2023-2024学年湖南省岳阳十二中八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省岳阳十二中八年级（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在−2a，ba，13a2b，−2ab2，x3，14+x，2x−yπ中，分式共有( )
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2.下列各组中的三条线段能组成三角形的是( )
A. 3，4，8B. 5，6，11C. 5，6，10D. 4，4，8
3.下列等式的变形不正确的是( )
A. x2−1x2+x=x−1xB. −x+1x=−x+1x
C. −ab=a−bD. a−ba=a2−b2a2+ab
4.下列式子：①(−2)−2=−14；②a2÷a3=a−1；③3a−1=13a2；④7.02×10−1=0.00702.其中正确的式子有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
5.如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN/​/BC，则△AMN的周长为( )
A. 13B. 14C. 15D. 16
6.某工厂计划生产210个零件，由于采用新技术，实际每天生产零件的数量是原计划的1.5倍，因此提前5天完成任务．设原计划每天生产零件x个，依题意列方程为( )
A. 210x−2101.5x=5B. 210x−210x−1.5=5
C. 2101.5+x−210x=5D. 2105=1.5+210x
7.如图，在△ABD与△ACD中，已知∠CAD=∠BAD，在不添加任何辅助线的前提下，依据“ASA”证明△ABD≌△ACD，需再添加一个条件，正确的是
( )
A. ∠B=∠CB. ∠BDA=∠CDA
C. AB=ACD. BD=CD
8.若解分式方程kx−2=k−x2−x−3产生增根，则k的值为( )
A. 2B. 1C. 0D. 任何数
9.如图，AC，AD分别为△ABE的中线和高，AC=AE，AD=5，DE=2，则△ABE面积为( )
A. 5B. 10C. 15D. 20
10.如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC=70°，则∠EAN的度数为( )
A. 35°
B. 40°
C. 50°
D. 55°
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.当x=______时，分式|x|−6x+6的值为0．
12.如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD=3，BE=1，则DE的长是___________．
13.分式x−2x−1，x−2x2+2x+1，2−xx2−x的最简公分母是______ ．
14.已知a2=b3=c4，则2a+3b−c3a−b+c的值为______ ．
15.如果(a−1)a+1=1成立，则a= ______ ．
16.如图，C为线段AE上一动点(不与点A，E重合)，在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ.以下四个结论：①AD=BE；②∠AOB=70°；③△CPQ为等边三角形；④△APC≌△BQC.其中正确的有______ .(注：把正确的答案序号都写上)
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算
(1)(−13)−3−(12)−1+(π−5)0×(−22)；
(2)(2m2n−3)−2⋅(−m2)3÷(m−3n)2．
18.(本小题8分)
解方程：
(1)4x2−2x+1x=2x−2；
(2)2x−1+x+21−x=3．
19.(本小题6分)
先化简、再求值x2−2xx2−1÷(x−1−2x−1x+1)，其中x=12．
20.(本小题6分)
如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB=DC，AC=BD.求证：
(1)△ABC≌△DCB．
(2)∠ABO=∠DCO．
21.(本小题8分)
如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，连接DE，交AB于点F，且EF⊥AB于点F，AB=DE．
(1)求证：△ACB≌△EBD．
(2)若DB=10，求AC的长．
22.(本小题8分)
市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．
(1)甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
(2)若甲队工作一天的改造费用为7万元，乙队工作一天的改造费用为5万元，如需改造的道路全长为1800米，求安排甲、乙两个工程队同时开工，并一起完成这项城区道路改造的总费用？
23.(本小题8分)
已知：三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，
(1)如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；
(2)若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．
24.(本小题10分)
对于正数x，规定：f(x)=xx+1．
例如：f(1)=11+1=12，f(2)=22+1=23，f(12)=1212+1=13．
(1)求值：f(3)+f(13)= ______ ；f(4)+f(14)= ______ ；
(2)猜想：f(x)+f(1x)= ______ ，并证明你的结论；
(3)求：f(12017)+f(12016)+…+f(12)+f(1)+f(2)+…+f(2016)+f(2017)的值．
25.(本小题10分)
如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：在−2a，ba，13a2b，−2ab2，x3，14+x，2x−yπ中，分式有：ba，14+x，共有2个，
故选：A．
根据分式的定义逐一判断，即可解答．
