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2023-2024学年广东省茂名市高州一中九年级（上）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年广东省茂名市高州一中九年级（上）期中数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列式子是一元二次方程的是( )
A. x2−5x−3B. x2−1=yC. 5x+1=0D. x2+2x−1=0
2.如果关于x的一元二次方程x2−c=0有一个根是2，那么c的值是( )
A. 4B. −4C. 2D. −2
3.下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是( )
A. B.
C. D.
4.用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指( )
A. 连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B. 连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C. 抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”
D. 抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5
5.如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=120°，则∠C的度数为( )
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 120°
6.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A. 两组对边分别平行B. 两组对角分别相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直
7.已知ab=34，则下列变形错误的是( )
A. a4=3bB. a3=b4C. 4a=3bD. ba=43
8.如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是( )
A. BC2=AC⋅CDB. ABAC=BDBC
C. ∠ABC=∠BDCD. ∠A=∠CBD
9.某兴趣小组组织跳绳比赛，参赛的每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行21场比赛．设参赛的人数为x，则x满足的关系式为( )
A. 12x(x−1)=21B. x(x−1)=21C. 12x(x+1)=21D. x(x+1)=21
10.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC=90°，则EF的长为( )
A. 37
B. 23
C. 25
D. 710
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知ab=cd=23，且b≠±d，则a−cb−d= ______ ．
12.在一个不透明的口袋中装有仅颜色不同的白、黄两种小球，其中白球2个，黄球n个，若从袋中任取一个球，摸出黄球的概率是45，则n= ______ ．
13.将一元二次方程x2−6x+2=0配方后，变形成(x−m)2=n，则m+n= ______ ．
14.如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：x2+4x−5=0．
四、解答题：本题共9小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上.以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A1B1C1，使得位似比为1：2．
18.(本小题6分)
如图，四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点，若AC=EC.求证：四边形BECD为平行四边形．
19.(本小题7分)
第十九届亚洲运动会在浙江省杭州市举行，吉祥物是一组机器人，组合名为“江南忆”，分别是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”(分别用A、B、C表示).组委会现将3张正面分别印有以上3个吉祥物图案的明信片(明信片的质地、形状、大小都相同)送给志愿者作留念，将这3张明信片背面朝上，洗匀.若小杰先从中随机抽取1张，小丽再从剩余的明信片中随机抽取1张，请用树状图或列表的方法求两人抽取的明信片上的图案恰好一个是“宸宸”，一个是“琮琮”的概率．
20.(本小题7分)
设a、b、2 2为Rt△ABC的三条边，且关于x的方程x2+2 bx+a=0有两个相等的实数根，求a+b的值．
21.(本小题7分)
如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，AE=3，连接BE交AC于点F，过点F作FG//BC，交CD于点G.求DG的长．
22.(本小题8分)
综合与实践
主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度．
素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具．
步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离AB为1.5米；
步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆EF，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得DF为6米，CF为4米．
猜想与计算：已知MN⊥ND，AB⊥ND，EF⊥ND，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量.请根据以上所测数据：
(1)直接写出平面镜到建筑物的距离CN与建筑物高度MN之间的数量关系；
(2)计算建筑物的高度MN(平面镜大小忽略不计)．
23.(本小题8分)
因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
(1)求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率．
(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
24.(本小题10分)
综合探究
将矩形ABCD对折，使点A与点B重合，点D与点C重合，折痕为EF，AD=5．
(1)如图(1)，将矩形ABCD沿过点D的直线折叠，使A点的对应点A′落在EF上，点G在AB边上，折痕为DG，连接A′C.则：
①当矩形ABCD为正方形时，△A′CD为______ 三角形；
②当△A′DF为等腰直角三角形时，求AB的长度．
