=34b=−6，
∴直线CD的表达式为：y=34x−6；
(3)∵点P是直线CD上的动点，
设P(m,34m−6)，
∵矩形OMPN的周长为14，
∴矩形OMPN的相邻两边长的和为7，
即|m|+|34m−6|=7，
分三种情况讨论：
①点P在第三象限且在直线CD上时，m<0，34m−6<0，
∴−m+6−34m=7，
−74m=1，
m=−47，
∴34m−6=34×(−47)−6=−457，
∴矩形OMPN的面积为：|m|⋅|34m−6|，
=|−47|×|−457
=47×457
=18049；
②当点P在第四象限且在直线CD上时，m>0，34m−6<0，
∴m+6−34m=7，
14m=1，
m=4，
∴34m−6=34×4−6=−3，
∴矩形OMPN的面积为：|m|⋅|34m−6|，
=|4|×|−3|
=4×3
=12；
③当点P在第一象限且在直线CD上时，m>0，34m−6>0，
∴m+34m−6=7，
74m=13，
m=527，
∴34m−6=34×527−6=−37(不合题意舍去)，
综上可知：当长方形OMPN的周长是14，它的面积为：18049或12．
【解析】(1)令x和y分别为0，求出A，B两点坐标，从而求出OA，OB，再利用勾股定理进行解答即可；
(2)由题意可知：AC=AB=5，BD=CD然后求出OC和点C坐标，再设OD为x，在Rt△OCD中，由勾股定理求出OD，OC，从而求出C，D两点的坐标，然后利用待定系数法求出直线CD的表达式即可；
(3)根据已知条件，设P(m,34m−6)，分三种情况进行讨论：①点P在第三象限且在直线CD上时，②当点P在第四象限且在直线CD上时，③当点P在第一象限且在直线CD上时，根据点P所在位置，判断坐标的正负，利用绝对值的性质进行解答即可．
本题主要考查了一次函数的综合应用，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式．得分
45
48
50
人数
2
5
3
x
…
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
…
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