本题考查了分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了能够组成三角形三边的条件．用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可知．
【解答】
解：A、3+4=7<8，不能组成三角形；
B、5+6=11，不能组成三角形；
C、5+6=11>10，能够组成三角形；
D、4+4=8，不能组成三角形．
故选C．
3.【答案】B
【解析】解；A、分子分母都除以(x+1)，故A正确；
B、分式的分子应为x−1，故B错误；
C、分子分母异号分式的值为负，故C正确；
D、分子分母都乘以(a+b)，故D正确；
故选：B．
根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，可得答案．
本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式分式的值不变．
4.【答案】A
【解析】解：①(−2)−2=14，故①运算错误；
②a2÷a3=a−1，故②运算正确；
③3a−1不能再运算．故③运算错误；
④7.02×10−1=0.702，故④运算错误．
则正确的有1个．
故选：A．
利用负整数指数幂的运算法则，同底数幂的除法的法则，科学记数法对式子进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，科学记数法，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
5.【答案】B
【解析】解：∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，
∴∠MBO=∠OBC，∠OCN=∠OCB，
∵MN/​/BC，
∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，
∴∠MBO=∠MOB，∠NOC=∠NCO，
∴MO=MB，NO=NC，
∵AB=6，AC=8，
∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AB+AC=14．
故选：B．
根据BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，且MN/​/BC，可得出MO=MB，NO=NC，所以三角形AMN的周长是AB+AC．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并求出△AMN的周长=AB+AC是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，
由题意得，210x−2101.5x=5．
故选：A．
设原计划每天生产零件x个，则实际每天生产零件为1.5x个，根据提前5天完成任务，列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于基础题．
根据题目条件，结合ASA可知只要证明∠ADC=∠ADB即可，可以添加∠BDE=∠CDE即可．
【解答】
解：在△ABD与△ACD中，
∵∠CAD=∠BAD，AD=AD，
∴根据ASA只要证明∠ADC=∠ADB即可，
∴可以添加∠BDA=∠CDA即可，
故选B．
8.【答案】B
【解析】解：kx−2=k−x2−x−3，
去分母，得k=x−k−3(x−2)．
去括号，得k=x−k−3x+6．
移项，得−x+3x=−k+6−k．
合并同类项，得2x=6−2k．
x的系数化为1，得x=3−k．
∵分式方程kx−2=k−x2−x−3产生增根，
∴3−k=2．
∴k=1．
故选：B．
先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握分式方程的增根的定义是解决本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵AC=AE，AD是高线，根据“三线合一”的性质，CD=CE=2，
∵AC是中线，
∴C是BE中点，
∴BC=CE=4，
∴BE=8
∴S△ABE=12×BE×AD=12×8×5=20．
故选：D．
根据三角形的面积公式求得即可求解．
本题考查了三角形的高与中线的定义与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
10.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=70°，
∴∠B+∠C=180°−70°=110°，
∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴EA=EB，NA=NC，
∴∠EAB=∠B，∠NAC=∠C，
∴∠BAC=∠BAE+∠NAC−∠EAN=∠B+∠C−∠EAN，
∴∠EAN=∠B+∠C−∠BAC，
=110°−70°
=40°．
故选：B．
根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA=EB，NA=NC，则∠EAB=∠B，∠NAC=∠C，从而可得∠BAC=∠BAE+∠NAC−∠EAN=∠B+∠C−∠EAN，即可得到∠EAN=∠B+∠C−∠BAC，即可得解．
本题主要考查了三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键．
11.【答案】6
【解析】解：根据题意得x+6≠0且|x|−6=0，
所以x=6．
故答案为6．
利用分式值为零的条件得到x+6≠0且|x|−6=0，然后求出符合条件的x的值．
本题考查了分式的值为零的条件：分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
12.【答案】2
【解析】【分析】
根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE=DC，就可以求出DE的值．
本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，学会正确寻找全等三角形，属于中考常考题型．
【解析】
解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E=∠ADC=90°，
∴∠EBC+∠BCE=90°．
∵∠BCE+∠ACD=90°，