(2)如图(2)，点P、Q在折痕EF上，且满足PQ=2，当四边形BCQP周长的最小值为12时，求AB的长度．
25.(本小题10分)
综合运用：
小亮舅舅有块菱形菜地ABCD，已知∠BAD=120°.小亮舅舅想在BC，CD边上分别找一点E、F(不与端点重合)，连接AE、EF，将菱形菜地ABCD分成三个区域，其中△ABE和△CEF区域种植黄瓜，剩余区域种植韭菜，小亮对此产生了浓厚的兴趣，主动帮助舅舅测量找点．
(1)当BE=CF时，可以求得∠AEF= ______ °；
(2)保持∠AEF的度数与第(1)问中的相等，改变点E、F的位置，使得无论点E位于何处，BE与DF的和都为10m．
①请你帮助小亮计算菱形菜地ABCD的面积；
②舅舅告诉小亮，他想要种植韭菜区域的面积是黄瓜区域面积的3倍，请你帮助小亮求BE的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、x2−5x−3不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、x2−1=y不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、5x+1=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、x2+2x−1=0是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−c=0有一个根是2，
∴4−c=0，
解得c=4，
故选：A．
把x=2代入一元二次方程x2−c=0，得到c的一元一次次方程，解出c的值即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，逆用一元二次方程解的定义易得出c的值．
3.【答案】D
【解析】解：A.形状相同，符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
B.形状相同，符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
C.形状相同，符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项符合题意；
故选：D．
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查的是相似图形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的图形是相似图形。
4.【答案】D
【解析】解：连续抛掷2n次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，故A、B、C错误，
抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，故D正确，
故选D．
利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”进行判断即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=120°，
∴∠C=60°，
故选：B．
根据平行四边形的性质进行解答即可．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握：
(1)平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
(2)平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
6.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．
根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．
【解答】
解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：∵ab=34，
∴4a=3b，a3=b4，ba=43．
故选：A．
根据比例的性质对各选项进行判断．
本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)进行计算．
8.【答案】B
【解析】【分析】
由相似三角形的判定依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形判定方法是关键．
【解答】
解：∵BC2=AC⋅CD，
∴BCAC=CDBC，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，故选A不合题意，
∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，故选C不合题意，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，故选D不合题意，
故选：B．
9.【答案】A
【解析】解：设参赛的人数为x，
依题意，得：12x(x−1)=21．
故选：A．
设参赛的人数为x，由参赛的每两人之间都要比赛一场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，延长EF交CD于M，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°，
∵将△ABE沿直线BE对折得到△BEF，
∴∠BFE=∠BFM=90°，AB=BF=BC
在Rt△BFM与Rt△BCM中，
BF=BCBM=BM，
∴Rt△BFM≌Rt△BCM(HL)，
∴MF=MC，
∴∠MFC=∠MCF，
∵∠MFC+∠DFM=90°，∠MCF+∠FDM=90°，
∴∠MFD=∠MDF，
∴MD=MF=MC，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴MF=MC=DM=1，
设AE=EF=x，
∵DE2+DM2=EM2，
即(2−x)2+12=(x+1)2，
解得：x=23．
故选：B．
延长EF交CD于M，连接BM，根据正方形的性质得到AB=BC，∠A=∠BCD=90°，由折叠的性质得到∠BFE=∠BFM=90°，通过Rt△BFM≌Rt△BCM，于是得到MF=MC.由等腰三角形的性质得到∠MFC=∠MCF，由余角的性质得到∠MFD=∠MDF，于是求得MF=MD，得MF=MD=MC=1，AE=EF=x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，翻折变换−折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】23
【解析】解：设a=2x，c=2y，则b=3x，d=3y，
故a−cb−d=2x−2y3x−3y=23．
故答案为：23．
设a=2x，c=2y，则b=3x，d=3y，直接利用比例的性质得出即可．
此题主要考查了比例的性质，正确利用未知数代替化简是解题关键．
12.【答案】8
【解析】解：由题意得：nn+2=45，
解得：n=8，
经检验n=8是原方程的解，
