高一数学上学期期末考试模拟试卷（人教A版2019必修第一册全部）-【巅峰课堂】2023-2024学年高一数学热点题型归纳与培优练（人教A版2019必修第一册）

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（试卷满分150分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据交集的概念进行求解即可.
【详解】.
故选：C
2．函数的定义域是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据分式、根式以及零次方的性质列式求解.
【详解】由题意可得，解得且，
所以函数的定义域是.
故选：D.
3．若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据不等式之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.
【详解】当，，且时，
，当且仅当时等号成立，
所以，充分性成立；
，，满足，且，此时，必要性不成立.
则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4．函数，则（ ）
A．1B．2C．0D．8
【答案】C
【分析】先求得，再求即可.
【详解】因为，所以.
故选：C
5．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，得到函数为偶函数，且，即可求解.
【详解】由函数，可得，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D项；
又由，可排除B项，所以A符合题意.
故选：A.
6．方程的解一定位于区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知：方程的解即为的零点，根据函数单调性结合零点存在性定理分析判断.
【详解】因为，即，
由题意可知：方程的解即为的零点，
且在内单调递增，则在内单调递增，
又因为，
可知的唯一零点，即方程的解一定位于区间.
故选：C.
7.将函数的图象向右平移（）个单位长度，再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象．若的图象关于点中心对称，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据图象平移写出解析式，结合对称中心列方程求参数的表达式，即可得最小值.
【详解】令，
图象向右平移（）个单位长度，则，
再将所得图象上每一点的横坐标缩短到原来的，则，
又的图象关于点中心对称，则，
所以，则，又，故.
故选：A
8．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为，令，结合一元二次不等式的解法，即可求解；
解法2：根据题意，得到，设，得到为偶函数，求得关于对称，且在上单调递增，把不等式转化为，即可求解.
【详解】解法1：由函数，
则不等式，即为，
可得，即，
令，则，即，
解得，即，解得，
所以不等式的解集为.
解法2：由函数，
可得，
设，则，
所以函数为偶函数，即为偶函数，
可得关于对称，且在上单调递增，
所以不等式，即为，
可得，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.己知，则下列不等关系中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据不等式性质可判断A，D；结合对数函数单调性可判断B；结合幂函数单调性判断C.
【详解】由得，则A正确；
由，得，则，B错误；
由，结合在R上单调递增，得，C正确；
由，得，D错误，
故选：AC
10.已知，下列说法正确的有（ ）
A．在区间单调递减
B．在区间单调递增
C．有最大值
D．有最小值
【答案】AC
【分析】根据二次函数和绝对值函数的性质，利用数形结合思想逐一判断即可.
【详解】当时，解得，
于是有，函数图象由下图所示：
显然在区间单调递减，因此选项A正确；
显然在区间单调递增，在单调递减，所以选项B不正确；
当时，函数有最大值，没有最小值，因此选项C正确，选项D不正确，
故选：AC
11.已知，函数在上单调递增，则的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】BC
【分析】先将函数化为，先通过求出的大概范围，然后再根据题目所给单调区间列不等式求解即可.
【详解】，
，，
函数在上单调递增，
，
，
，
，解得，
则选项中的值可以是和，
故选：BC.
12．已知函数的定义域为D，若存在区间，使得同时满足下列条件：
①在上是单调函数；②在上的值域是.
则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】根据定义分别讨论是否同时满足“倍值区间”的两个条件，即可得出结论.
【详解】依题意，函数存在“倍值区间”，则满足在上是单调函数，且或，
对于A，，在区间上是增函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，A正确；
对于B，在区间上是减函数，且值域为，则区间是函数的“倍值区间”，B正确；
对于C，在上单调递减，在上单调递增，
假定函数存在倍值区间，若在上单调递增，则，
即有，而或，无解，
若在上单调递减，则，即，两式相减得，
而，则两式相加得，矛盾，不存在倍值区间，C错误；
对于D，当时，，函数在上单调递减，
于是在上单调递增，且值域为，因此区间是函数的“倍值区间”，D正确.
故选：ABD
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数是定义在上的偶函数，则
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义及性质，求出值即可.
【详解】函数是定义在上的偶函数，则，解得，经验证符合题意，
所以.