∴∠EBC=∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
∠E=∠ADC∠EBC=∠DCABC=AC，
∴△CEB≌△ADC(AAS)，
∴BE=DC=1，CE=AD=3．
∴DE=EC−CD=3−1=2
故选答案为2．
13.【答案】x(x+1)2(x−1)
【解析】解：分式x−2x−1，x−2x2+2x+1，2−xx2−x的分母分别为：x−1，x2+2x+1=(x+1)2，x2−x=x(x−1)，
则分式x−2x−1，x−2x2+2x+1，2−xx2−x的最简公分母是x(x+1)2(x−1)．
故答案为：x(x+1)2(x−1)．
确定最简公分母的方法是：
(1)取各分母系数的最小公倍数；
(2)凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
(3)同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母(或含字母的整式)为底数的幂的因式都要取最高次幂．
14.【答案】97
【解析】解：由a2=b3=c4，得
b=3a2，c=2a．
2a+3b−c3a−b+c=2a+3×3a2−2a3a−3a2+2a=97，
故答案为：97．
根据比例的性质，可用a表示b，用a表示c，根据分式的性质，可得答案．
本题考查了比例的性质，利用比例的性质得出b=3a2，c=2a是解题关键．
15.【答案】−1或2
【解析】解：当a−1=1，即a=2时，(a−1)a+1=13=1，
当a+1=0，即a=−1时，(a−1)a+1=(−2)0=1，
综上所述：a=−1或2时，(a−1)a+1=1，
故答案为：−1或2．
根据零指数幂、有理数的乘方计算．
本题考查的是零指数幂、有理数的乘方，熟记a0=1(a≠0)是解题的关键．
16.【答案】①③④
【解析】解：①∵△ABC，△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，故①正确，符合题意；
②由①可得△ACD≌△BCE(SAS)，
∴∠CAD=∠CBE，
∵在∠BCE中，∠ACB=60°=∠CEB+∠CBE，
∴在△AOE中，∠AOB=∠CAD+∠CEB=60°，故②不正确，不符合题意；
④∵△ABC，△CDE为等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC
∴∠BCQ=180°−∠ACB−∠DCE=60°，
由②可得∠CAD=∠CBE，
在△APC和△BQC中，
∠BCQ=∠ACP=60°AC=BC∠CAD=∠CBE，
∴△APC≌△BQC(ASA)，故④正确，符合题意；
③∵△APC≌△BQC(ASA)，
∴CP=CQ，
∵∠BCQ=60°，
∴△CPQ为等边三角形，故③正确，符合题意；
综上：正确的有①③④；
故答案为：①③④．
通过证明△ACD≌△BCE(SAS)，即可判断①；由△ACD≌△BCE(SAS)，得出∠CAD=∠CBE，根据∠ACB=60°=∠CEB+∠CBE，得出∠AOB=∠CAD+∠CEB=60°即可判断②；易得∠BCQ=180°−∠ACB−∠DCE=60°，由②可得∠CAD=∠CBE，即可证明△APC≌△BQC(ASA)，即可判断④；根据△APC≌△BQC(ASA)，得出CP=CQ，即可求证△CPQ为等边三角形，即可判断③．
此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等；等边三角形三条边相等，三个角都是60度．
17.【答案】解：(1)(−13)−3−(12)−1+(π−5)0×(−22)
=−27−2+1×(−4)
=−27−2−4
=−33；
(2)(2m2n−3)−2⋅(−m2)3÷(m−3n)2
=14m−4n6⋅(−m6)÷m−6n2
=−14m2n6÷m−6n2
=−14m8n4．
【解析】(1)先算负整数指数幂，零指数幂，乘方，再算乘法，最后算加减即可；
(2)先算负整数指数幂，乘方，再算乘法即可．
本题主要考查整式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18.【答案】解：(1)4x2−2x+1x=2x−2；
去分母，得4+(x−2)=2x，
解得：x=2．
检验：把x=2代入最简公分母：x(x−2)=2×(2−2)=0．
故 x=2是增根，原分式方程无解．
(2)2x−1+x+21−x=3
解：去分母，得：2−(x+2)=3(x−1)，
去括号，得：2−x−2=3x−3，
解得 x=34，
检验：当 x=34时，x−1≠0，
∴x=34原分式方程的解．
【解析】(1)方程两边同时乘以x(x−2)，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验；
(2)方程两边同时乘以(x−1)，化为整式方程，解方程即可求解，最后要检验．
本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤和检验是关键．
19.【答案】解：x2−2xx2−1÷(x−1−2x−1x+1)
=x(x−2)(x+1)(x−1)÷x2−1−2x+1x+1
=x(x−2)(x+1)(x−1)⋅x+1x(x−2)
=1x−1，
∵x=12，
∴原式=112−1=−2．
【解析】根据分式的运算法则先化简原式，然后将x的值代入化简后的式子求值即可．
此题考查分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
20.【答案】证明：(1)在△ABC和△DCB中，
AB=DCBC=CBAC=BD，
∴△ABC≌△DCB(SSS)；
(2)由(1)知，△ABC≌△DCB，
∴∠ABC=∠DCB，∠ACB=∠DBC(全等三角形的对应角相等)，
∴∠ABO=∠DCO．
【解析】(1)由已知条件，结合公共边可以利用SSS判定△ABC≌△DCB；
(2)由三角形全等的对应角相等证得结论．
此题考查了全等三角形的判定和等腰三角形的判定，在做题时要牢固掌握并灵活运用．证明三角形全等是解答本题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵∠DEB+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，
∴∠DEB=∠A，
在△ACB和△EBD中，