故答案为：8．
根据摸出黄球的概率是45，列式计算即可．
本题考查已知概率求数量，解答本题的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】10
【解析】解：一元二次方程x2−6x+2=0配方得：(x−3)2=7，
∵一元二次方程x2−6x+2=0配方后得(x−m)2=n，
∴m=3，n=7，
∴m+n=3+7=10．
故答案为：10．
将一元二次方程x2−6x+2=0配方得出(x−3)2=7，求出m=3，n=7，然后代入求值即可．
本题考查一元二次方程，解题的关键是将一元二次方程x2−6x+2=0配方得出(x−3)2=7．
14.【答案】8.5
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例并列出比例式是解题的关键．先求出AC的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AB的长，然后根据BE=AB−AE，代入数据进行计算即可得解．
【解答】
解：∵AD=3，DC=4，
∴AC=AD+DC=3+4=7，
∵△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
即3AB=27，
解得AB=10.5，
∴BE=AB−AE=10.5−2=8.5．
故答案为8.5．
15.【答案】185
【解析】解：连接AD、EF，
∵∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，
∴BC= 92+122=15，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=∠DFA=∠BAC=90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF=AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积=12AB×AC=12BC×AD，
∴AD=AB×ACBC=9×1215=365，
∴EF的最小值为365，
∵点G为四边形DEAF对角线交点，
∴GF=12EF=185；
故答案为：185．
由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】解：x2+4x−5=0
(x+5)(x−1)=0，
x+5=0或x−1=0，
x1=−5，x2=1．
【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
通过观察方程形式，利用因式分解法解方程比较简单．
17.【答案】解：如图△A1B1C1就是所求作的图形．
．
【解析】根据位似变换的性质得出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，顺次连接即可．
本题考查了作位似图形．解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，AB=CD，∠ABC=90°，
∴CB⊥AE，
又∵AC=EC，
∴AB=BE，
∴BE=CD，BE//CD，
∴四边形BECD为平行四边形．
【解析】由矩形的性质得AB//CD，AB=CD，∠ABC=90°，则CB⊥AE，再由等腰三角形的性质得AB=BE，则BE=CD，BE//CD，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定是解题的关键．
19.【答案】解：列表格如下：
∴一共有6种可能出现的情况，其中恰好一个是“宸宸”，一个是“琮琮”的有2种；
∴两人抽取的明信片上的图案恰好一个是“宸宸”，一个是“琮琮”的概率是 P=26=13．
【解析】利用列表法表示所有可能出现的结果情况，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
20.【答案】解：∵方程x2+2 bx+a=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(2 b)2−4×1×a=4b−4a=0，
∴b−a=0，即b=a．
又∵a、b、2 2为Rt△ABC的三条边，
∴a2+b2=(2 2)2，
∴a=b=2，
∴a+b=4．
【解析】根据根的判别式Δ=b2−4ac=0求得b=a，再利用勾股定理计算求得a=b=2，进一步计算解答即可．
本题主要考查了根的判别式、勾股定理，解答本题的关键是根据判别式和已知条件求出三角形三条边的关系．
21.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴∠AEF=∠CBF，∠EAF=∠BCF，
∴△AEF∽△CBF，
∴EFBF=AEBC=34，
∴EFBE=37．
∵FG//BC，AD//BC，
∴FG//BC//AD，
∴DGDC=EFBE=37，
∴DG=37×DC=37×4=127．
【解析】利用正方形性质，证得△AEF∽△CBF，得出EFBE=37，然后根据FG//BC即可得出对应边成比例求解即可．
本题考查了正方形的性质，相似的判定和性质，以及平行线分线段成比例，解答本题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质．
22.【答案】解：(1)由题意得：∠ACB=∠MCN，
∵MN⊥ND，AB⊥ND，
∴∠ABC=∠MNC=90°，
∴△ACB∽△MCN，
∴ABMN=BCCN，即1.5MN=3CN，
解得：CN=2MN，
∴CN=2MN；
(2)设MN=x米，则CN=2x米，
∵DF=6米，CF=4米，EF=2米，
∴DN=DF+CF+CN=(10+2x)米，
∵MN⊥ND，EF⊥ND，
∴∠DNM=∠DFE=90°，
∵∠MDN=∠EDF，
∴△DNM∽△DFE，
∴MNEF=DNDF，即x2=10+2x6，
解得：x=10，
答：建筑物MN的高度为10米．
【解析】(1)由题意得：∠ACB=∠MCN，证明△ACB∽△MCN，则ABMN=BCCN，即1.5MN=3CN，解得CN=2MN；
(2)设MN=x米，则CN=2x米，由DF=6米，CF=4米，EF=2米，可得DN=(10+2x)米，证明△DNM∽△DFE，则MNEF=DNDF，即x2=10+2x6，计算求解即可．
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设年平均增长率为x，由题意得：
20(1+x)2=28.8，
解得：x1=20%，x2=−2.2(舍去)，
答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为20%；
(2)设每杯售价定为a元，由题意得：
(a−6)[300+30(25−a)]=6300，
解得：a1=21，a2=20，
∴为了能让顾顾客获得最大优惠，故a=20，
答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【解析】(1)设年平均增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；