故答案为：1
14．杭州2022年第19届亚运会会徽（图1）象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展，也象征亚奥理事会大家庭团结携手､紧密相拥､永远向前.图2是会徽抽象出的几何图形.设的长度是的长度是，几何图形的面积为，扇形的面积为，若，则 .

【答案】3
【分析】设，根据面积公式计算，则，得到答案.
【详解】设，则，，.
故答案为：
15．若函数的值域为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用对数函数的定义，可得的取值集合包含区间，再列出不等式求解即得.
【详解】由函数的值域为，得函数的值域包含区间，
因此，且，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16．函数是定义在上的偶函数，且当时，.若对任意的，均有成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数为偶函数，且在单调递增，转化为对任意恒成立，进而可得结果.
【详解】∵是定义在上的偶函数，且当时，，
所以当时，，则，
∴，则，
则等价于，
当时为增函数，则，即对任意恒成立，
设，则，解得，又，所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：依题意将问题转化为对任意恒成立.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
17．（10分）
求值：
(1)：
(2).
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据分母有理化、根式与分数指数幂互化和指数运算性质即可解答.
（2）根据换底公式和对数运算性质即可解答.
（3）根据诱导公式和特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）原式
18．（12分）
已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断的奇偶性并予以证明；
(3)求不等式的解集.
【答案】(1)
(2)奇函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可；
（2）根据函数奇偶性的定义进行判断和证明；
（3）根据对数函数的单调性进行求解．
【详解】（1）要使函数有意义,则，
解得，故所求函数的定义域为；
（2）证明：由（1）知的定义域为，
设，则,
且，故为奇函数；
（3）因为，所以，即
可得，解得,又，
所以，
所以不等式的解集是．
19．（12分）
已知函数
(1)求函数的单调递减区间；
(2)求函数在区间的最大值和最小值；
(3)若函数的零点为，求
【答案】(1)；
(2)最大值为2，最小值为；
(3).
【分析】（1）令即可求解；
（2）由得，进而求出在区间的最大值和最小值；
（3）由题意得，再由即可求解.
【详解】（1）由，得，故的单调递减区间是.
（2）时，，
所以，当，即时，；
当，即时，.
故函数在区间的最大值为2，最小值为.
（3）因为函数的零点为，
所以，即.
因为，
所以.
20．（12分）
己知函数，m为实数．
(1)当时，求的值域；
(2)设，若对任意的，总存在，使得成立，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据题意，令，转化为二次函数的值域问题，即可得到结果；
（2）根据题意，将问题转化为，然后分，以及讨论，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）当时，，
令，因为，则，
所以，其中，
则时，，时，，即，
所以的值域为
（2）因为，其中，
令，则，且在上单调递减，
当时，，所以，
因为对任意的，总存在，使得成立，
则，所以在上恒成立，
令，因为，则，
即在上恒成立，即在上恒成立，
而在为减函数，在为增函数，
且，，故，故.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是转化为，然后再转化为含参二次函数分类讨论问题.
21．（12分）
已知函数对任意的实数x，y都有，并且当时，.
(1)判断并证明的单调性；
(2)当时，求关于的不等式的解集.
【答案】(1)减函数，证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）利用函数的单调性及条件含参讨论解一元二次不等式即可.
【详解】（1）令，解得，
又当时，可判断为减函数，
证明如下：
，不妨设，依题意，
即，
因为，所以，
所以，
因此，
即，
所以为减函数.
（2）原不等可化为
即：
因单调递减，故成立.
即：
当时，有，解为，
当时，，解为，
当时，，解为，
综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.
22．（12分）
已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求实数的值.
(2)试判断的单调性，并用定义证明.
(3)解不等式.
【答案】(1)
(2)函数在R上为减函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）先判断函数单调递减，再利用函数单调性的定义即可证明；
（3）先利用奇偶性将不等式化为，再根据单调性解不等式即可.
【详解】（1）若函数为奇函数，则，
又，则，所以，
所以，解得；
（2），则函数在R上为减函数，
证明如下：
设，则，
因为，所以，即，且，，
所以，即，所以函数在上为减函数.
（3）不等式，即，
又是奇函数，所以，而在R单调递减，故，
即，解得.所以不等式的解集为.