∠ACB=∠DBE∠A=∠DEBAB=DE，
∴△ACB≌△EBD，(AAS)；
(2)解：∵△ACB≌△EBD，
∴BC=DB，AC=EB，
∵E是BC的中点，
∴EB=12BC，
∵DB=10，BC=DB，
∴BC=10，
∴AC=EB=12BC=5．
【解析】(1)易证∠DEB=∠A，即可证明△ACB≌△EBD，即可解题；
(2)根据(1)中结论可得BC=DB，AC=EB，根据BD长度即可求得BC长度，即可解题．
本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ACB≌△EBD是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，
根据题意得：240x−2401.5x=2，
解得：x=40，
经检验，x=40是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x=60．
答：甲工程队每天能改造道路的长度为60米，乙工程队每天能改造道路的长度为40米．
(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，
由题意得：60m+40m=1800，
解得：m=18，
则18×7+18×5=216(万元)，
答：甲、乙两个工程队一起完成这项城区道路改造的总费用为216万元．
【解析】(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，由题意：甲队改造240米的道路比乙队改造同样长的道路少用2天．列出分式方程，解方程即可；
(2)设安排甲、乙两个工程队同时开工需要m天完成，由题意：需改造的道路全长为1800米，安排甲、乙两个工程队同时开工，列出一元一次方程，解得m=18，再求出总费用即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23.【答案】(1)证明：连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=AD．
∴∠B=∠DAC=45°
又BE=AF，
∴△BDE≌△ADF(SAS)．
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF．
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．
∴△DEF为等腰直角三角形．
(2)解：△DEF为等腰直角三角形．
证明：若E，F分别是AB，CA延长线上的点，如图所示：
连接AD，
∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC(三线合一)，
∴∠DAC=∠ABD=45°．
∴∠DAF=∠DBE=135°．
又AF=BE，
∴△DAF≌△DBE(SAS)．
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB．
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．
∴△DEF仍为等腰直角三角形．
【解析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD.AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；
(2)还是证明：△BED≌△AFD，主要证∠DAF=∠DBE(∠DBE=180°−45°=135°,∠DAF=90°+45°=135°)，再结合两组对边对应相等，所以两个三角形全等．
本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．
24.【答案】1 1 1
【解析】解：(1)f(3)=34，f(13)=1313+1=14，f(4)=45，f(14)=1414+1=15，
则f(3)+f(13)=1；f(4)+f(14)=1；
故答案为：1；1；
(2)猜想：f(x)+f(1x)=1，
理由为：f(1x)=1x1x+1=1x+1，f(x)=xx+1，
则f(x)+f(1x)=xx+1+1x+1=x+1x+1=1；
故答案为：1；
(3)原式=[f(12017)+f(2017)]+[f(12016)+f(2016)]+…+[f(12)+f(2)]+f(1)=2016+0.5=2016.5．
(1)求出f(3)与f(13)的值，f(4)与f(14)的值，确定出所求即可；
(2)规律总结确定出结果即可；
(3)原式结合后，相加即可得到结果．
此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ=∠CAP=60°，AB=CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP=BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵AB=CA∠ABQ=∠CAPBQ=AP,
∴△ABQ≌△CAP(SAS)；
(2)解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°；
(3)解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．
理由：在△ABQ与△CAP中，
BQ=AP∠CAP=∠ABQ=60°AB=CA,
∴△ABQ≌△CAP(SAS)，
∴∠BAQ=∠ACP，
∵∠QMC=∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°−∠CAP=180°−60°=120°．
【解析】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．
(1)根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
(2)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，结合三角形内角和定理和邻补角性质，从而可得到∠QMC的度数；
(3)由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，结合三角形内角和定理和邻补角性质，可得到∠QMC的度数．