(2)设每杯售价定为a元，由题意得关于a的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键．
24.【答案】等边
【解析】解：(1)①∵矩形ABCD为正方形，由折叠可知：
A′D=AD=CD,DF=CF=12CD,EF⊥CD，
∴A′C=A′D，
∴A′C=A′D=CD，
∴故△A′CD为等边三角形；
故答案为：等边；
②由折叠可知：A′D=AD=5，DF=CF，
∵△A′DF为等腰直角三角形，
∴DF=A′F，DF2+A′F2=A′D2=52，
∴DF=5 22，
∵四边形形ABCD为矩形，
∴AB=CD=2DF=5 2，
∴当△A′DF为等腰直角三角形时，AB的长度为5 2；
(2)∵AD=BC=5，PQ=2，
∴四边形BCQP的周长为BC+CQ+PQ+PB=BP+CQ+7，
则要使四边形BCQP的周长最小，只要BP+CQ最小即可．
∵四边形BCQP周长的最小值为12，
∴BP+CQ的最小值为：12−7=5，
在BC边上截取BM=PQ=2，
∵点F是CD的中点，
∴点C关于EF的对称点为点D，连接DM，交EF于点Q，如图2，
则DM即为BP+CQ的最小值，即DM=5，
在Rt△CDM中，CM=BC−BM=5−2=3，DM=5，
∴CD= DM2−CM2= 52−32=4，
∴AB=CD=4．
∴AB的长度为4．
(1)①根据折叠的性质和正方形性质可得A′D=AD=CD,DF=CF=12CD,EF⊥CD，再根据线段垂直平分线性质可得A′C=A′D，即可解答；
②根据折叠的性质可得，A′D=AD=5，DF=CF，再根据△A′DF为等腰直角三角形运用勾股定理即可解得DF=5 22，结合矩形的性质即可求解；
(2)根据四边形BCQP周长的最小值为12转化为BP+CQ的最小值5，即DM=5，即可求解．
该题主要考查了折叠的性质“折叠前后对应角相等，对应边相等，折痕与对应点的连线互相垂直”，等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等”，矩形的性质和正方形的性质，勾股定理，最短路径，解题的关键是数形结合，能够正确作出对应图形，添加必要辅助线进行问题转化．
25.【答案】60
【解析】(1)解：连接AC，AF，如图①，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AB=BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACF=∠ABE=60°，AC=AB，
∵BE=CF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠BAE=∠CAF，AE=AF，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°，
故答案为：60；
(2)①连接AC，过点E作EG//AC交AB于点G，如图②，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB=BC，
∵∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠BAC=12∠BAD=60°，∠B=180°−∠BAD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵EG//AC，
∴∠BGE=∠BAC=60°，
∴△BGE是等边三角形
∴BG=BE=GE，
∴∠AGE=180°−∠BGE=120°，AG=EC，
则∠AGE=∠ECF，
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠B+∠EAG，∠AEF=∠B=60°
∴∠FEC=∠EAG，
∴△AGE≌△ECF(ASA)，
∴GE=CF，
∴BE=GE=CF，
∵BE+DF=10，
∴CF+DF=CD=10，
∴菱形ABCD的边长为10 m，
即AB=BC=CD=DA=10，
过点A作AH⊥BC于点H，则∠BAH=90°−∠B=30°，
∴BH=12AB=5，
∴AH= AB2−BH2=5 3，
∴S菱形ABCD=2S△ABC=2×12⋅BC⋅AH=10×5 3=50 3(m2)；
②过点A作AH⊥BC于点H，过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M.如图③，
由(2)①知AB=10，AH=5 3，S菱形ABCD=50 3，设BE=x，则CE=DF=10−x，
∴S△ABE=12⋅BE⋅AH=5 32x，
∴CF=CD−DF=10−(10−x)=x，
∵∠BCF=∠BAD=120°，
∴∠DCM=180°−∠BCF=60°，
∴∠CFM=30°，
∴CM=12x，FM= 32x，
∴S△CEF=12⋅CE⋅FM=12×(10−x)× 32x= 34x(10−x)，
∵种植韭菜区域的面积是黄瓜区域面积的3倍，
∴S△ABE+S△CEF=14S菱形ABCD，
∴5 32x+ 34x(10−x)=14×50 3，
解得x1=10+5 2(舍去)，x2=10−5 2，
∴BE的长是(10−5 2)m.
(1)连接AC，AF，由菱形的性质和∠BAD=120°得△ABC是等边三角形，进一步得到AC=AB，∠BAC=∠ACF=∠ABE=60°，有△ABE≌△ACF，得到AE=AF，∠BAE=∠CAF，∠EAF=∠BAC=60°，则有△AEF是等边三角形可求得答案；
(2)①连接AC，过点E作EG//AC交AB于点G，由菱形的性质得AB=BC，∠BCD=∠BAD=120°，有∠BAC=60°，∠B=60°，则有△ABC和△BGE是等边三角形，得到BG=BE=GE，进一步有∠AGE=120°，AG=EC，则∠AGE=∠ECF和∠FEC=∠EAG，证得△AGE≌△ECF，利用边相等求得菱形边长，过点A作AH⊥BC于点H，解直角三角形求得S△ABC即可求得菱形面积；
②过点A作AH⊥BC于点H，过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M.结合①知AB=10，AH=5 3，S菱形ABCD=50 3，设BE=x，求得CE、CF、CM、FM和S△ABE及S△CEF面积，根据题意列出S△ABE+S△CEF=14S菱形ABCD即可求得答案．
本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质和解直角三角形，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
A
B
C
A
−
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
−
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
−
1.下列式子是一元二次方程的是( )
A. x2−5x−3B. x2−1=yC. 5x+1=0D. x2+2x−1=0
2.如果关于x的一元二次方程x2−c=0有一个根是2，那么c的值是( )
A. 4B. −4C. 2D. −2
3.下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是( )
A. B.
C. D.
4.用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指( )
A. 连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次
B. 连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次
C. 抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上”
D. 抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5
5.如图，在平行四边形ABCD中，∠A+∠C=120°，则∠C的度数为( )
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 120°
6.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( )
A. 两组对边分别平行B. 两组对角分别相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直
7.已知ab=34，则下列变形错误的是( )
A. a4=3bB. a3=b4C. 4a=3bD. ba=43
8.如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是( )
A. BC2=AC⋅CDB. ABAC=BDBC
C. ∠ABC=∠BDCD. ∠A=∠CBD
9.某兴趣小组组织跳绳比赛，参赛的每两人之间都要比赛一场，按计划需要进行21场比赛．设参赛的人数为x，则x满足的关系式为( )
A. 12x(x−1)=21B. x(x−1)=21C. 12x(x+1)=21D. x(x+1)=21
10.如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E是正方形ABCD的边AD上的一点，点A关于BE的对称点为F，若∠DFC=90°，则EF的长为( )
A. 37
B. 23
C. 25
D. 710
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知ab=cd=23，且b≠±d，则a−cb−d= ______ ．
12.在一个不透明的口袋中装有仅颜色不同的白、黄两种小球，其中白球2个，黄球n个，若从袋中任取一个球，摸出黄球的概率是45，则n= ______ ．
13.将一元二次方程x2−6x+2=0配方后，变形成(x−m)2=n，则m+n= ______ ．
14.如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=______．
15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：x2+4x−5=0．
四、解答题：本题共9小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
在如图小正方形的边长均为1的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上.以点O为位似中心画△ABC的位似图形△A1B1C1，使得位似比为1：2．
18.(本小题6分)
如图，四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点，若AC=EC.求证：四边形BECD为平行四边形．
19.(本小题7分)
第十九届亚洲运动会在浙江省杭州市举行，吉祥物是一组机器人，组合名为“江南忆”，分别是“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”(分别用A、B、C表示).组委会现将3张正面分别印有以上3个吉祥物图案的明信片(明信片的质地、形状、大小都相同)送给志愿者作留念，将这3张明信片背面朝上，洗匀.若小杰先从中随机抽取1张，小丽再从剩余的明信片中随机抽取1张，请用树状图或列表的方法求两人抽取的明信片上的图案恰好一个是“宸宸”，一个是“琮琮”的概率．
20.(本小题7分)
设a、b、2 2为Rt△ABC的三条边，且关于x的方程x2+2 bx+a=0有两个相等的实数根，求a+b的值．
21.(本小题7分)
如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AD上，AE=3，连接BE交AC于点F，过点F作FG//BC，交CD于点G.求DG的长．
22.(本小题8分)
综合与实践
主题：利用相似三角形的有关知识测量建筑物的高度．
素材：平面镜、标杆、皮尺等测量工具．
步骤1：如图，站在B处，位于点B正前方3米点C处有一平面镜，通过平面镜刚好可以看到建筑物的顶端M的像，此时测得眼睛到地面的距离AB为1.5米；
步骤2：在F处竖立了一根高2米的标杆EF，发现地面上的点D、标杆顶点E和建筑物顶端M在一条直线上，此时测得DF为6米，CF为4米．
猜想与计算：已知MN⊥ND，AB⊥ND，EF⊥ND，点N、C、B、F、D在同一条直线上，且点N、C之间存在障碍物，无法直接测量.请根据以上所测数据：
(1)直接写出平面镜到建筑物的距离CN与建筑物高度MN之间的数量关系；
(2)计算建筑物的高度MN(平面镜大小忽略不计)．
23.(本小题8分)
因粤港澳大湾区和中国特色社会主义先行示范区的双重利好，深圳已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一，深圳著名旅游“网红打卡地”东部华侨城景区在2019年春节长假期间，共接待游客达20万人次，预计在2021年春节长假期间，将接待游客达28.8万人次．
(1)求东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率．
(2)东部华侨城景区一奶茶店销售一款奶茶，每杯成本价为6元，根据销售经验，在旅游旺季，若每杯定价25元，则平均每天可销售300杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售30杯，2021年春节期间，店家决定进行降价促销活动，则当每杯售价定为多少元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额？
24.(本小题10分)
综合探究
将矩形ABCD对折，使点A与点B重合，点D与点C重合，折痕为EF，AD=5．
(1)如图(1)，将矩形ABCD沿过点D的直线折叠，使A点的对应点A′落在EF上，点G在AB边上，折痕为DG，连接A′C.则：
①当矩形ABCD为正方形时，△A′CD为______ 三角形；
②当△A′DF为等腰直角三角形时，求AB的长度．
(2)如图(2)，点P、Q在折痕EF上，且满足PQ=2，当四边形BCQP周长的最小值为12时，求AB的长度．
25.(本小题10分)
综合运用：
小亮舅舅有块菱形菜地ABCD，已知∠BAD=120°.小亮舅舅想在BC，CD边上分别找一点E、F(不与端点重合)，连接AE、EF，将菱形菜地ABCD分成三个区域，其中△ABE和△CEF区域种植黄瓜，剩余区域种植韭菜，小亮对此产生了浓厚的兴趣，主动帮助舅舅测量找点．
(1)当BE=CF时，可以求得∠AEF= ______ °；
(2)保持∠AEF的度数与第(1)问中的相等，改变点E、F的位置，使得无论点E位于何处，BE与DF的和都为10m．
①请你帮助小亮计算菱形菜地ABCD的面积；
②舅舅告诉小亮，他想要种植韭菜区域的面积是黄瓜区域面积的3倍，请你帮助小亮求BE的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、x2−5x−3不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、x2−1=y不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、5x+1=0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、x2+2x−1=0是一元二次方程，故本选项符合题意；
故选：D．
根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了一元二次方程，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−c=0有一个根是2，
∴4−c=0，
解得c=4，
故选：A．
把x=2代入一元二次方程x2−c=0，得到c的一元一次次方程，解出c的值即可．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，逆用一元二次方程解的定义易得出c的值．
3.【答案】D
【解析】解：A.形状相同，符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
B.形状相同，符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
C.形状相同，符合相似图形的定义，此选项不符合题意；
D.形状不相同，不符合相似图形的定义，此选项符合题意；
故选：D．
根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
本题考查的是相似图形的定义，结合图形，即图形的形状相同，但大小不一定相同的图形是相似图形。
4.【答案】D
【解析】解：连续抛掷2n次不一定正好正面向上和反面向上的次数各一半，故A、B、C错误，
抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越稳定于0.5，故D正确，
故选D．
利用“大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率”进行判断即可．
本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中，事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，这个常数可以估计事件发生的概率．
5.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵∠A+∠C=120°，
∴∠C=60°，
故选：B．
根据平行四边形的性质进行解答即可．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握：
(1)平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
(2)平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等． ②角：平行四边形的对角相等． ③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
6.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了菱形的性质，关键是根据菱形对角线垂直及平行四边形对角线平分的性质的理解．
根据菱形的特殊性质可知对角线互相垂直．
【解答】
解：A、不正确，两组对边分别平行；
B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质；
C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质；
D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质．
故选：D．
7.【答案】A
【解析】解：∵ab=34，
∴4a=3b，a3=b4，ba=43．
故选：A．
根据比例的性质对各选项进行判断．
本题考查了比例的性质：灵活应用比例性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质)进行计算．
8.【答案】B
【解析】【分析】
由相似三角形的判定依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形判定方法是关键．
【解答】
解：∵BC2=AC⋅CD，
∴BCAC=CDBC，
又∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，故选A不合题意，
∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，故选C不合题意，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，故选D不合题意，
故选：B．
9.【答案】A
【解析】解：设参赛的人数为x，
依题意，得：12x(x−1)=21．
故选：A．
设参赛的人数为x，由参赛的每两人之间都要比赛一场，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：如图，延长EF交CD于M，连接BM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°，
∵将△ABE沿直线BE对折得到△BEF，
∴∠BFE=∠BFM=90°，AB=BF=BC
在Rt△BFM与Rt△BCM中，
BF=BCBM=BM，
∴Rt△BFM≌Rt△BCM(HL)，
∴MF=MC，
∴∠MFC=∠MCF，
∵∠MFC+∠DFM=90°，∠MCF+∠FDM=90°，
∴∠MFD=∠MDF，
∴MD=MF=MC，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴MF=MC=DM=1，
设AE=EF=x，
∵DE2+DM2=EM2，
即(2−x)2+12=(x+1)2，
解得：x=23．
故选：B．
延长EF交CD于M，连接BM，根据正方形的性质得到AB=BC，∠A=∠BCD=90°，由折叠的性质得到∠BFE=∠BFM=90°，通过Rt△BFM≌Rt△BCM，于是得到MF=MC.由等腰三角形的性质得到∠MFC=∠MCF，由余角的性质得到∠MFD=∠MDF，于是求得MF=MD，得MF=MD=MC=1，AE=EF=x，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，翻折变换−折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
11.【答案】23
【解析】解：设a=2x，c=2y，则b=3x，d=3y，
故a−cb−d=2x−2y3x−3y=23．
故答案为：23．
设a=2x，c=2y，则b=3x，d=3y，直接利用比例的性质得出即可．
此题主要考查了比例的性质，正确利用未知数代替化简是解题关键．
12.【答案】8
【解析】解：由题意得：nn+2=45，
解得：n=8，
经检验n=8是原方程的解，
故答案为：8．
根据摸出黄球的概率是45，列式计算即可．
本题考查已知概率求数量，解答本题的关键是掌握概率的求法：概率=所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】10
【解析】解：一元二次方程x2−6x+2=0配方得：(x−3)2=7，
∵一元二次方程x2−6x+2=0配方后得(x−m)2=n，
∴m=3，n=7，
∴m+n=3+7=10．
故答案为：10．
将一元二次方程x2−6x+2=0配方得出(x−3)2=7，求出m=3，n=7，然后代入求值即可．
本题考查一元二次方程，解题的关键是将一元二次方程x2−6x+2=0配方得出(x−3)2=7．
14.【答案】8.5
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例并列出比例式是解题的关键．先求出AC的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AB的长，然后根据BE=AB−AE，代入数据进行计算即可得解．
【解答】
解：∵AD=3，DC=4，
∴AC=AD+DC=3+4=7，
∵△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
即3AB=27，
解得AB=10.5，
∴BE=AB−AE=10.5−2=8.5．
故答案为8.5．
15.【答案】185
【解析】解：连接AD、EF，
∵∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，
∴BC= 92+122=15，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA=∠DFA=∠BAC=90°，
∴四边形DEAF是矩形，
∴EF=AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积=12AB×AC=12BC×AD，
∴AD=AB×ACBC=9×1215=365，
∴EF的最小值为365，
∵点G为四边形DEAF对角线交点，
∴GF=12EF=185；
故答案为：185．
由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DEAF是矩形，可得EF=AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16.【答案】解：x2+4x−5=0
(x+5)(x−1)=0，
x+5=0或x−1=0，
x1=−5，x2=1．
【解析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．
通过观察方程形式，利用因式分解法解方程比较简单．
17.【答案】解：如图△A1B1C1就是所求作的图形．
．
【解析】根据位似变换的性质得出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的位置，顺次连接即可．
本题考查了作位似图形．解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB//CD，AB=CD，∠ABC=90°，
∴CB⊥AE，
又∵AC=EC，
∴AB=BE，
∴BE=CD，BE//CD，
∴四边形BECD为平行四边形．
【解析】由矩形的性质得AB//CD，AB=CD，∠ABC=90°，则CB⊥AE，再由等腰三角形的性质得AB=BE，则BE=CD，BE//CD，即可得出结论．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定是解题的关键．
19.【答案】解：列表格如下：
∴一共有6种可能出现的情况，其中恰好一个是“宸宸”，一个是“琮琮”的有2种；
∴两人抽取的明信片上的图案恰好一个是“宸宸”，一个是“琮琮”的概率是 P=26=13．
【解析】利用列表法表示所有可能出现的结果情况，再根据概率的定义进行计算即可．
本题考查列表法或树状图法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
20.【答案】解：∵方程x2+2 bx+a=0有两个相等的实数根，
∴Δ=(2 b)2−4×1×a=4b−4a=0，
∴b−a=0，即b=a．
又∵a、b、2 2为Rt△ABC的三条边，
∴a2+b2=(2 2)2，
∴a=b=2，
∴a+b=4．
【解析】根据根的判别式Δ=b2−4ac=0求得b=a，再利用勾股定理计算求得a=b=2，进一步计算解答即可．
本题主要考查了根的判别式、勾股定理，解答本题的关键是根据判别式和已知条件求出三角形三条边的关系．
21.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，
∴∠AEF=∠CBF，∠EAF=∠BCF，
∴△AEF∽△CBF，
∴EFBF=AEBC=34，
∴EFBE=37．
∵FG//BC，AD//BC，
∴FG//BC//AD，
∴DGDC=EFBE=37，
∴DG=37×DC=37×4=127．
【解析】利用正方形性质，证得△AEF∽△CBF，得出EFBE=37，然后根据FG//BC即可得出对应边成比例求解即可．
本题考查了正方形的性质，相似的判定和性质，以及平行线分线段成比例，解答本题的关键在于熟练掌握相似三角形的判定与性质．
22.【答案】解：(1)由题意得：∠ACB=∠MCN，
∵MN⊥ND，AB⊥ND，
∴∠ABC=∠MNC=90°，
∴△ACB∽△MCN，
∴ABMN=BCCN，即1.5MN=3CN，
解得：CN=2MN，
∴CN=2MN；
(2)设MN=x米，则CN=2x米，
∵DF=6米，CF=4米，EF=2米，
∴DN=DF+CF+CN=(10+2x)米，
∵MN⊥ND，EF⊥ND，
∴∠DNM=∠DFE=90°，
∵∠MDN=∠EDF，
∴△DNM∽△DFE，
∴MNEF=DNDF，即x2=10+2x6，
解得：x=10，
答：建筑物MN的高度为10米．
【解析】(1)由题意得：∠ACB=∠MCN，证明△ACB∽△MCN，则ABMN=BCCN，即1.5MN=3CN，解得CN=2MN；
(2)设MN=x米，则CN=2x米，由DF=6米，CF=4米，EF=2米，可得DN=(10+2x)米，证明△DNM∽△DFE，则MNEF=DNDF，即x2=10+2x6，计算求解即可．
本题属于相似形综合题，主要考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设年平均增长率为x，由题意得：
20(1+x)2=28.8，
解得：x1=20%，x2=−2.2(舍去)，
答：东部华侨城景区2019至2021年春节长假期间接待游客人次的年平均增长率为20%；
(2)设每杯售价定为a元，由题意得：
(a−6)[300+30(25−a)]=6300，
解得：a1=21，a2=20，
∴为了能让顾顾客获得最大优惠，故a=20，
答：每杯售价定为20元时，既能让顾客获得最大优惠，又可让店家在此款奶茶实现平均每天6300元的利润额．
【解析】(1)设年平均增长率为x，由题意得关于x的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可；
(2)设每杯售价定为a元，由题意得关于a的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义作出取舍即可．
本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并正确地列出方程是解题的关键．
24.【答案】等边
【解析】解：(1)①∵矩形ABCD为正方形，由折叠可知：
A′D=AD=CD,DF=CF=12CD,EF⊥CD，
∴A′C=A′D，
∴A′C=A′D=CD，
∴故△A′CD为等边三角形；
故答案为：等边；
②由折叠可知：A′D=AD=5，DF=CF，
∵△A′DF为等腰直角三角形，
∴DF=A′F，DF2+A′F2=A′D2=52，
∴DF=5 22，
∵四边形形ABCD为矩形，
∴AB=CD=2DF=5 2，
∴当△A′DF为等腰直角三角形时，AB的长度为5 2；
(2)∵AD=BC=5，PQ=2，
∴四边形BCQP的周长为BC+CQ+PQ+PB=BP+CQ+7，
则要使四边形BCQP的周长最小，只要BP+CQ最小即可．
∵四边形BCQP周长的最小值为12，
∴BP+CQ的最小值为：12−7=5，
在BC边上截取BM=PQ=2，
∵点F是CD的中点，
∴点C关于EF的对称点为点D，连接DM，交EF于点Q，如图2，
则DM即为BP+CQ的最小值，即DM=5，
在Rt△CDM中，CM=BC−BM=5−2=3，DM=5，
∴CD= DM2−CM2= 52−32=4，
∴AB=CD=4．
∴AB的长度为4．
(1)①根据折叠的性质和正方形性质可得A′D=AD=CD,DF=CF=12CD,EF⊥CD，再根据线段垂直平分线性质可得A′C=A′D，即可解答；
②根据折叠的性质可得，A′D=AD=5，DF=CF，再根据△A′DF为等腰直角三角形运用勾股定理即可解得DF=5 22，结合矩形的性质即可求解；
(2)根据四边形BCQP周长的最小值为12转化为BP+CQ的最小值5，即DM=5，即可求解．
该题主要考查了折叠的性质“折叠前后对应角相等，对应边相等，折痕与对应点的连线互相垂直”，等边三角形的判定，线段垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等”，矩形的性质和正方形的性质，勾股定理，最短路径，解题的关键是数形结合，能够正确作出对应图形，添加必要辅助线进行问题转化．
25.【答案】60
【解析】(1)解：连接AC，AF，如图①，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AB=BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACF=∠ABE=60°，AC=AB，
∵BE=CF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴∠BAE=∠CAF，AE=AF，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=∠CAE+∠BAE=∠BAC=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°，
故答案为：60；
(2)①连接AC，过点E作EG//AC交AB于点G，如图②，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AB=BC，
∵∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠BAC=12∠BAD=60°，∠B=180°−∠BAD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵EG//AC，
∴∠BGE=∠BAC=60°，
∴△BGE是等边三角形
∴BG=BE=GE，
∴∠AGE=180°−∠BGE=120°，AG=EC，
则∠AGE=∠ECF，
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=∠B+∠EAG，∠AEF=∠B=60°
∴∠FEC=∠EAG，
∴△AGE≌△ECF(ASA)，
∴GE=CF，
∴BE=GE=CF，
∵BE+DF=10，
∴CF+DF=CD=10，
∴菱形ABCD的边长为10 m，
即AB=BC=CD=DA=10，
过点A作AH⊥BC于点H，则∠BAH=90°−∠B=30°，
∴BH=12AB=5，
∴AH= AB2−BH2=5 3，
∴S菱形ABCD=2S△ABC=2×12⋅BC⋅AH=10×5 3=50 3(m2)；
②过点A作AH⊥BC于点H，过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M.如图③，
由(2)①知AB=10，AH=5 3，S菱形ABCD=50 3，设BE=x，则CE=DF=10−x，
∴S△ABE=12⋅BE⋅AH=5 32x，
∴CF=CD−DF=10−(10−x)=x，
∵∠BCF=∠BAD=120°，
∴∠DCM=180°−∠BCF=60°，
∴∠CFM=30°，
∴CM=12x，FM= 32x，
∴S△CEF=12⋅CE⋅FM=12×(10−x)× 32x= 34x(10−x)，
∵种植韭菜区域的面积是黄瓜区域面积的3倍，
∴S△ABE+S△CEF=14S菱形ABCD，
∴5 32x+ 34x(10−x)=14×50 3，
解得x1=10+5 2(舍去)，x2=10−5 2，
∴BE的长是(10−5 2)m.
(1)连接AC，AF，由菱形的性质和∠BAD=120°得△ABC是等边三角形，进一步得到AC=AB，∠BAC=∠ACF=∠ABE=60°，有△ABE≌△ACF，得到AE=AF，∠BAE=∠CAF，∠EAF=∠BAC=60°，则有△AEF是等边三角形可求得答案；
(2)①连接AC，过点E作EG//AC交AB于点G，由菱形的性质得AB=BC，∠BCD=∠BAD=120°，有∠BAC=60°，∠B=60°，则有△ABC和△BGE是等边三角形，得到BG=BE=GE，进一步有∠AGE=120°，AG=EC，则∠AGE=∠ECF和∠FEC=∠EAG，证得△AGE≌△ECF，利用边相等求得菱形边长，过点A作AH⊥BC于点H，解直角三角形求得S△ABC即可求得菱形面积；
②过点A作AH⊥BC于点H，过点F作FM⊥BC交BC的延长线于点M.结合①知AB=10，AH=5 3，S菱形ABCD=50 3，设BE=x，求得CE、CF、CM、FM和S△ABE及S△CEF面积，根据题意列出S△ABE+S△CEF=14S菱形ABCD即可求得答案．
本题主要考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质和解直角三角形，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键．
A
B
C
A
−
(A,B)
(A,C)
B
(B,A)
−
(B,C)
C
(C,A)
(C,B)
−
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